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1998高中数学竞赛训练题


中学数学教学参考   1998 年第 8 ~ 9 合期

53

高中数学竞赛训练题
陕西省西安中学 王 扬 西安市西光中学 刘康宁
1. 设 x 是模为 1 的复数, 则 x 2 + 1
x2

第一试
一、 选择题
1. 设三角形三边互不相等, 最小边上的高为 h ,



+ 1 的最小值

是  .
2. 已知数列{a n } 的各项均为正数, 前 n 项和 S n 满

足 6S n = a n 2 + 3a n + 2. 若 a 2 , a 4 , a 9 成等比数列, 则数列
{a n } 的通项 a n =    . 3. 已知 a、 b 为正整数, 且
a+ b 4 = , 则 a+ b a 2 + ab+ b2 49

形内任一点到三边的距离分别为 x 、 y、 z. 那么 (   ).
A. h = x + y + z   B. h > x + y + z C. h < x + y + z . D. 不能确定 h 与 x + y + z 的大小
ex - e - x 2. 函数 f ( x ) = lg [ + 2 (   ). ex - e x

的值是  .
2 ) 2+ 1 ] 是 4. 设 A = { t 0 < t < 2Π , t ∈ R }, B = { ( x , y )
x = sin t , y = 2sin tco s t,
2 2 2 t ∈A }, C ( r ) = { ( x , y ) x + y ≤ r , r >

(

A. 奇函数, 它在 ( 0, + ∞) 上是减函数 B. 偶函数, 它在 ( 0, + ∞) 上是减函数 C. 奇函数, 它在 ( 0, + ∞) 上是增函数 D. 偶函数, 它在 ( 0, + ∞) 上是增函数 4 ) 点 , F 1、 F 2 为双曲线的两个焦点, 则△F 1 P F 2 的内心 3. 设 P 为双曲线
x2

0}, 则满足 B Α C ( r) 的 r 的最小值是   . 5. 要使函数 f (x ) = lg ( sin 6 x + co s6 x + a sin x co sx )

的定义域为 R , 则实数 a 应满足的条件是  .
6. 表面积为定值 S 的直角四面体 ( 相邻三侧棱两

- y 2 = 1 右支上一点 ( 非顶

两互相垂直) 体积的最小值为  . 三、 过侧面均为正三角形的三棱锥的高作一平面, 与三侧面所在平面交于三条直线, 这三条直线与底面 所成的角分别为 Α 、 、 . 求证 Β Χ 3 2 2 2 + ctg Β+ ctg Χ ≥ . ctg Α 4 四、 已知 a、 b 为非 0 常数, 变量 Η满足不等式组
a sin Η + bco sΗ ≥0, a co sΗ - b sin Η ≥0.

轨迹必在直线 (   ).
A. x = 2 上     B. x = 1 上 C. y = 2x 上     D. y = x 上 4. 在△A B C 中, ∠A 、 ∠C 的对边分别为 a、 B、 b、 1 1 1 + 之值为 c, 且 a ∶ b ∶ c = 1 ∶ 2 ∶ 4. 那么
a b c

(   ). A. 1  B. 2  C. 0  D. 2

试求 sin Η的最大值. 五、 设 a , b, c∈R + , Κ ∈ ( - 2, 2) , 求证:
( +
a2+ Κ ab+ b2 + b2 + Κ bc+ c2

5. x 轴正半轴上有 10 个点, y 轴正半轴上有 5 个

点, x 轴上的这 10 个点与 y 轴正半轴上的 5 个点连成
50 条线段, 这 50 条线段在第

象限内的交点个数最

c2 + Κ ca + a 2 ) 2

多是 (   ).
A. 350  B. 450  C. 600  D. 750 6. 对于每个整数 n ( n ≥ 2 ) , 满足 a n = a + 1, b2n =
b+ 3a 的正数 a 与 b 的大小关系是 (   ).

