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南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练导数及其应用


南京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜 率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为 f(x)=x -4x,x

∈[-2,2];②f(x)的极值 点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于 0.其中正确的结论有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】C 2.下列命题为真命题的是( ) )
3 3 2

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

A. f (x) 在 x ? x0 处存在极限,则 f (x) 在 x ? x0 连续 B. f (x) 在 x ? x0 处无定义,则 f (x) 在 x ? x0 无极限 C. f (x) 在 x ? x0 处连续,则 f (x) 在 x ? x0 存在极限 D. f (x) 在 x ? x0 处连续,则 f (x) 在 x ? x0 可导 【答案】C 3.下列四组函数中,导数相等的是( A. f ( x) ? 1 与 f ( x) ? x C. f ( x) ? sin x 与 f ( x) ? ? cos x 【答案】D 4.下列计算错误的是( A. ? sin xdx ? 0
?π π

) B. f ( x) ? sin x 与 f ( x) ? cos x D. f ( x) ? x ? 1 与 f ( x) ? x ? 2

) B. ?
π
1 0

xdx ?

2 3

C. ? 2π cos xdx ? 2? 2 cos xdx
? 0 2

π

2 D. ? sin xdx ? 0 ?π

π

【答案】D 5. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? bx, 其中 a, b 为实数。 f (x) 在 x 若
3 2

则 ? 1处取得极值 2, a ? b

的值为( A.

) B.

11 3

14 3

C. ?

11 3

D.

?3

【答案】C 6.一辆汽车从停止时开始加速行驶,并且在 5 秒内速度 v(m / s ) 与时间 t( s )的关系近似表 示为 v ? f (t ) ? ?t ? 10t ,则汽车在时刻 t
2

? 1 秒时的加速度为(
C.8 m / s
2

) D.7 m / s
2

A.9 m / s

B.9 m / s

2

1

【答案】C 7. f ( x) ? sin x 在 x A.-1 【答案】B 8.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为( A.
3

? 0和 x ?
B.1

?
2

两处的瞬时变化率为 k1和k 2 ,则 k1 C.0

? k 2 为(

)

D.无法确定 )

(1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4)
【答案】C
3

B.

(2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)

9.过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x -x 的切线的条数最多是( A.3 【答案】A 10. 若在曲线 B.2 C. 1

) D. 0

f ( x, y) ? 0(或y ? f ( x)) 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,
2 2 2

y) =0(或 y=f(x))的“自公切线” .下列方程:①x —y =1;②y= x —|x|;③y=3 sinx+4cosx; ④|x|+1= 4 ? y 对应的曲线中存在“自公切线”的有(
2

) D.②④ )

A.①③

B.①④

C.②③

【答案】C 11.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象,其中一定错误的是(

【答案】C 12.若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim

k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于( 2k
C.-

)

A.-1 【答案】C

B.-2

1 2

D.

1 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.曲线 y ? 【答案】

1 与直线 y ? x, x ? 2 所围成的封闭图形的面积为 x



3 ? ln 2 2
2

14.已知 f ( x) ? x ? xf ?(2) ,则 f ?(0) 等于 【答案】-2

2

1 4 7 3n ? 2 ? 2 ? 2 ?? ) =____________ 2 n ?? n n n n2 3 【答案】 2
15. lim (
x 16.已知 f ( x) ? e ? 3 ,则 f ?(0) ?



【答案】1 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 已知函数 f(x)=aln(e +1)-(a+1)x,g(x)=x -(a-1)x-f(lnx), a∈R,且 g(x)在 x=1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)若对 0≤x≤3, 不等式 g(x)≤|m-1|成立,求 m 的取值范围; (3)已知?ABC 的三个顶点 A,B,C 都在函数 f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨 论?ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论. 【答案】(1) g ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ln(1 ? x) ? (a ? 1) ln x( x ? 0) ,
g ' ( x) ? 2 x ? (a ? 1) ? a a ?1 ? ( x ? 0) , 1? x x
x 2

依题设,有 g ' (1) ? 0 ,所以 a=8. (2) g ( x) ? x 2 ? 7 x ? 8 ln(1 ? x) ? 9 ln x( x ? 0)
g ' ( x) ? 2 x ? 7 ?
' 8 9 ( x ? 1)( x ? 3)( 2 x ? 3) ? ? ( x ? 0) ,由 g ( x) ? 0 ,得 x 1? x x x( x ? 1)

