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第44讲 两直线的位置关系


一、课

第 44 讲 两直线的位置关系 题:两直线的位置关系

二、教学目标:
1、掌握两条直线平行与垂直的判断条件,能根据直线的方程判断两条直线的位置关系; 2、掌握两条直线所成角和点到直线的距离公式;掌握对称和三角形的高、中线、角平分线 等知识的处理方法。 3、两条直线位置关系的讨论,常常转化为对表示它们的两个二元一次方程的

讨论。注意数 形结合思想的应用。

三、教学重点:
1、两直线平行和垂直的充要条件,根据直线方程判断两直线的位置关系。 2、到角与夹角的计算。 3、两直线的交点及过交点的直线系方程。 4、点到直线与两平行直线间的距离。

四、教学过程:
(一)主要知识: 1、直线与直线的位置关系: (1) 有斜率的两直线 l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2; 有:①l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2; ②l1⊥l2 ? k1·k2=-1; ③l1 与 l2 相交 ? k1≠k2 ④l1 与 l2 重合 ? k1=k2 且 b1=b2。 (2) 一般式的直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 有:①l1∥l2 ? A1B2-A2B1=0;B1C2-B2C1≠0 ②l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 ③l1 与 l2 相交 ? A1B2-A2B1≠0 ④l1 与 l2 重合 ? A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0。 2、到角与夹角: 3、l1 到 l2 的角:直线 l1 绕交点依逆时针旋转到 l2 所转的角θ ∈ [0, ? ) 有 tanθ = (k1·k2≠-1) 。 l1 与 l2 的夹角θ ,θ ∈ [0,

k 2 ? k1 1 ? k1 ? k 2

k ? k1 ? ] 有 tanθ =| 2 |(k1·k2≠-1) 。 2 1 ? k1 ? k 2

4、 点与直线的位置关系: 若点 P 0, 0) (x y 在直线 Ax+By+C=0 上, 则有 Ax0+By0+C=0; 若点 P 0, 0) (x y 不在直线 Ax+By+C=0 上,则有 Ax0+By0+C≠0,此时到直线的距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2



平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d ?

5、过直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程为: A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R)(除 l2 外)。 (二)例题分析: 2 例 1.已知两条直线 l1:x+m y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2 第七章 直线和圆的方程

(1)相交; (2)平行; (3)重合。 〖解〗当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,∴l1∥l2, 当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0 ∴l1与l2相交; 当m≠0且m≠2时,由

1 6 1 m2 ? ? 得m=-1或m=3,由 得m=3 m ? 2 2m m ? 2 3m

故(1)当m≠-1且m≠3且m≠0时l1与l2相交。 (2)m=-1或m=0时l1∥l2, (3)当m=3时l1与l2重合。 〖思维点拨〗 ;先讨论x、y系数为0的情况。 例 2、已知圆 C: ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 25 直线 l: ( 2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (m∈R) ,
2 2

(1) 证明不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 c 恒交于两点 (2) 求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 解:l 的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0

?2x ? y ? 7 ? 0 ? x ? 3 即 l 恒过定点 A(3,1). 因为圆心 C(1,2) ?? ?? ? x ? y ?4 ? 0 ?y ? 1

? AC ? 5 ? 5,定点 A 在圆内,所以直线 l 与圆 c 恒交于两点
(2)弦长最小时,l⊥AC.

? k AC ? ?

1 ? l 的方程为 2x-y-5=0 2

〖思维点拨〗 ;过定点直线系中,利用定点的位置解题。注意定点的求法 过线段一端点直线与线段垂直时,另一端点与直线距离最大 例 3、已知三直线 l1:2x-y+ a =0( a >0) 2:-4x+2y+1=0 和 l3:x+y-1=0, 、l 且 l1 与 l2 的距离是

7 5; 10

(1)求 a 的值; (2)求 l3 到 l1 的角θ ; (3)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的一半③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2 ∶ 5 ;若 能,求 P 点坐标;若不能,说明理由。

〖解〗 : (1) 2 即 2x-yl

1 =0, 1 与 l2 的距离。d ? ∴l 2

? 1? a ? ?? ? ? 2? 2 2 ? (?1) 2

?