) (a + b+ c) 2 + ( 2- Κ ) (a - b) 2. ≥ ( 2+ Κ

第二试
一、 过△A B C 所在平面上任一点 P 作 PA 、 PB 、
P C 的垂线分别交 B C、 CA 、 A B 所在直线于 D 、 E、 F, 求

A. a > b> 1     B. b> a > 1 C. 0< b< 1< a    D. 0< a < 1< b

证D、 . E、 F 三点共线 二、 在数列 { a n } 中, a 1 = a , a 2 = b ( a、 b ∈N , 1 ≤ a ,

二、 填空题

54
b≤9). 对 n ∈N , 有 a n + 2 = a n+ 1 + a n 的个位数字, 求证

中学数学教学参考   1998 年第 8 ~ 9 合期 同 理再连 B 2A 10 , 可得 3 ( 1+ 2+ 3+ … + 9 ) 个交 点. 连 B 3A 10 , 可得 2 ( 1+ 2+ …+ 9) 个交点. 连 B 4A 10 , 可得 1 ( 1+ 2+ 3+ …+ 9) 个交点. 所以满足题目条件的交点共有
( 1+ 2+ 3+ 4) ( 1+ 2+ 3+ …+ 9) = 450 个. 6. 选 A. 首先 a > 1, b> 1. 否则若 0< a < 1, 则
a = a + 1> 1, 从而 a > 1, 矛盾; 若 0< b< 1, 则
2n . 即 a、 b = b+ 3a > 3, 从而 b> 1, 矛盾 b 均大于 1.
n

{a n } 是周期数列. 若设最小正周期为 T , 求出 T 可取值

的集合. 三、 如果一个矩形的长和宽都是奇数, 在其内部是 否存在这样的点, 它到四个顶点的距离都是整数.

参考解答
第一试
  一、 选择题:
1. 选 B. 如右图, 设 a 最小 .
a b c 则 x+ y+ z< x+ y+ z a a a

一方面 a 2n - b2n = ( a + 1 ) 2 - ( b + 3a ) = a 2 - a - b
+ 1.

=
h.

1
a

(ax + by + cz ) =

1
a

?ah =

另 一 面, a 2n - b2n = ( a - b ) ( a 2n- 1 + a 2n- 2 b + …
+ b2n- 1 ).

1 x ( e - e- x ) 为 R 2. 选 C. ∵ u = 2 上的奇函数, 在 ( 0, + ∞) 上增. y = lg ( u +

u2+ 1 ) 也

是 R 上的奇函数, 且在 ( 0, + ∞) 上增. ∴ 应选 C.
3. 选 A. 设内切圆与三边 P F 1、 P F 2、 F 1 F 2 分别切

∴ a 2 - a - b+ 1= (a - b) ( a 2n- 1 + a 2n- 2 b+ …+ b2n- 1 ) , a 2 - a - b+ 1 即 = a 2n- 1 + a 2n- 2 b+ …+ b2n- 1 > 1. a- b ( a - 1) 2 a 2 - 2a - 1 ∴ > 0, 即 > 0, 故 a > b . a- b a- b 综上可知 a > b> 1. 二、 填空题
1. 填 - 1. 设 x = co sΗ+ i sin Η , 则 x2+ x- 2 + 1 = 2co s2Η + 1≥- 1, 当且仅当 co s2Η = - 1 时取等号. 2. 填 a n = 3n - 2. 当 n = 1 时, 有 6a 1 = a 1 2 + 3a 1 + 2

于A、 B、 C , 据双曲线定义知 P F 1 PF1 = PA PA PB

P F 2 = 4. 而 PB

+

A F1 ,

PF2 =

+ B F2 ,
F 2C . 故

=

, A F1 =

F 1C , B F 2 =

F 1C -

F 2C = 4, ∴ 切点 C 与双曲线的右顶点重

合, 即△P F 1 F 2 的内心在 x = 2 上.
4. 选 C. 设∠A = x , ∠B = 2x , ∠C = 4x , 则 x =

] a 1 = 1 或 a 1 = 2. 当 n ≥2 时, 6S n = a n 2 + 3a n + 2,
6S n- 1 = a n1 2

( 1) ( 2)

Π 4Π 2Π Π . ∠A = , ∠B = , ∠C = . 记△A B C 的外接圆 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 ( )= ( 半径为 R , 则 + = + a b 2R sinA sinB 2R 4Π sin 7 3Π Π 2sin co s 1 1 7 7 1 )= + ? = 2Π 2R 3Π Π Π Π sin 2sin sin co s 2R sin 7 7 7 7 7 1 = .
c

+ 3a n- 1 + 2.