? 1或 x ? 3

函数 g (x) 增区间(0,1),减区间(1,3) 函数 g (x) 在 x=3 处取得极小值,g(x)min=g(3);函数 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(x)max=g(1), 不等式|m-1|≥g(x),对 0≤x≤3 成立,等价于|m-1|≥g(x)max 成立 即 m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1), (3)设 A( x1 , m≤1-g(1) or m≥1+g(1)

f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) . C ( x3 , f ( x3 )) ,且 x1 ? x2 ? x3 , x2 ? x1 ? x3 ,
2

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) , ∴ BA ? ( x1

? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )) , BC ? ( x3 ? x 2 , f ( x3 ) ? f ( x 2 )) ,

∴ BA ? BC ? ( x3 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x 2 ) ? 0 . 所以 B 为钝角, ? ABC 是钝角三角形.

f ( x) ? 8 ln(1 ? e x ) ? 9 x , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( x1 ? x2 )
2
= 8 [ln(1 ? e x1 )(1 ? e x1 ) ? ln(1 ? e
x1 ? x2 2

)2 ]
x1 ? x2 2

= 8[ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e ∵ x1 ? x2 ∴ e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? e x2 ? 2e

? e x1 ? x2 )]

x1 ? x2 2

3

∴1 ? e ∴ f(

x1

?e ?e
x2

x1 ? x2

? 1 ? 2e

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 )?0 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f(x)是 R 上的凹函数. )? 2 2

f ' ( x) ?

8e x ? 9 ? ex ?9 ? ? 0 恒成立∴ f (x) 在 (?? , ? ?) 上单调递减. 1? ex 1? ex

若 ? ABC 是等腰三角形,则只能是 BA ? BC . 即 ( x1 ? x 2 ) 2 ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 2 ? ( x3 ? x 2 ) 2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x 2 )] 2 ∵ x ? x1 ? x3 ∴ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x 2 )] 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x 2 ) 2 .
2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ∴ f ( x1 ? x3 ) ? f ( x1 ) ? f ( x3 ) ,
2 2

这与 f(x)是 R 上的凹函数矛盾,故 ? ABC 是钝角三角形,但不可能是等腰三角形. 18.已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中e是自然数的底数, a ? R 。
2 x

(1) (2) (3)

当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; 若 f ( x) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围; 当 a ? 0 时,求整数k的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在[k,k+1]上有解。

【答案】⑴因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax2 ? x ? 0 ,

1 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x( x ? ) ? 0 , a
所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0 , ?

1 ). a

⑵ f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x , ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x , f ?( x) ≥ 0 在 [?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时 1] 取等号,故 a ? 0 符合要求; ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 , 因此 f ( x) 有极大值又有极小值. 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1, 内有极值点, 1)

1? 故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单调.
若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 ,
4

因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [?1, 上单调,因为 g (0) ? 1 ? 0 , 1]

? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 必须满足 ? 即? 所以 ? ≤ a ? 0 . 3 ? g (?1) ≥ 0. ?? a ≥ 0.
2 综上可知, a 的取值范围是 [? ,0] . 3
⑶当 a ? 0 时, 方程即为 xex ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解, 所以原方程等价于 e x ? 因为 h?( x) ? e x ?

2 2 ? 1 ? 0 ,令 h( x) ? e x ? ? 1 , x x

2 ? 0 对于 x ? ? ??,0 ? ? ? 0, ?? ? 恒成立, x2

所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数, 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , h(?3) ? e?3 ?

1 ?2 ? 0 , h(?2) ? e ? 0 , 3

2 ? 所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1,? 和 ? ?3, 2? 上,
所以整数 k 的所有值为 ??3,1? . 19.设 f 0 ( x) ? x ? e , f1 ( x) ? f 0?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?, f n ( x) ? f n??1 ( x)(n ? N )
x ?

(1)请写出 f n ( x) 的表达式(不需证明) ; (2)求 f n ( x) 的极值

8 8, n x (3)设 g n ( x) ? ? x ? 2( n ?1) x ? n ? g( ) 的最大值为 a , f n ( x) 的最小值为 b ,求 a ? b
2

的最小值。 【答案】 (1) f n ( x) ? e ( x ? n)
x

(2) f n? ( x ) ? e ( x ? n ? 1)
x

f n? ( x) ? 0 ? x ? ?(n ? 1)

所以 f n ( x) 的极小值为 f n (?n ? 1) ? ?e (3) a ? n ? 6n ? 9
2

? n ?1

5

b ? ?e? n?1 a ? b ? n2 ? 6n ? 9 ? e? n?1
令 h( x ) ? x ? 6 x ? 9 ? e
2 ? x ?1

h?( x) ? 2 x ? 6 ? e? x ?1 在 R 上递增
h?(3) ? 0, h?(4) ? 0
令 h?( x0 ) ? 0, 则x0 ? (3, 4) 且 x ? (0, x0 ), h?( x) ? 0, h( x)递减;x ? ( x0,?), h?( x) ? 0, h( x)递增 + 所以 h( x) min ? h( x0 ) 所以当 n ? 3 时, a ? b 取得最小值 e
?4

