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2015丰台区初三二模数学试题及答案


丰台区 2015 年初三毕业及统一练习(二)
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数 学
学校 考 生 须 知 姓名

试 卷
准考证号

1.本试卷共 7 页,共五道大题,29 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. ..
1 1. 的倒数是 3

A. 3

B. ?3

C.

1 3

D. ?

1 3

2.一根头发丝的直径约为 0.00 006 纳米,用科学记数法表示 0.00 006,正确的是 A.6× 10-6 B. 6× 10-5 C. 6× 10-4 D. 0.6× 10-4

3.下面的几何体中,主视图为三角形的是

A 4.函数 y ? A. x ? 2

B

C

D

x ? 2 中,自变量 x 的取值范围是
B. x>2 C. x≥2 D. x≤2

5.妈妈在端午节煮了 10 个粽子,其中 5 个火腿馅,3 个红枣馅,2 个豆沙馅(除馅料不同 外,其它都相同) .煮好后小明随意吃一个,吃到红枣馅粽子的概率是 A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

1 2

6. 下面的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
菱形

等边 三角形

平行四边形

扇形

第 1 页 共 5页

A 7. 如图, A, B 是函数 y =

B

C

D

2 的图象上关于原点对称的任意两点, x

y A O B C x

BC∥x 轴, AC∥y 轴,如果△ABC 的面积记为 S,那么 A. S ? 4 C. 2<S<4 B. S ? 2 D. S>4

8.甲、乙、丙、丁四位同学角逐“汉字听写大赛”的决赛资 格,表中统计了他们五次测试成绩的平均分和方差.如果 从这四位同学中,选出一位成绩较好且状态稳定的同学参 加全市“汉字听写大赛” ,那么应选 A.甲 C.丙 B.乙 D.丁

甲 平均分 80 方 差 59

乙 80 41

丙 85 54

丁 85 42

9.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图 1 所示,点 A 是栏杆转动的支点,点 E 是 栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置,其 示意图如图 3 所示(栏杆宽度忽略不计) ,其中 AB ⊥ BC , EF ∥ BC ,∠ AEF =143° , AB =AE =1.2 米, 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为 (参考数据:sin 37° ≈ 0.60,cos 37° ≈ 0.80,tan 37° ≈ 0.75)
E

A

E

F

F

E

F

A

A

图1

图2

B

图3

C

A

B

C

D

N

10.如图,点 N 是以 O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点, (不与点 A , B 重合) ,AB =4,M 是 OA 的中点,设线段 MN 的长为 x ,△ MNO 的 面积为
A M O B

y ,那么下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
y
1

y
1

y
1 1 2 3

y
1 1 2 3

O

1

2

3

x O

x O

x O

1

2

3

x

A

B

C

D

第 2 页 共 5页

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11.分解因式: a 3 ? 4a ? .

A D E

12.如图,在△ABC 中,D 为 AB 边上一点,DE ∥BC 交 AC 于点 E , 如果

AD 3 ? ,AE =6,那么 EC 的长为 DB 5



B

C

13. 图 1 中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转, 旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部 分,图 2 是旋转门的俯视图,显示了某一时刻旋转翼的位置,根据图 2 中的数据,可知

AB 的长是_________m.

B O A
图1

C

2m 图2

14.将二次函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 化为 y ? ( x ? h )2 ? k 的形式,那么 h ? k =



15.在四边形 ABCD 中,如果 AB ? AD , AB∥CD ,请你添加一个 条件,使得该四边形是 .. 菱形,那么这个条件可以是 .

16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的表达式是 y= 点 A 1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B 1 ,以原点 O 为圆 心,OB 1 长为半径画弧交 y 轴于点 A 2 ;再过点 A 2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B 2 ,以原点 O 为圆心,OB 2 长 为半径画弧交 y 轴于点 A 3 ,…,按此做法进行下去, 点 B 4 的坐标为 , OA2015 = .

3 x,点 A 1 坐标为(0,1),过 3

y A4 l : y= A3 A2 A1 O B2 x B3 B1 3 3 x

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 17.计算: (-1) ? 3 8 ? ? 2 ? 2 cos 45? .
2015

A
18.已知:如图,AB =AE ,∠1=∠2 ,∠B =∠E . 求证:BC=ED .

E

2

1

D B
第 3 页 共 5页

C

?2 x ? 4≤0, 19.解不等式组: ? 2 x ? 1) ? 5. ?3 ? (

x ? ? x? y y2 = 3 20.已知 ,求代数式 ? 1 ? 2 的值. ? 2 ? y ? x ? 2 xy ? y ? x

2 21.已知关于 x 的方程 mx ? (m ? 3) x ? 3 ? 0(m ? 0) .

(1)求证:方程总有两个实数根; (2)如果方程的两个实数根都是整数,且有一根大于 1,求满足条件的整数 m 的值.