( 1) - ( 2) , 得  (a n + a n- 1 ) ( a n - a n- 1 - 3) = 0.

∵ a n > 0, ∴ a n - a n- 3 = 3. 当 a 1 = 1 时, a n = 1+ 3 (n
- 1) = 3n - 2, 适合 a 4 2 = a 2 ?a 9; 当 a 1 = 2 时, a n = 2+ 3

? (n - 1) = 3n - 1, 不适合 a 4 2 = a 2 ?a 9. 所以 a n = 3n 2. 3. 填 16. 令 a + b = 4k ( k ∈N ) , 则 a 2 + ab + b2 = 49k , 即 
2 2 ab= (a + b) - 49k = 16k - 49k , 2 2 从而 a、 b 是方程 x - 4kx + ( 16k - 49k ) = 0

5. 选 B. 如 右 图, ( 1 ) 先 连
B 1A B iA
10 9

, 然后依次连 B iA 1 , B iA 3 , …,

共 9 个交点 ( i= 2, …, 5 ) 共 4
( 2) 连 B 1A 9 , 然后依次连 B 2A

的两个正数解.
49 , ∴ k = 1, 2, 3, 4. 代入上面二次 12 方程检验知 k = 4 满足, ∴ a + b= 16. 5 4. 填 . B Α C ( r ) Ζ sin 2 t + sin 2 2 t ≤ r2 Ζ g ( t ) = 4

×9 个交点.
i

据 ? ≥0, 得 0 ≤k ≤

( i= 1, …, 8) , 共 4×8 个交点 .

…… 最后连 B 1A 2 , 然后再依次连 B iA 1 ( i = 2, …, 5) , 共
4×1 个交点 .

sin 2 t+ sin 2 2 t ≤ r, 要求 r 的最小值, 只要求 g ( t ) 的最

大值.
1 2 25 ) + 但 sin 2 t+ sin 2 2 t= - (co s2 t+ , 4 16

以上共 4 ( 1+ 2+ 3+ …+ 9) 个交点.

中学数学教学参考   1998 年第 8 ~ 9 合期 ∴ g ( t) m ax =
5 . 4

55
上图可知 tg Α =
HD HD HD , tg Β= , tg Χ = . MH NH PH

5 ∴ r≥ . 4 1 1 5. 填< a< . 2 2 ∵ sin 6 x + co s6 x + a sin x co sx = ( sin 2 x + co s2 x ) ? ( sin x + sin x co s x + co s x ) + a sin x co sx = ( sin x + co s2 x ) 2 - 3sin 2 x co s2 x + a sin x co sx = - 3 ( sin x co sx ) 2 + a ( sin x co sx ) + 1
t= sin x co sx
4 2 2 4 2

6 . 若从 D 3 俯视正四面体, 并设 x 、 y、 z 分别是线段 H M 、 HN 、 HP

设正四面体的各棱长为 1, 则 H D =

与点 H 到边 B C、 CA 、 A B 的垂线间的夹角, 于是
3 3 3 ,HN = ,H P= . 6co sx 6co sy 6co sz 又 y + z = 120° , x + y = 60° , ∴ y = 60° - x , z = 60° +
HM = x.

1 1 ≤ t≤ 2 2

- 3 t2 + a t+ 1, 故以下

只需确定 a , 使 t∈ [ - 3 t2 + a t+ 1> 0.

1 1 , ] 时, 2 2 ( 1) 1
t

∴ tg 2 Α + tg 2 Β+ tg 2 Χ = H D 2 (H M
2 2

- 2

+ HN
2

- 2

+ H P - 2)

