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《空间向量与立体几何章末复习》导学案


《空间向量与立体几何小结》导学案
【学习目标】 (1)熟练掌握空间向量的四种运算(包括坐标形式) (2)能灵活选择向量法、坐标法解决立体几何问题。 【重点难点】 ▲重点: 利用向量解决立体几何问题 ▲难点: 法向量 的确定,角的转化 【学法指导】 1.空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减 法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然 成立.空间向量的数

量积运算、共线向量定理、共面向量 定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则 是向量由二维到三维的推广. ? ? ? ? 2. a ·b =0? a ⊥ b 是数形结合的纽带之一,这是运用空 间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向 量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. ? ? ? ? a ·b 3.公式 cos〈 a , b 〉= ? ? 是应用空间向量求空间中 | a |· |b | 各种角的基础, 用这个公式可以求两异面直线所成的角(但 要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的 区别),再结合平面的法向量, 可以求直线与平面所成的角 和二面角等. 4. 直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线 和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向 量之间的关系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平 面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 【学习过程】 一 :知识梳理 1.用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法: (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的 方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两直线的方 ? ? ? ? 向向量垂直,即 a ⊥ b ? a ·b =0. (3)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向 量, ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向 量来线性表示直线的方向向量. (4)线面垂直 ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直 的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为 线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转 化为线面垂直、线线垂直问题 2.运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 ? ? ? ? a ·b 利用公式 cos〈 a ,b 〉= ? ? ,但务必注意两异面直线 | a |· |b |

? ? 故实质上应有:cosθ =| cos〈 a , b 〉 |.
(2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直 线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一 种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面 法向量的夹角φ . 即可求出直线与平面所成的角 θ 其关系 是 sinθ =| cosφ |. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角 的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方 向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二 面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法 向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补. 3.运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、 点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是 这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点与面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的 任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向 量的模,即得要求的点面距离. (3)两异面直线的距离转化为点与面的距离来求解。

? r ? ? ? 问题一: 空间非零向量 a 、 b , a ·b = ,a ⊥ ? ? ;| a |2= ; b? ? ? a ∥ b ?存在实数 λ 使 . ? ? 问题二: 设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3),则 ? ? ? (1) a ·b = . | a |= (2) ? ? cos〈 a , b 〉= ? ? ? ? (3) a ⊥ b ? (4) a ∥ b ?
问题三:进行空间向量的线性运算,首先要选取适当的基 底,选取基底的一般原则是什么? 二 :题型探究 (一)空间向量的概念与计算 [例 1] 给出下列命题: → → ①若AB=CD,则必有 A 与 C 重合,B 与 D 重合,AB 与 CD 为同一线段; ②若 a·b<0, 〈a,b〉是钝角; ③若 a 是直线 l 的方向向量,则λ a(λ ∈R)也是 l 的方向 向量; ④非零向量 a,b,c 满足 a 与 b,b 与 c,c 与 a 都是共面 向量,则 a,b,c 必共面. 其中错误命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

? π? 所成角 θ 的范围是?0, ?, 2? ?

(

)

(二)空间向量的线性运算 → → [例 2] 已知非零向量 e1,e2 不共线, 如果AB=e1+e2, AC → =2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A、B、C、D 共面

三:当堂检测 1.已知空间四边形 OABC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN 上, MG → 且 =2,设OG= GN )

→ → → xOA+yOB+zOC,则 x、y、z 的值分别是 ( 1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 (三)利用空间向量解决平行与垂直问题 [ 例 3] 如 图 所 示 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 3 6 3

1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3

?ACB ? 900 , AB ? 2, BC ? 1, AA 1 ? 3 (1)求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积; (2)求证 A1C ? 平面AB1C1 (3)若 D 是 CC1 的中点,在棱 AB 上是否存在一点 E , 使 DE // 平面AB1C1 ,证明你的结论

2. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 BC 的中点, N 为 AB 的中点, P 为 BB1 的中点. (Ⅰ)求证: BD1⊥B1C;(Ⅱ)求证:BD1⊥平面 MNP.

A

A1

C B B1

D

C1

(四)利用空间向量求角度与距离问题 [例 4]已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB//CD,

?DAB ? 900 , PA ? 底面 ABCD, 且 PA=AD=DC=

1 , AB=1, 2

M 是 PB 的中点。 1)证明:平面 PAD ? 平面 PCD 2)求 AC 与 PB 所成的角余弦值的大小 3)求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角余弦值的大小

3.如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中 AD∥BC,
P M A B

∠ABC=90°, PA⊥平面 ABC, PA=4, AD=2, AB= 2 3 , BC=6,求二面角 A-P 余弦值.

D

C

[例 5]已知棱长为 1 的正方体 AC1 , E,F 分别是 B1C1 和

C1 D1 中点.
(1)求点 A1 到平面 BDFE 的距离; (2)求直线 A1 D 到平面 BDFE 所成的角.

D1 A1

F B1 E

C1

D A B

C


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