22.列方程或方程组解应用题: 为响应市政府“绿色出行”的号召,小张上班由自驾车改为骑公共自行车.已知小张 家距上班地点 10 千米.他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车 的方式平均每小时行驶的路程少 45 千米,他从家出发到上班地点,骑公共自行车方式 所用的时间是自驾车方式所用的时间的 4 倍. 小张用骑公共自行车方式上班平均每小时 行驶多少千米?

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)

23.如图,在□ABCD 中,E 为 BC 边上的一点,将△ ABE 沿 AE 翻折得到△AFE ,点 F 恰好 落在线段 DE 上.
A D F

(1)求证:∠ FAD=∠ CDE ; (2)当 AB =5,AD=6,且 tan ?ABC ? 2 时,求线段 EC 的长.

B

E

C

第 4 页 共 5页

24.某校九年级有 200 名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动.为了解本 次测试的成绩分布情况,从中抽取了 20 名学生的成绩进行分组整理.现已完成前 15 个数据的整理,还有后 5 个数据尚未累计: 62,83,76,87,70,
学生测试成绩频数分布表 学生测试成绩频数分布直方图

成绩 x(分) 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 合计

频数累计

频数 3

频率 0.15
8

频数 7
6 4

5 3
2

1 0

5 20

0.25 1.00

50

60

70

80

90

100 成绩(分)

(1)请将剩余的 5 个数据累计在“学生测试成绩频数分布表”中,填上各组的频数与频率, 并补全“学生测试成绩频数分布直方图” ; (2)这 20 个数据的中位数所在组的成绩范围是 ;

(3)请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于 80 分.

25.如图,AB 是⊙O 的直径,以 AB 为边作△ ABC,使得 AC = AB ,BC 交⊙O 于点 D,联 结 OD,过点 D 作⊙O 的切线,交 AB 延长线于点 E ,交 AC 于点 F . (1)求证:OD∥ AC; (2)当 AB =10, cos ?ABC ?

A

5 时,求 BE 的长. 5
B E

O F D C

第 5 页 共 5页

26.问题背景: 在△ ABC 中,AB,BC,AC 三边的长分别为 5 , 3 2 , 17 ,求这个三角形的 面积. 小军同学在解答这道题时,先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为 1), 再在网格中画出格点△ ABC(即△ ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处) ,如图 1 所 示.这样不需要求出△ ABC 的高,借用网格就能计算出它的面积.

C A

B
图1 (1)请你直接写出△ ABC 的面积________; 思维拓展: (2)如果△ MNP 三边的长分别为 10 , 2 5 , 26 ,请利用图 2 的正方形网格(每个 小正方形的边长为 1)画出相应的格点△ MNP ,并直接写出△ MNP 的面积. 图2

五、解答题(本题共 22 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 27.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 1 经过

y
7 6 5

A(1, 3) , B(2, 1) 两点.
(1)求抛物线及直线 AB 的解析式; (2)点 C 在抛物线上,且点 C 的横坐标为 3.将抛物线在 点 A ,C 之间的部分(包含点 A ,C)记为图象 G,如 果图象 G 沿 y 轴向上平移 t ( t ? 0 )个单位后与直线 AB 只有一个公共点,求 t 的取值范围.
3 2

4 3 2 1 1O 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3

x

第 6 页 共 5页

28. 已知△ABC 是锐角三角形,BA =BC,点 E 为 AC 边的中点,点 D 为 AB 边上一点,且 ∠ ABC=∠ AED=α. (1)如图 1,当 α=40°时,∠ ADE = °;

(2) 如图 2, 取 BC 边的中点 F , 联结 FD, 将∠ AED 绕点 E 顺时针旋转适当的角度 β(β<α), 得到∠ MEN,EM 与 BA 的延长线交于点 M, EN 与 FD 的延长线交于点 N. ① 依题意补全图形; ② 猜想线段 EM 与 EN 之间的数量关系,并证明你的结论.

C
C

E
E

A

D
图1

B

A
图2

D B

29. 对某一个函数给出如下定义: 如果存在实数 M , 对于任意的函数值 y , 都满足 y≤M , 那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的 M 中,其最小值称为这个函数的上 确界.例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是 2. (1)分别判断函数 y ? ?

1 ( x<0 )和 y ? 2 x ? 3 ( x<2 ) x

y
4 3 2 1 1O 1 2 1 2 3 4 5

是不是有上界函数?如果是有上界函数,求其上确界; (2)如果函数 y ? ? x ? 2 ( a≤x≤b, b>a )的上确界是 b , 且这个函数的最小值不超过 2a ? 1 ,求 a 的取值范围; (3)如果函数 y ? x ? 2ax ? 2 ( 1≤x≤5 )是以 3 为上确界的
2

x

有上界函数,求实数 a 的值.