= 8[co s x + co s ( 60° - x ) + co s ( 60° + x ) ],

( i) 当 t= 0 时, ( 1) 恒成立, ( ii) 当 t > 0 时, ( 1 ) Ζ a > 3 t 1
t

, 令 f ( t) = 3 t -

, 此 时 f ( t) 在 R + 上 单 调 递 增, ∴ a > f ( t ) m ax
1 ] 2

t∈ (0,

f (

1 )= 2

1 ; 2 1
t

( iii) 当 t < 0 时, ( 1 ) Ζ a < 3 t 1
t

, 令 g ( t) = 3 t 3 + 2 2

, 此时g ( t) 在 R - 上单调递增, 而 g ( t) m in = 1 1 , 即a < . 2 2

=

而 co s2 x + co s2 ( 60° + x) - x ) + co s2 ( 60° 1 = [ co s2x + co s ( 120° - 2x ) + co s ( 120° + 2x ) 2 + 3] 1 = [co s2x + 2co s120° co sx + 3 ] 2 3 = , 2 ∴ tg 2 Α + tg 2 Β+ tg 2 Χ = 12. 9 3 2 2 ∴ ctg Α + ctg Β+ ctg 2 Χ ≥ 2 = . tg Α + tg 2 Β+ tg 2 Χ 4 四、 设 y = sin Η , x = co sΗ , 则 x 2+ bx + ay ≥0, 2 y = 1, ax - by ≥0. ( i ) 当 a > 0, b > 0 时,
y ≥y≤ b x, a

综上可知 6. 填

1 1 < a< 为所求. 2 2
3 2

图1

18- 10 3 ?S . 设 18 四面体 D 2 A B C 中, D A ⊥B D , D A ⊥
D C , D B ⊥D C , 则根据熟知的结论 S △A B C = S △DA B + S △DB C + S △D CA ,
2 2 2 2

a x. b y= a x, b a

如图 1, 由 得 y =
a

x 2 + y 2 = 1, a 2 + b2 b x, a

知  S =

1 ( ab + bc + ca + 2
3 3

) m ax = . ∴ ( sin Η

a 2 + b2

.

a 2 b2 + b2 c2 + c2 a 2 )

( ii ) 当 a > 0, b < 0 时, (abc ) 4 ) , 3
y ≥3 2



3 ( 2

(abc) 2 + 18- 10 3

∴ abc≤ ∴ V D 2A B C =

?S .
3 2

a y ≥ x. b

同上可得 y m ax = 1. 图2
b
2

) m ax = 1. ∴ ( sin Η ( iii) 同理可得 a < 0, b< 0 时, ( sin Η ) m ax = a + b2 b a 2 + b2

1 18- 10 3 ?S . abc≤ 2?3 18 三、 三棱锥 D 2 . 由条件知 D 2 A B C 如右图 ABC 为

.

正四面体. 设 D 在底面△A B C 的投 影为 H , 则 H 为△A B C 的中心. 又 设M 、 N、 P 是通过直线 H D 的平面 分别与直线 B C、 . 由 CA 、 A B 的交点

( iv ) 当 a < 0, b > 0 时, 同 理 可 得 ( sin Η) m ax = m ax{
a a 2 + b2

,-

}.

综述略.

56
2+ Κ ( a + b) ] 2 + [ 2 ? (a - b) ] 2 等, 于是构造复数
2 五、 因 a2+ Κ ab+ b = [

中学数学教学参考   1998 年第 8 ~ 9 合期
2- Κ 2

  ∴ T = {3, 4, 12, 20, 60}. 注: 对于本题, 笔者仅通过列表穷举给出其证明, 目前尚未找到更好的证法, 欢迎感兴趣的读者进一步 讨论. 三、 如图, 设矩形 A B CD 的边长 B C = p , A B = q 均 为奇数. P 为 A B CD 内一点, PA = a , PB = b, P C = c,
PD = d , P 到矩形各边的距离分别为 x 1、 x 2、 y 1、 y 2.

z 1= z 2= z 3=

2+ Κ ( b+ a ) + 2 2+ Κ ( b+ c ) + 2

2- Κ (b- a ) i, 2 2- Κ ( b- c ) i , 2 2- Κ (c- a ) i. 2 z 2 + z 3 ≥ z 1+ z 2+ z 3 ,

2+ Κ (c+ a ) + 2 由复数模的不等式 z 1 +

假设 a、 . b、 c、 d 均为自然数 x 1 2 + y 1 2 = a 2 ,        ( 1) 则
x 1 2 + y 2 2 = b2 ,        ( 2) x 2 2 + y 2 2 = c2 ,        ( 3) x 2 2 + y 1 2 = d 2.        ( 4)

则原不等式可证.

