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近两年上海高考数学试卷的分析与思考


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题记:努力吧,年轻的鹰;奋斗吧,年轻的鹰;惜时吧,年轻的鹰:回忆 往事的时候不为碌碌无为而羞耻,不为虚度年华而悔恨!

近两年上海高考数学试卷的分析与思考
文卫星 2008 年与 2009 年上海高考数学试卷都注重基础、注重课本,突出能力立意,但命题风格却大不相同。 2008 年试卷是基础题

“送分到位” ,能力题“尾巴翘上天” ,所以考生整体成绩较为平均。2009 年试卷(理 科)对学生能力要求较高,其方向值得肯定,但有几道好题“没把好尺寸” ,以致考生有点乱方寸,导致了 考分高低落差较大。 以下谈谈本人对这两年高考数学试题的分析、 思考, 以及对今后高三数学教学的建议。 一、试卷情况简析 1.源于课本 这两年试题虽然没有课本的原题,但是从教材改编的试题每年都有一些。比如 2009 年理科第 13 题, 源于高三的“统计案例”一章,教材分析了在一维条件下,到有限点距离最短的结论,试题在此基础上, 利用它的思想方法考查学生在二维条件下的结论是什么。又比如 2009 年理科第 17 和 20 题,都有教材的 影子。 2.注重新增内容 2009 年是全市第一次统一使用上海二期课改新教材。有 5 道客观题涉及新增内容,对新增内容的考查 比较全面。这提醒部分教师在教学中要全面落实教学大纲规定的要求,不能抱有侥幸心理。 3.突出能力立意 能力立意不仅体现在解答题中,客观题中也有一定要求,表明对能力的考查已经多元化,不局限在压 轴题。比如,2008 年理科第 10、11、15 题,2009 年理科第 12、13、14、17、18 题,利用客观题“不讲 理”(不用讲出理由)的特点,深刻考查考生能力的高低。 以 2009 年理科第 12 题为例:已知函数 f(x)=sinx+tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈{-π /2, π /2},且公差 d≠0。若 f(a1)+f(a2)+..+f(an)=0,则当 k=——时,f(ak)=0。 . 如果学生观察出函数 f(x)是奇函数,又是单调函数,由己知立刻得到 f(a1)=—f(a27)≠0,f(a2)=—f(a26) ≠0,?,f(a13)=—f(a15)≠0,所以 f(a14)=0,即 k=14。 这样的解法甚至不要打草稿,只要在脑子里就可以完成。奇偶性与单调性就是考查一种分析问题的能 力。而如果对 f(x)进行三角运算,那么这题就像一堵墙一样横亘面前,费时费力得不到正确答案,还严重 影响后面的答题情绪。 而 2009 年理科第 18 题如果能结合图形,想到特殊值法,设直线的斜率为—1,再让直线绕圆心逆时 针、顺时针旋转,很快得到只有 1 条直线的结论。而如果直接计算,则多数学生会在该题上费时较多,还 不一定能得到正确结论。 这些试题新颖、重在考查发现、分析和解决问题的能力,平时很少模拟。因此,考生在解题时普遍感 到有难度。 二、对教学的一些思考 知识是能力的基础,但知识不是必然能够形成能力。课堂教学要做到知识与能力并重,说说容易做起 来难,但作为教师我们必须知难而进。 1.能力的培养需要平时积累 能力型试题对教学的指挥棒作用是不言而喻的。能力的提高靠大量的难题训练不一定奏效。因此教师 在要求学生夯实基础的同时,应注重数学思想方法的学习与运用。 比如 2009 年的理科第 13 题,如果把它放到象棋盘上,小学生也得到正确答案。但高三毕业生为何会 觉得难呢?因为高中生首先想到的是要运用高中所学知识去解答,实际上完全可以不用高中涉及的知识点。 这里考查的其实是一种推理能力——合情推理。本题可以先确定几个“疑似点” ,再逐一验证,也就是数
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一数。若是真用绝对值的知识宋解,相信大多数学生不能得到正确答案。突出思想方法是 2009 年试题的 一大特点,而思想方法的培养要靠平时逐步积累,既不能一蹴而就,也不能通过大量难题得以实现。 2.数学教学要突出思想方法 数学的重要性不仅体现在数学知识应用的广泛性,更重要的是数学思想方法对人智慧的启迪,数学的 理性精神对思维的训练。这要求教师在教学中不仅要讲怎么做,更重要的是讲清楚是在什么思想指导下想 到这样做。 因此,新授课要重视知识的发生、发展过程,重视问题引入的设计,激发认知冲突,指导学生学习获 得解决问题的方法。 