7 5 ∴ 10

a?

1 2 7 5 ? 10 5

∴ a?

1 7 ? 2 2

∵ a >0∴ a =3。 (2) 由(1) 1 即 2x-y+3=0,∴K1=2,而 l3 的斜率 k3=-1, ,l 第七章 直线和圆的方程

∴tanθ =

k1 ? k 3 =-3。 1 ? k1k 3

∵0≤θ <π ∴θ =π -arctan3; (3) 设点 P(x0,y0) ,若点 P 满足条件②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线

l :2x-y+c=0 上,且



c?3 5

?

1 2

c?

1 11 13 2 ,即 c= ,或 c= , 6 2 5

∴2x0-y0+

11 13 =0,或 2x0-y0+ =0; 6 2

若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式,有 |2x0-y0+3|=|x0+y0-11|; ∴x0-2y0+4=0,或 3x0+2=0; 由 P 点在第一象限,∴3x0+2=0 不可能。 联立方程 2x0-y0+ x0=-3 y0=1/2 由 2x0-y0+

2 x0 ? y 0 ? 3 5

?

2 x0 ? y0 ? 11 ,即 ? 5 2

13 =0 和 x0-2y0+4=0,解得 2

应舍去。

11 =0 和 x0-2y0+4=0 联立解得: 6 1 x0= 9 37 1 37 y0= 点 P( , )即为同时满足三个条件的点。 18 9 18

〖思维点拨〗 ;与直线 Ax+By+C=0 平行的所有直线总可以设为 Ax+By+C1=0 形式;两平行直线 间的距离除有公式外还可看成是其中一条直线上的任一点到另一直线的距离, 最终化归为点 到直线的距离。 例 4、已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1:x+y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截得的线 段之长为 5,求直线 l 的方程。 〖解一〗若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 B A P x=3,此时与 l1、l2 的交点分别是 A1(3,-4)和 B1(3,-9) ,截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5, O 符合题意。 θ A 1 若直线 l 的斜率存在,则设 l 的方程为 y=k(x-3)+1, 解方程组 y=k(x-3)+1 x+y+1=0 得 A(

3k ? 2 4k ? 1 ,) k ?1 k ?1

B1
‘‘ ‘

解方程组

y=k(x-3)+1 第七章 直线和圆的方程

x+y+6=0 由|AB|=5 得 (

得 B(

3k ? 7 9k ? 1 ,) k ?1 k ?1

3k ? 2 3k ? 7 2 4k ? 1 9k ? 1 2 ? ? ) +( ? ) =25, k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

解之,得 k=0,即所求的直线方程为 y=1。 综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 〖解二〗由题意,直线 l1、l2 之间的距离为 d=

|1? 6 | 2

?

5 2 ,且直线 l 被直线 l1, 2 所 、l 2

截的线段 AB 的长为 5,设直线 l 与 l1 的夹角为θ ,则

5 2 2 0 sinθ = 2 ? ,故θ =45 。 5 2
由直线 l1:x+y+1=0 的倾斜角为 135 ,知直线 l 的倾斜角为 0 或 90 ,又由直线 l 过点 P(3, 1) ,故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 〖解三〗设直线 l 与 l1、l2 分别相交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 x1+y1+1=0, x2+y2+6=0。两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 ① 2 2 又 (x1-x2) +(y1-y2) =25 ② 联立 ① ②,可得 x1-x2=5 x1-x2=0 y1-y2=0 y1-y2=5 0 0 由上可知,直线 l 的倾斜角为 0 或 90 ,又由直线 l 过点 P(3,1) ,故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 〖思维点拨〗 ;要求直线方程只要有:点和斜率(可有倾斜角算) ;也可以先找两点。 例 5、已知 A(0,3) ,B(-1,0) ,C(3,0)求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 是等腰梯形。 〖解〗如图,设 D(x,y) ,若 AB∥CD D2 A 则 KAB=KCD,且|AD|=|BC|即:
0 0 0