第 7 页 共 5页

丰台区 2015 年度初三统一练习(二 )参考答案
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 1 2 3 4 答案 A B B C 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 题 11 12 13 14 号 答
a (a ? 2)(a ? 2)

5 C

6 D

7 A

8 D

9 A

10 D

15

16

AB =CD 或 AD∥BC 2 3 π 案 或 A C 平分∠BAD 等. 3 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 10

(8 3, 8)

22014

第 8 页 共 5页

2 17.解:原式 = ?1 ? 2 ? 2 ? 2 …4 分 2
= 1 ....5 分 18.证明:∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ ∠ 1+∠ BAD=∠ 2+∠ BAD. 即∠ BAC=∠ E AD.……1 分 ∵ AB=AE ,∠ B= ∠ E ,……2 分 ∴ △ ABC≌ △ AED.……4 分 ∴ BC=ED .……5 分

21. (1)证明:

2 △=(m ? 3) ? 4 ? m ? 3 ,……1 分

= m ? 6m+9 = (m ? 3) ≥0 .
2 2

? 方程总有两个实根. ……2 分
(2)解: x ?

m ? 3 ? (m ? 3)2 2m
3 . m

. ……3 分

解得 x1 ? 1, x2 ?

……4 分

① ?2 x ? 4≤0, 19.解: ? 2 x ? 1) ? 5.② ?3 ? (
由① 得: x≤ ? 2. …1 分 由② 得: x<0. ……3 分 ….4 分 ∴ x≤- 2. 20. 解: 原式=
2 0

方程的两个实数根都是整数,且有一根大于 1, ∵



3 m

为大于1的整数, 且m为整数.

…….5 分

∴m =1. …….5 分 22. 解:设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶 x 千米,根据题意列方程得:…1 分

x 2 ? 2 xy ? y 2 ? y 2 x ? y …1 分 ? x 2 ? 2 xy ? y 2 x
x( x ? 2 y ) x ? y ……2 分 ? ( x ? y )2 x
x ? 2y ……3 分 x? y

10 10 ? 4? ………3 分 x x ? 45
解得: x ? 15 ………4 分 经检验 x ? 15 是原方程的解且符合实际意义. 答:小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶 15 千 米. ………5 分

=

=

x
∵y

? 3 ,∴ x ? 3 y . ……4 分 3y ? 2 y y 1 ? ? . …….5 分 3y ? y 2 y 2

原式= ∴

第 9 页 共 5页

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 23. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠ B =∠ ADC. …….1 分 ∵ 将△ BAE 沿 AE 翻折得到△ FAE ,点 F 恰好落在线段 DE 上, ∴ △ ABE ≌ △ AFE .∴ ∠ B =∠ AFE. …….2 分 ∴ ∠ AFE =∠ ADC.∵ ∠ FAD=∠ AFE -∠ 1,∠ CDE =∠ ADC -∠ 1, ∴ ∠ FAD=∠ CDE .…….3 分 (2)过点 D 作 DG⊥BE 的延长线于点 G.

A F

1

D

3 B

4 E C

2

G

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB ∥CD,AD∥BC,CD =AB=5. ∴ ∠ 2=∠ B ,∠ 3=∠ EAD. 由(1)可知,△ ABE ≌ △ AFE ,∴ ∠ B =∠ AFE , ∠ 3=∠ 4.∴ ∠ 4=∠ EAD.∴ ED=AD=6. 在 Rt△ CDG 中,∴ tan∠ 2= tan∠ ABC = ∵DG ? CG ? CD
2 2
2

DG ? 2 .∴DG=2CG.…….4 分 CG

2

2 2 ,∴? 2CG ? ? CG ? 5 . ∴ CG= 5 , DG=2 5 .

在 Rt△ EDG 中, ∵EG ? DG ? DE
2 2

2

,∴ EG=4.∴ EC= 4 ? 5 .…….5 分

24. (1)如下表和图:…3 分 成绩 x(分) 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 合计 频数累计 频数 3 2 4 频率 0.15 0.10 0.20 0.30 0.25 1.00
8

频数 7
6 4

5 3
2

正一 正

6 5 20

1 0

50

60

70

80

90

100 成绩(分)

(2)80≤x<90;…4 分(3)200× (0.30+0.25)=110.…5 分 25. (1)证明:联结 AD . ∵ AB 是⊙ O 的直径,∴ ∠ ADB =90° ,AD⊥ BC. ∵ AC = AB ,∴?1 ? ? 2 .…….1 分 ∵OA ? OD ,∴?1 ? ?3 . ∴?2 ? ?3 ,∴ OD∥ AC.…….2 分 (2)∵ AC = AB =10,
E
数学试卷 第 10 页 (共 7 页)

A 12 O 3 B D F C

∴?B ? ?C .∴cos C ? cos ?ABC ?