这些在单元考试中可能没有优势, 但在解决一些疑难问题时可能会有意想不到的效果。 复习课选题要在一定的思想方法指导下,对疑难问题,要突出“条件预示可知并启发解题手段,结论 预告需知并诱导解题方向”(陕西师范大学罗增儒教授)的教学思想。在这里我们可以把这段话进一步理解 为:从已知条件入手推出中间结论(可知),当中间结论能直接证明最终结论时,则解题成功;当中间结论 不能直接证明最终结论时,就要把最终结论等价转化为“需知” ,再用中间结论证明“需知”从而达到解 题目的。 3.在最近发展区内作适当拓展 虽说复习不能脱离课本,但不能把课本里的知识灵活运用肯定是不行的,这在 2009 年理科试题表现 得非常突出。即用一般的常规方法或是繁琐得做不下去,或是没有一点思路。比如理科第 21 题,如果不 用数形结合的方法大多数学生无法做到底,即使方法运用正确,但往往会由于运算过程过于复杂而中途搁 笔。 又如理科第 2 2 题是最有争议的一题。因为考查的知识点抽象函数有超纲之嫌。如果教师之前没有复 习过抽象函数的相关知识(即使复习,时间长了学生可能也会忘了),会导致不少学生看不懂题目。如条件 中的“y=f(x+a)与 y=f—1(x+a)互为反函数” ,有些学生就认为它们是反函数,其实它们的图像是关于直线 y=x+a 对称。理由很简单,就是把 y=f(x)与 y=f—l(x)的图像向同一方向平移∣a∣个单位。如果它们还是互 为反函数,则斜率为—1 的一次函数满足条件。这样第 2 小题就有了答案,尽管不一定能书写完整,但已 经得出结论比一头雾水来解答,无疑要好得多。至于第 3 小题,由于反比例函数 f(x)=k/x(k≠0)的反函数是 它自由此可猜测满足“a 积性质”是反比例函数。 抽象函数不是从天而降,可由基本初等函数通过类比拓展而来,可以说这样的试题考查了学生由特殊 到一般的认识事物的能力。但一方面由于题目载体学生不熟悉,另一方面由于学生解答这类问题的能力不 强,使得考查目的大打折扣。但考查的方向值得肯定。 高考试题中类似的例子很多,只要教师在平时教学中在知识的最近发展区内作适当拓展,许多试题可 以找到简捷解法。这也体现了数学求简、求美的特点。 4.研究性学习 研究性学习是上海高考改革的一大亮点,多年来在数学试卷一般会出现一些客观题对学生进行考查, 在春季试题中有些很好解答题,但在秋季考试中一直没有较大的实质性进展,尽管 2009 年高考试题也还 没出现,但不能因此放松对研究性学习的教学(即使不考,对培养能力有意义的工作也还应该去做)。 提出问题是研究性学习的核心所在,提出问题的形式可以是原问题的纵向或横向推广,也可以在原问 题的基础上通过联想、类比而得,还可以是原问题的逆命题,再对它进行推广等。比如,2006 年上海试卷 第 20 题就很适合作为例题给学生讲解: 在平面直角坐标系 oxy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点。 (1)求证: “如果直线过点 T(3,0),那么 OA·OB=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。 把抛物线 y2=2x 改成 y2=2px(p>0),OA.OB=3 改成 OA·OB=a 就可以提出一般性的新问题,这是纵 向推广,再联想到椭圆或双曲线又能得到新的问题。这些问题符合学生认知水平,解答也在学生的能力范 围之内。 5.心理素质的训练贯穿教学始终 运动员要把最佳竞技状态在赛场发挥出来,就必须有好的心理素质。看体育比赛常听解说员是某某只 要战胜他(她)自己,就能取得冠军,说的就是心理素质问题。考试亦是如此。每次考试的总结,教师不仅
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要针对知识技能方面,还要针对心理素质方面作些指导。 2009 年高考数学理科试卷由于客观题有些磕磕绊绊,许多考生不能把握先易后难的基本原则,致使客 观题耗时过多,还把心情搞坏了,以至于第 23 题这种相对于第 22 题较为容易的题目都没有来得及做。结 果导致有些平时成绩很好的学生得分较低,而一些平时成绩一般甚至较差的学生却得了高分。询问下来主 要还是由于心理原因造成的。前者客观题的解答用了约一个小时,严重影响后面的解答,而后者遇到不会 做的题目就迅速放弃,平静地把会做的题目都做完,使自己的水平得以充分发挥。所以,教师在复习阶段 的教学过程中不要忽视对学生心理素质的培养和指导。 摘自《现代教学》2009。11(36~37)

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