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【高3】2016年北京市海淀区高考一模数学(理科)答案


海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(理科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B

二、填空题(本大题

共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. ?3

10. 5

11.

1 2

12. x 2 ?

y2 ?1 3

13. 4, 6

14. 2, [ 6 ? 2,2) ? [2 3,4]
C

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解: (Ⅰ) 在 ?ACD 中, 由正弦定理,有
A D

B

AC AD ? sin ?ADC sin ?

…………………2 分

在 ?BCD 中,由正弦定理,有

BC BD ? sin ?BDC sin ?

…………………4 分 …………………6 分 …………………7 分

因为 ?ADC ? ?BDC ? π ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC 因为

AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? DB 3 BC 3sin ?
π π ,? ? , 6 2

(Ⅱ)因为 ? ?

π AC sin 2 3 ? ? 由(Ⅰ)得 BC 3sin π 2 6
设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 ,由余弦定理,

…………………9 分

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB
1 / 10

…………………11 分

代入,得到 19 ? 4k ? 9k ? 2 ? 2k ? 3k ? cos
2 2

2π , 3
…………………13 分

解得 k ? 1 ,所以 BC ? 3 .

16 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数

x?

3.6 ? 4.4 ? 4.4 ? 3.6 ?4 4

…………………2 分

则山下试验田 100 株青蒿的青蒿素产量 S 估算为

S ? 100 x ? 400 g
2 2

…………………3 分
2 2

(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 s1 和 s2 ,结果为 s1 ? s2 . …………………6 分

7.4,, 8 8.2, 8.6, 9.4 , (Ⅲ)依题意,随机变量 ? 可以取 7.2,

…………………7 分

P (? ? 7.2) ?

1 1 , P (? ? 7.4) ? 4 8 P(? ? 8.2) ? 1 8
…………………9 分

P(? ? 8) ?

1 , 4

P(? ? 8.6) ?

1 1 , P (? ? 9.4) ? 8 8

随机变量 ? 的分布列为

?
p

7.2 7.4 8

8.2 8.6 9.4

1 4

1 8

1 4

1 8

1 8

1 8
…………………11 分

随机变量 ? 的期望 E (? ) ? 7.2 ?

1 1 1 1 1 1 ? 7.4 ? +8 ? +8.2 ? +8.6 ? +9.4 ? =8 . 4 8 4 8 8 8
…………………13 分

17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC , 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC . 因为 AB ? PA ? A ,且 AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB
2 / 10

…………………1 分 …………………2 分

…………………4 分

(Ⅱ)证明:因为 BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? PB 在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN ? BC . 在正方形 ABCD 中, AD ? BC , 所以 MN ? AD , …………………6 分 …………………7 分 …………………5 分

? AD 可以确定一个平面,记为 ? 所以 MN ,
所以 M , N , D, A 四个点在同一个平面 ? 内 (Ⅲ)因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又 AB ? AD , 如图,以 A 为原点, AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 …………………8 分

A ? xyz ,
所以 C (2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0,2) . 设平面 DAN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 平面 CAN 的一个法向量为 m ? (a, b, c) ,

…………………9 分
z P

?

M

N D A y

??

B x

C

???? ??? ? 设 PN ? ? PC , ? ? [0,1] ,
因为 PC ? (2,2, ?2) ,所以 AN ? (2?,2?,2 ? 2? ) ,

??? ?

????

???? ? ? ???? ?2? x ? 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? AN ? n ? 0 又 AD ? (0,2,0) ,所以 ? ???? ? ,即 ? ,…………………10 分 ? ?2 y ? 0 ? AD ? n ? 0
取 z ?1, 得到 n ? (

?

? ?1 ,0,1) , ?
????

…………………11 分

因为 AP ? (0,0,2) , AC ? (2,2,0)

??? ?

??? ? ?? ? ?2c ? 0 ? AP ? m ? 0 所以 ? ???? ?? ,即 ? , ? ?2a ? 2b ? 0 ? AC ? m ? 0
取 a ? 1 得, 到 m ? (1, ?1,0) , 因为二面 C ? AN ? D 大小为

??

…………………12 分

?? ? ? π 1 , 所以 | cos ? m, n ?|? cos ? , 3 3 2

3 / 10

?? ? ?? ? m?n ? ? 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ?? | m || n |
1 , 所以 PN ? 3 2

? ?1 1 ? ? 2 ? ?1 2 2 ( ) ?1 ?
…………………14 分 …………………1 分 …………………2 分

解得 ? ?