5 . 5 BD 5 , ? AB 5

在 Rt△ ABD 中,∠ ADB=90° , cos ?ABC ?

∴ BD=2 5 .∴ CD = BD=2 5 .….3 分 ∵ EF 为⊙ O 的切线,∴ OD⊥ EF ,由∵ OD∥ AC,∴ ∠ DFC=90° . …….4 分 在 Rt△ CDF 中, cos C ?

CF 5 ? ,∴ CF =2.∴ AF =8. CD 5

OE OD OB ? BE OD ? .∴ . ? AE AF AB ? BE AF 1 10 ∵OB ? OA ? OD ? AB ? 5 , ∴BE ? .…….5 分 M 3 2
∵ OD∥ AC,∴?ODE ∽?AFE .∴ 26. 解: (1)△ ABC 的面积是 4.5;…….2 分 (2)如右图: …….4 分

P

△ MNP 的面积是 7. …….5 分

N
五、解答题(本题共 22 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 27 . 解: (1)∵ 抛物线 y ? ax2 ? bx ? 1 过 A(1 , 3) , B(2, 1) 两点. ∴?

?a ? b ? 1 ? 3 .…….1 分 ?4a ? 2b ? 1 ? 1 ?a ? ?2 . ?b ? 4

解得, ?

∴ 抛物线的表达式是 y ? ?2x2 ? 4x+1 .…….2 分 设直线 AB 的表达式是 y ? mx ? n , ∴?

?m ? n ? 3 ?m ? ?2 ,解得, ? .…….3 分 ?2m ? n ? 1 ?n ? 5

∴ 直线 AB 的表达式是 y ? ?2 x ? 5 .…….4 分 (2)∵ 点 C 在抛物线上,且点 C 的横坐标为 3. ∴ C(3,-5) .…….5 分

点 C 平移后的对应点为点 C '(3, t ? 5) 代入直线表达式 y ? ?2 x ? 5 ,解得 t ? 4 .…….6 分 结合图象可知,符合题意的 t 的取值范围是 0 ? t ? 4 . …….7 分
数学试卷 第 11 页 (共 7 页)

28. 解: (1) ?ADE ? 70°;…….1 分 (2)① 见右图;…….2 分 ②EM ? EN .…….3 分 证明:∵?ABC ? ?AED ? ? , ?BAC ? ?BAC . ∴?EDA ? ?ACB ? 90 ?
°

?
2



∵BA ? BC , ∴?ACB ? ?BAC ,即 ?EDA ? ?BAC . ∴EA ? ED . …….4 分 ∵E 是 AC 中点,∴EA ? EC . ∴EA ? EC ? ED . ∴ 点 A, D, C 在以 AC 为直径的圆上.∴?ADC ? 90°.. …….5 分 而 ?EAM ? 180 ? ?EAD ? 180 ? (90 ?
° ° °

?

2 2 ∵ 点 F 是 BC 中点,∴FD ? FB .∴?FDB ? ?ABC ? ? .
∴?EDN ? ?EDA ? ?ADN ? ?EDA ? ?FDB ? 90 ?
°

) ? 90° ?

?



?
2

? ? ? 90° ?

?
2.

∴?EAM ? ?EDN .……. 6 分 ∵∠ AED 绕点 E 顺时针旋转适当的角度,得到∠ MEN, ∴∠ AED=∠ MEN , ∴ ∠ AED- ∠ AEN=∠ MEN-∠ AEN ,即 ∠ MEA=∠ NED. ∴ΔEAM≌ ΔEPN . ∴ EM=EN.……. 7 分 29. 解: (1) y ? ?

1 ( x ? 0 )不是有上界函数;…….1 分 x

y ? 2 x ? 3 ( x ? 2 )是有上界函数,上确界是 1. …….2 分
(2)∵ 在 y=-x+2 中,y 随 x 的增大而减小,∴ 上确界为 2 ? a ,即 2 ? a ? b . 3 分 又 b ? a ,所以 2 ? a ? a ,解得 a ? 1 . …….4 分 ∵ 函数的最小值是 2 ? b ,∴2 ? b ? 2a ? 1 ,得 a ? 2a ? 1 ,解得 a ? ?1 . 综上所述: ?1 ? a ? 1 . …….5 分 (3)函数的对称轴为 x ? a . …….6 分 ① 当 a ? 3 时,函数的上确界是 25 ? 10a ? 2 ? 27 ? 10a .

12 ,符合题意. …….7 分 5 ② 当 a ? 3 时,函数的上确界是 1 ? 2a ? 2 ? 3 ? 2a .
∴27 ? 10a ? 3 ,解得 a ? ∴3 ? 2a ? 3 ,解得 a ? 0 ,不符合题意. 综上所述: a ?

12 . …….8 分 5

数学试卷

第 12 页 (共 7 页)


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