3?0 y ?0 ? 0 ?1 x ? 3
x +(y-3) =|3+1| 由①②得 D(
2 2 2

① ②

-1 B O

D1 C

16 3 , ) 5 5

2 2

若 AD∥BC,则 KAD=KBC 且|AB|=|CD|

y ?3 ?0 x?0
(x-3) +y =1 +3 解③④得 D(2,3) 。 故 D 点的坐标是(
2 2



16 3 , )或(2,3) 。 5 5

〖思维点拨〗 利用等腰三角形性质 ; “两底平行且两腰相等” 用斜率相等及两点间距离公式。 , (三)巩固练习:

第七章

直线和圆的方程

1、如图 7.1-1,已知点 A ? 2,1? ,直线 l1 : y ? x ? 2 和直线 l2 : y ?
y 于点 C,求 ?ABC 中 ? A 的平分线方程。

1 x 交于点 B,l1 交 2

解:解方程组 ?

? 得点 B ? ?4, 2? ,显然点 A 在 l 上, l 交 y 于点 C ? 0, 2? ,
2 1

? 直线 AC 的斜率 k1 ?

1? 2 1 ?? 。 2?0 2
C T

y

设 ? A 的平分线 AT 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 2? ,
? ?CAT ? ?TAB ,则

A 0

? 1? 1 k ??? ? ?k ? 2? ? 2 k ? 1? 1? 1? ? ? ? k 2 ? 2?
解得 k ? 0 。

l2
B

x

l1

? 直线 AT 得方程为 y ? 1 ,将其代入 y ? x ? 2 得 x ? ?1 ,即点 T ? ?1,1? 。
? ? A 的平分线方程为 y ? 1(?1 ? x ? 2) 。

注意:涉及三角形有关问题要考虑将直线与三角形的知识结合起来。
B 变式 1: 已知 ?ABC 中 A(3, 2) , (?1,5) , 点在直线 3x ? y ? 3 ? 0 上, ?ABC C 若

的面积为 10,则 C 点的坐标是



2、 求 过 点 P(0,1) 的 直 线 l 的 方 程 , 使 l 夹 在 两 条 直 线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0 与

l2 : 2x ? y ? 8 ? 0 之间的线段恰被 P 点平分。
解 : 但斜 率 k 不 存在时 , 显然 不满 足条 件, 设 过点 P(0,1) 的 直 线方 程为
y ? kx ? 1 ,

与直线 l1 , l2 分别交于 A, B 两点,如图 7,1-2



?

y ?kx?1 y ?kx 及 2 x? y?18?0 x?3 y ?10?0. ?

?
4

解得 x A ?

7 7 , xB ? 。 3k ? 1 k ?2

又已知 P(0,1) 为 AB 的中点,则

? 所求直线方程为 y ? ? 1 x ? 1 ,即 x ? 4 y ? 4 ? 0 。
第七章

7 7 1 ? =0,解得 k ? ? 。 3k ? 1 k ? 2 4

直线和圆的方程

注意:与两直线相关问题,要考虑两直线的位置关系,结合题设条件,寻求解决 问题的有效办法。 3、点 P(4, 0) 关于直线 5 x ? 4 y ? 21 ? 0 的对称点是 A、 (-6,8) B、(-8,-6) C、 (6,8) D、 (-6,-8)

解:设点 P(4, 0) 关于直线 5 x ? 4 y ? 21 ? 0 的对称点为 P ( x1 , y1 ) ,由轴对称概念 PP 1 1 的中点 M (
x1 ? 4 y1 ? 0 , ) 在对称轴 5 x ? 4 y ? 21 ? 0 上,且 PP 与对称轴垂直,则有 1 2 2

? 5? x1 ? 4 ? 4? y1 ? 21?0 ? 2 ? y1 ? 4 2 ? x1 ? 4 5 ?

解得 x1 ? ?6, y1 ? ?8, ? P (?6, ?8) ,故选 D 1

注意:对称问题可化为点关于点对称,点关于直线对称的问题。 五、作 业: 《与名师对话》 六、备选题

第七章

直线和圆的方程


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