18 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f '( x ) ?

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 x x x

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1, ??)

f '( x) f ( x)

?
?

0
极小值

?
?
…………………4 分

函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极小值为 f ( a ) ? ln1 ? 所以 f ( x ) 的最小值为 0

1 ?1 ? 0 , 1
…………………5 分 …………………6 分

(Ⅱ)解:函数 g ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1, ??) ,

1 1 ln x ? ? 1 f ( x) x ? x g '( x) ? ? 2 2 2 ln x ln x ln x 由(Ⅰ)得, f ( x ) ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ln x ? ( x ? 1)
所以 g ( x) 的单调增区间是 (0,1), (1, ??) ,无单调减区间. (Ⅲ)证明:假设直线 y ? x 是曲线 g ( x) 的切线.

…………………7 分 …………………8 分 …………………9 分 ………………10 分

ln x0 ?
设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 g '( x0 ) ? 1 ,即

1 ?1 x0 ?1 ln 2 x0

…………………11 分

又 y0 ?

x0 ? 1 x ?1 , y0 ? x0 ,则 0 ? x0 . ln x0 ln x0 x0 ? 1 1 ? 1 ? , 得 g '( x0 ) ? 0 ,与 g '( x0 ) ? 1 矛盾 x0 x0

…………………12 分

所以 ln x0 ?

所以假设不成立, 直线 y ? x 不是曲线 g ( x) 的切线

…………………13 分

4 / 10

19 解: (Ⅰ)由题意可得, b ? 1 ,

…………………1 分 …………………2 分

e?

c 3 , ? a 2



a2 ?1 3 ? , a2 4
2

…………………3 分

解a ? 4, 椭圆 C 的标准方程为

…………………4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………5 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

…………………6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

…………………7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ), x0
2

…………………8 分

所以圆的方程为 ( x ? 4) ? ( y ?

4 y0 2 4 ) ? (1 ? )2 , x0 x0

…………………9 分

令 y ? 0 ,则 ( x ? 4)2 ?

2 16 y0 x ? (1 ? 0 )2 , 2 x0 4

…………………10 分

2 2 x0 y0 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 因为 ?? , 2 4 x0 4

…………………11 分

所以 ( x ? 4) ?
2

8 ?5 ? 0, x0

因为这个圆与 x 轴相交,该方程有两个不同的实数解,

5 / 10

所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0 8 8 ( ? x0 ? 2 ) x0 5

…………………12 分

设交点坐标 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,则 | x1 ? x2 |? 2 5 ? 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

…………………14 分

方法二: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

…………………6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

…………………7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4, 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交, 则[

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1] ? [ 0 ? 1] ? 0 , x0 x0

…………………9 分

2 16( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? ? ? 1 ? 0, 2 x x x 0 0 0 即 2 16( y0 ? 1) 8 ? ? 1 ? 0. 2 x0 x0



…………………10 分

2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 因为 4 x0 4

…………………11 分

代入得到 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

…………………12 分

该圆的直径为 |

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) 8 +1 ? ( 0 ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0

6 / 10

圆心到 x 轴的距离为 |

4( y ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( 0 ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5 ? , ( ? x ? 2) ; x0 x0 x0 5
…………………14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

方法三: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1, x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

…………………6 分

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

…………………7 分

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

所以 |MN |=|

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 8 +1 ? ( ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0 4( y ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( 0 ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0 4y 4 |? | 0 | , x0 x0

…………………8 分

圆心到 x 轴的距离为 |

…………………9 分

若该圆与 x 轴相交,则 |1 ?

…………………10 分

即 (1 ?

4 2 4 y0 2 ) ?( ) ? 0, x0 x0
2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4

因为

…………………11 分

所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] 5 x0

…………………12 分

7 / 10

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5 ? ? 2 5 ? =2 ; x0 x0 x0 2
…………………14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

0) , H (4, 0) ,设 P( x0 , y0 ) 方法四: 记 D(2,
由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

M (4, m) N (4, n)

y0 ? 1 x ? 1, x0 y0 ? 1 x ? 1, x0

……………………….6 分

BP 的直线方程为 y ?

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) ?1 , x0 4( y0 ? 1) ?1 , x0
……………………….8 分

n?