第二试
一、 如右图. 由作图易知∠B P F = ∠C P E , 记之为
. Α

又 x 1 + x 2 = p ,
y 1 + y 2 = q,

∠F PA = ∠C PD , 记之为 Β . A F S △PA F PA ? sin Β ∴ = = , FB S △PB F PB ? sin Α
B D S △PB D = D C S △PD C PB ? sin ( 90° + Β) PB ?co s ( Α + Β) + Α = = , P C ? sin Β P C ? sin Β C E S △PCE P C ? sin Α = = EA S △P EA PA ? sin ( 90° - Β) - Α P C ? sin Α . PA ?co s ( Α + Β) A F B D CE 这三式相乘, 得  ? ? = 1. FB D C EA

( 1) - ( 2) , 得
2 2 2 2 y1 - y2 = a - b

] (y 1 - y 2 ) p q = (a 2 - b2 ) p , 2 2 y 1 p q - y 2 p q = (a - b ) p. 又  (y 1 + y 2 ) p g = p g , y 1 p q + y 2 p q = p g , 同理还有 x 1 p q - x 2 p q = (b2 - c2 ) q ,
2 2 2 2

( 5) ( 6) ( 7)

=

( 8)     x 1 p q + x 2 p q = p q. 2 2 2 2 2 而 p q、 . 若 p g 均为奇数, ( a - b ) p , (b - c ) q 为整数 2 x 1 p q 为整数, 则由 ( 7 ) , x 2 p q 也为整数, 再由 ( 8 ) 及 p q

为奇数, 可知 x 1 p q , x 2 p q 一定有一个为奇数, 不妨设
. x 1 p q 为奇数 ( 6 ) 知 y 1 p q 及 y 2 p q 为整数, 且一定有 同理由 ( 5 ) 、

根据 M enelau s 定理的逆定理, 知 D 、 E、 F 三点共 线. 其它情况类似可证. 二、 本题的证明用穷举法. 对于 a , b∈{1, 2, 3, …9, }, a 1 = a , a 2 = b, a n+ 2 = a n+ 1
+ a n , 则{a n } 是一个最小正周期为 T 的周期数列. 关于
a , b, T 可列表如下: a b T

一个奇数, 不妨设 y 1 p q 为奇数. 又 (x 1 p q ) 2 + (y 1 p q ) 2 = (x 1 2 + y 1 2 ) p 2 q2 = (ap q) 2. 但奇数平方被 4 除余 1, 则上式左边被 4 除余 2, 右边为平方数. 而平方数不可能被 4 除余 2, 所以上式 不成立. 所以 x 1 p q、 . 又根 x 2 p q、 y 1 p q、 y 2 p q 不可能为整数 据 ( 5)~ ( 8) 得 2x 1 p q = (b2 - c2 ) q + p 2 q,
2x 2 p q = - (b2 - c2 ) q+ p 2 q , 2y 1 p q = (a 2 - b2 ) p + p q , 2y 2 p q = - (a 2 - b2 ) p + p g 2 ,

1 60 12 60 60 60 60 12 60 60

2 60 20 60 4 60 20 60 20 12

3 12 60 60 60 60 12 60 60 60

4 60 20 12 20 60 20 60 4 60

5 60 60 60 60 3 60 60 60 60

6 60 4 60 20 60 20 12 20 60

7 60 60 60 12 60 60 60 60 12

8 12 20 60 20 60 4 60 20 60

9 60 60 12 60 60 60 60 12 60

1 2 3 4 5 6 7 8 9

即 2x 1 p q、 2x 2 p q、 2y 1 p g、 2y 2 p q 均 为 整 数 . 由 x 1 p q、
x 2 p q、 y 1 p q、 y 2 p q 不能为整数, 知其中至少前者有一个

是奇数, 不妨设 2x 1 p q 为奇数, 这时有
( 2x 1 p q ) 2 + ( 2y 1 p q ) 2 = 4a 2 p 2 q2.

而 ( 2x 1 p q ) 2 被 4 除余 1, 4a 2 p 2 q2 能被 4 整除, 则有
( 2y 1 p q ) 2 被 4 除余 3, 这是不可能的 .

故满足条件的点 P 不存在.


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