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《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习题库:第九章解析几何9.5椭圆练习


课时作业 47

椭圆

一、选择题 1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方 程为( ). x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 169 144 144 169 x2 y2 x2 y2 C . + =1 D . + =1 169 25 144 25 x2 y2 2.(2012 课标全国高考) 设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a >b>0)的左、右焦点,P 为直 a b 3a 线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( ). 2 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 2 2 x y 3. 已知 F1, F2 是椭圆 + =1 的两焦点, 过点 F2 的直线交椭圆于 A, B 两点. 在△AF1B 16 9 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( ). A.6 B.5 C.4 D.3 4.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( ). A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2 y2 y2 5.设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1,F2,P 为这两条曲线的 2 m 3 一个交点,则 cos∠F1PF2 的值为( ). 1 1 2 1 A. B. C. D.- 4 3 3 3 x2 y2 1 6.如图所示,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,左焦点为 F,A,B,C 为其三个 a b 2 顶点,直线 CF 与 AB 交于 D 点,则 tan∠BDC 的值等于( ).

A.3 3 3 C. 5

B.-3 3 3 D.- 5 x2 y2 7.方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,D 是它 a b
[来源:学科网 ZXXK]

短轴上的一个端点,若 3 DF1 = DA +2 DF2 ,则该椭圆的离心率为( ). 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 二、填空题 x2 y2 8.(2012 四川高考)椭圆 2+ =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭 a 5 圆相交于点 A,B,△FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是__________. ???? ? ???? ? ???? ? x2 y2 9. 已知动点 P(x, y)在椭圆 + =1 上, 若 A 点坐标为(3,0), | AM |=1, 且 PM · AM 25 16
[来源:Z§xx§k.Com]

???? ?

??? ?

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=0,则| PM |的最小值是____ ______. x2 y2 10.F1,F2 是椭圆 2+ =1 的左、右两焦点,P 为椭圆的一个顶点,若△PF1F2 是等边 a 9 2 三角形,则 a =__________. 三、解答题 x2 y2 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0,b ),原点 O 到直线 FA 的距 a b 2 离为 b. 2 (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上,求椭圆 C 的 方程及 点 P 的坐标. x2 y2 2 12. (2012 北京高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0), 离心率为 . a b 2 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3

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参考答案
一、选择题 1.A 解析:由题意知 a=13,c=5, ∴b2=a2-c2=144. 又∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 169 144 3a 2.C 解析:设直线 x= 与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60° , 2 3 a-c 3a F2M 2 1 在 Rt△PF2M 中,PF2=F1F2=2c,F2M= -c ,故 cos 60° = = = , 2 PF2 2c 2 c 3 3 解得 = ,故离心率 e= . a 4 4 3.A 解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a= 16, 故所求的第三边的长度为 16-10=6. 4.B 解析:点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点 P 的轨迹是椭圆. 5.B 解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. 由椭圆与双曲线的 对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2). 由题意得|PF1|+|PF2|=2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2| = 6- 3. 1 由余弦定理可得 cos∠F1PF2= . 3 1 b 3 c 3 6.B 解析:由 e= 知 = 1-e2= , = . 2 a 2 b 3 a 2 3 由图知 tan∠DBC=tan∠ABO= = , b 3 c 3 tan∠DCB=tan∠FCO= = . b 3 tan∠BDC=-tan(∠DBC+∠DCB) 2 3 3 + 3 3 =- =-3 3. 2 3 3 1- × 3 3 7.D 解析:设点 D(0,b),A(-a,0),
[来源:Z&xx&k.Com]

则 DF1 =(-c,-b), DA = (-a,-b), DF2 =(c,-b).

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???? ? ??? ???? ? ? 1 由 3 DF1 = DA +2 DF2 ,得-3c=-a+2c,即 a=5c,故 e= . 5 二、填空题 2 8. 解析:如图所示,设椭圆右焦点为 F1,AB 与 x 轴交于点 H, 3

则|AF|=2a-|AF1|,△ABF 的周长为 2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|), ∵△AF1H 为直角三角形, ∴|AF1|>|AH|,仅当|AF1|=|AH|,即 F1 与 H 重合时,△AFB 的周长最大,即最大周长为 c 2 2 (|AF|+|AF1|)=4a=12,∴a=3,而 b= 5,∴c=2,离心率 e= = . a 3 9. 3 解 析:∵ PM · AM =0,

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???? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ∴| PM |2=| AP |2-| AM |2 ??? ? =| AP |2-1.
∴ AM ⊥ PM .
[来源:学§科§网 Z§ X§X§ K]

∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小, 故| AP |min=2,∴| PM |min= 3. 10.12 解析:∵△PF1F2 是等边三角形, ∴2c=a. 又∵b=3,∴a2=12. 三、解答题 x y 11. 解: (1)由点 F(-ae,0), 点 A(0, b), 及 b= 1-e2a 得直线 FA 的方程为 + -ae 1-e2a =1,即 1-e2x-ey+ae 1-e2=0. 2 ∵原点 O 到直线 FA 的距离 b=ae 1-e2, 2 2 2 ∴ 1-e2· a=ea 1-e2.解得 e= . 2 2 2 (2)(方法一)设椭圆 C 的左焦点 F?- a,0?关于直线 l: 2x+y=0 的对称点为 P(x0, y0), ? 2 ?

??? ?

???? ?

? ? 则有? 2 x- a 2 ? ?2· 2 +y2 =0,
0 0

1 = , 2 2 x0+ a 2

y0

3 2 2 2 解得 x0= a,y0= a. 10 5 2 2 ∵P 在圆 x +y =4 上, 3 2 ?2 ?2 2 ?2 ∴? + =4. ? 10 a? ? 5 a? 2 2 2 2 ∴a =8,b =(1-e )a =4. 6 8? x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1,点 P 的坐标为? ?5,5?. 8 4 2 (方法二)∵F?- a,0?关于直线 l 的对 称点 P 在圆 O 上, ? 2 ? 又直线 l:2x+y=0 经过圆 O:x2+y2=4 的圆心 O(0,0), 2 ∴F?- a,0?也在圆 O 上. ? 2 ? 2 从而?- a?2+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4. ? 2 ? x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 ∵F(-2,0)与 P(x0,y0)关于直线 l 对称,

[来源:Z#xx#k.Com]

?x +2=2, ∴? x -2 y ?2· 2 + 2 =0.
0 0 0

y0

1

6 8 解得 x0= ,y0= . 5 5 6 8? 故点 P 的坐标为? ?5,5?. a=2, ? ?c 2 12.解:(1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 y=k(x-1), ? ?2 2 (2)由?x y ? ? 4 + 2 =1, 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 2k2-4 4k2 y1=k(x1-1),y2=k( x2-1),x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 2 (1+k2)(4+6k2) = . 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= |k| 4+6k2 1 所以△AMN 的面积为 S= | MN|· d= . 2 1+2k2 由 |k| 4+6k2 10 ,解得 k=±1. 2 = 3 1+2k |k| , 1+k2


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