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
……………………….9 分

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F , 因为 EH ? MN , 所以 EH 2 ? HN ? HM ,

EH 2 ? HN ? HM ? ?(

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1) ? ( ? 1) x0 x0
……………………….10 分

? ?(

16 y0 2 ? 16 ? 8 x0 ? x0 2 ) x0 2

因为

2 y2 ?1 1 x0 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , x0 4 4

……………………….11 分

代入得到 EH 2 ? ? 所以 x0 ? ( , 2] ,

8 x0 ? 5x02 ?0 x02
……………………….12 分

8 5

所以 EF ? 2 EH ? 2 5 ?

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
8 / 10

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 方法五: 设直线 OP 与 x ? 4 交于点 T 因为 MN //y 轴,所以有 所以

…………………14 分

AP AO OP BP BO OP ? ? , ? ? , PN TN PT PM TM PT
……………………….6 分

AO BO ? ,所以 TN ? TM ,所以 T 是 MN 的中点. TN TM

又设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , 所以直线 OP 方程为 y ?

y0 x, x0

……………………….7 分

令 x ? 4 ,得 y ?

4 y0 4 y0 , 所以 T (4, ) x0 x0

……………………….8 分

而 r ? TN ?

4 ?1 x0

……………………….9 分

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F 则 d ?|

4 y0 4 |? r ? ? 1 x0 x0

……………………….10 分

2 2 所以 16y0 ? ( x0 ? 4)

因为

2 y2 ?1 1 x0 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? ,代入得到 x0 4 4

……………………….11 分

2 所以 5x0 ? 8 x0 ? 0 ,所以 x0 ?

8 或 x0 ? 0 5
……………………….12 分

因为点 0 ? x0 ? 2 ,所以 ? x0 ? 2 而 EF ? 2 r ? d ? 2 (
2 2

8 5

4 4y ? 1)2 ? ( 0 )2 x0 x0

? 2 5?

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
…………………14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 20 解: (I)依照题意,可以取 A ? ?5,7? , B ? ?4,8? , C ? ?1,2,3,6? (II)假设存在 n 是 3 的倍数且 U n 是可分集合. 设 n ? 3k ,则依照题意 {3,6, ???,3k} ? C ,

…………………3 分

9 / 10

故 SC ? 3 ? 6 ? ??? ? 3k ? 而这 n 个数的和为

3k 2 ? 3k , 2

n (1 ? n ) 1 n(1 ? n) 3k 2 ? k 3k 2 ? 3k ? ? ,故 SC ? ? , 矛盾, 2 3 2 2 2
…………………7 分 …………………8 分

所以 n 是 3 的倍数时, U n 一定不是可分集合 (Ⅲ) n ? 35. 因为所有元素和为

n (1 ? n ) n (1 ? n) ? 3S B = 6m ( m 为正整数) ,又 SB 中元素是偶数,所以 2 2

所以 n(1 ? n) ? 12m ,因为 n, n ? 1 为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数 由(Ⅱ)知道, n 不是 3 的倍数,所以一定有 n ? 1 是 3 的倍数. 当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,而 n(1 ? n) ? 12m , 所以一定有 n ? 1 既是 3 的倍数,又是 4 的倍数,所以 n ? 1 ? 12k , 所以 n ? 12k ? 1, k ? N .
*

…………………10 分

定义集合 D ? {1,5,7,11,...} ,即集合 D 由集合 U n 中所有不是 3 的倍数的奇数组成, 定义集合 E ? {2,4,8,10,...} ,即集合 E 由集合 U n 中所有不是 3 的倍数的偶数组成, 根据集合 A, B, C 的性质知道,集合 A ? D, B ? E ,
2 此时集合 D, E 中的元素之和都是 24k ,而 S A ? S B ? SC ?

1 n(1 ? n ) ? 24k 2 ? 2k , 3 2

此时 U n 中所有 3 的倍数的和为

(3 ? 12k ? 3)(4k ? 1) ? 24k 2 ? 6k , 2

24k 2 ? (24k 2 ? 2k ) ? 2k , (24k 2 ? 2k ) ? (24k 2 ? 6k ) ? 4k
显然必须从集合 D, E 中各取出一些元素,这些元素的和都是 2 k , 所以从集合 D ? {1,5,7,11,...} 中必须取偶数个元素放到集合 C 中,所以 2k ? 6 , 所以 k ? 3 ,此时 n ? 35 而令集合 A ? {7,11,13,17,19,23,25,29,31,35} , 集合 B ? {8,10,14,16,20,22,26,28,32,34} , 集合 C ? {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4} , 检验可知, 此时 U 35 是可分集合, 所以 n 的最小值为 35 . …………………13 分

10 / 10


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