20.某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片,包含《新花好月圆》《荷 、 塘月色》等 10 首创新经典歌曲。该公司计划用 x (百万元)请李子恒老师进行创作,经调 研知:该唱片的总利润 y (百万元)与 (3 ? x) x 成正比的关系,当 x
2

? 2 时 y ? 32 .又有

x ? ?0, t ? ,其中 t 是常数,且 t ? ?0,2? . 2(3 ? x) (Ⅰ)设 y ? f ? x ? ,求其表达式,定义域(用 t 表示) ; (Ⅱ)求总利润 y 的最大值及相应的 x 的值.
【答案】 (Ⅰ)

y ? k ?3 ? x ? x2 ,
x ? ? 0, t ? 2 ?3 ? x ?

当 x ? 2 时, y ? 32.? k ? 8

y ? 24 x 2 ? 8 x3 定义域:?

?0 ? x ?

6t 2t ? 1 (Ⅱ) y? ? -24 x ? x-2 ? ? 0

? x ? 0或x ? 2 6t 讨论:若 2 ? ,即 1 ? t ? 2 时 2t ? 1 6t f ( x) 在 0, 单调递增,在 (2, ( 2) ) 上单调递减. 2t ? 1 所以 ymax ? f ?2? ? 32 6t 若2 ? ,即 0 ? t ? 1 时 2t ? 1 6t f / ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 0, ( ) 上为增函数。 2t ? 1

6

2 ? 6t ? 864 t ymax ? f ? ?? 3 ? 2t ? 1 ? ?2t ? 1?

综上述:当 1 ? t

? 2 时, ymax ? f ?2? ? 32 ;当 0 ? t ? 1 时, y max ?

?2t ? 1?3

864 t 2

21.已知函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a(a, b ? R) ,且其导函数 f ?( x) 的图像过原点. 3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数。 【答案】 f ( x) ? 由 f ?(0) ? 0 得

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b 3 2

b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .
1 3 x ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3

(1) 当 a ? 1 时, f ( x) ?

所以函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3x ? y ? 8 ? 0 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) ? ?9 ,

?a ? 1 ? ? x ?

9 9 9 ? ( ? x) ? ( ? ) ? 2 ( ? x ) ? ( ? ) ? 6 , a ? ?7 , x x x

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 . (3) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ? a 3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f (?2) ? ?a ?

1 ? 3 14 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 3 ? 2 3 2 ?

所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), (a ? 1,

3 (a ? 1)) 内各有一个零点, 2

7

故函数 f ( x) 共有三个零点。 22.已知 f ( x) ? 3x ? x ? m , ( x ? R) ,
2

g ( x) ? ln x

(1)若函数 f ( x) 与 g ( x ) 的图像在 x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2)求当曲线

y ? f ( x)与y ? g ( x) 有公共切线时,实数 m 的取值范围;并求此时函数

?1 ? 。 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? , 1 ? 上的最值(用 m 表示) ?3 ?
【答案】 (1)∵ f ( x) ? 6 x ? 1 , g ( x) ?
/

/

1 x

1 2 ,即 6 x0 ? x0 ? 1 ? 0 x0 1 1 解得, x0 ? 或 x0 ? ? 2 3 1 ∵ x0 ? 0 ,∴ x0 ? 2 (2)若曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 相切
由题意知 6 x0 ? 1 ? 且在交点处有公共切线

1 , 2 1 1 3 1 1 ∴ f ( ) ? g ( ) ,∴ ? ? m ? ln 2 2 4 2 2 1 m ? ? ? ln 2 , 4 1 由数形结合可知, m ? ? ? ln 2 时, f ? x ? 与 g ( x ) 有公共切线 4
由(1)得切点横坐标为

1 6 x 2 ? x ? 1 (3x ? 1)(2 x ? 1) ? ? x x x 1 ? ? 则 F '( x) 与 F ( x) 在区间 ? , 1 ? 的变化如下表: ?3 ?
又 F '( x) ? 6 x ? 1 ?
8

又? F ( ) ? m+ ln 3

1 3

?1? F (1) ? 2 ? m ? F ? ? ?3? 1 1 1 ?1 ? ∴当 x ? ( l2 ? 3 , 1 ? 时, F ( x)min ? F ( 2 ) ? m ? 4 ? ln 2 , m ?? ? n ) 4 ? ? 1 ( F ( x)max ? F (1) ? m ? 2 , m ?? ? n ) l2 4

9


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