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3.1《直线的倾斜角与斜率》导学案(人教A版必修2)


3.1《直线的倾斜角与斜率》导学案
【学习目标】 (1) (2) (3) (4) (5) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 理解直线的倾斜角的唯一性. 理解直线的斜率的存在性. 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

【导入新课】 问题导入: (1)经过两点有且只

有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置 能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什 么联系呢?
Y

a

b

c

O

P

X

它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 新授课阶段 1.直线的倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 做直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α= 0°. ... 问: 倾斜角 α 的取值范围是什么? 当直线 l 与 x 轴垂直时, 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我 们就可以用倾斜角 α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 之间所成的角 α 叫

Y a b c

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们的倾斜角 α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 α 不 能确定一条直线。确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 和一个倾 ...P . .... 斜角 .。 ..α . 2.直线的斜率: 一条直线的倾斜角 α(α≠90° )的 k 表示,也就是 ⑴当直线 l 与 x 轴 ⑵当直线 l 与 x 轴 时, α=0° , k = tan0° =0; 时, α= 90° , k 不存在. 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45° 时, k = tan45° = 1; α=135°时, k = tan135° = tan(180° - 45° ) = - tan45° = - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导如何作辅助线, 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 α= 90°, 直线与 x 轴 垂直; (2)k 与 P1 、 P2 的顺序无关, 即 y2 , y1 和 x2 , x1 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子 与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y2 ? y1 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 α=0°,直线与 x 轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 例 1 两条平行直线分别过点 P(-2,-2) ,Q(1,3) ,它们之间的距离为 d,如果 这两条直线各自绕着 P、Q 旋转并且保持互相平行。 (1) (2) (3) 解: 求 d 的变化范围; 用 d 表示这两条直线的斜率; 当 d 取最大值时,求两条直线的方程。

3.两条直线平行与垂直的条件 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们 的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 的前提下才成立的,缺少这个前提, ........ 结论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥ L2; 反之则不一定.

两条直线都有斜率 ,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 ........ 的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1· k2 = -1, 那么一定有 L1⊥ L2; 反之则不一定. 例 2 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你 的结论.

解: 例 3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系。 解:

课堂小结 1.直线的倾斜角和斜率的概念; 2.直线的斜率公式及其灵活运用。 3.直线的位置关系的条件的运用。 作业 见同步练习部分 拓展提升 π 1.直线 xtan +y+2=0 的倾斜角 α 是( 3 π A. 3 π B. 6 ) 2π C. 3 ) π D.- 3

2.下列说法中,正确的是(

①y+1=k(x-2)表示经过点(2,-1)的所有直线; ②y+1=k(x-2)表示经过点(2,-1)的无数条直线; ③直线 y+1=k(x-2)恒过定点; ④直线 y+1=k(x-2)不可能垂直于 x 轴.( A.①②③ B.②③④ ) D.①②④

C.①③④

3.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 α,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45° ,得到直线的倾斜角为 α+45° ,则( A.0°≤α<180° B.0°≤α<135° ) C.0° <α≤135° D.0° <α<135°

4.已知△ABC 的三个顶点 A(3,-1),B(5,-5),C(6,1),则 AB 边上的中线所在的直 线方程为________。 5.过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6.直线 l 经过 A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( ) )

π A.0≤α≤ 4

π B. <α<π 2

π π C. ≤α< 4 2

π 3π D. <α≤ 2 4 )

1 7.已知直线 l 的倾斜角 α 满足条件 sinα+cosα= ,则 l 的斜率为( 5 4 A. 3 3 B. 4 4 C.- 3 3 D.- 4

1 8. 已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1), 当 x>0 时, f(x)<1, 方程 y=ax+ 表示的直线是( a

)

参考答案
新授课阶段 1.直线的倾斜角的概念 向上方向 0°≤α<180°. α= 90°. 2.直线的斜率: 正切值 k = tanα 平行或重合;垂直

(三) 直线的斜率公式:

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

例1 (1)解法一 设过点 P(-2,-2)的直线 l1 方程为: Ax+By+C1=0,过点 Q(1,3) 的直线 l2 方程为 Ax+By+C2=0,由于点 P、Q 在直线上,得-2A-2B+C1=0,A+3B+C2=0, 两式相减得 C1-C2=3A+5B,两直线间的距离为 即: (d2-9)A2-30AB+(d2-25)B2=0 |3A+5B | |C1-C2| = , A2+B2 A2+B2 (※ )

A A ① 当 B≠0 时,两直线斜率存在,有(d2-9) ( )2-30( )+d2-25=0 B B 由 d>0 及△ ≥0 得: (-30)2-4(d2-9) (d2-25)≥0 从而 0<d≤ 34 ② 当 B=0 时,两直线分别为 x=-2,与 x=1,它们间的距离为 3,满足上述结论。 综上所述,d 的取值范围是(0, 34 ] 解法二 两平行直线在旋转过程中,0<d≤PQ,而 PQ= 34 ,故 d 的取值范围是(0, 34 ]。 d 34-d2 A 15± (2)当 B≠0 时,两直线斜率存在,从方程※ 中解得 = , B d2-9 直线的斜率 k=- 15± d 34-d2 A = - B d2-9 A 3 =- ,对应两条直线分别为 l1:3x+5y+16=0, B 5

(3)当 d= 34 时,k=- l2:3x+5y-18=0

3.两条直线平行与垂直的条件

例2 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 例3 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1· k2 = -1 课堂小结 1.直线的倾斜角和斜率的概念; 2.直线的斜率公式及其灵活运用。 3.直线的位置关系的条件的运用。 拓展提升 π 2π 1.C 【解析】 由已知可得 tanα=-tan =- 3,因为 α∈ [0,π),所以 α= .故选 C。 3 3 2.B 【解析】 y+1=k(x-2)表示的直线的斜率一定存在,且恒过点(2,-1),所以, 它不能表示垂直于 x 轴的直线,故① 错误,其余三个都对.故选 B。 3.D 【解析】 因为直线倾斜角的取值范围是[0° ,180° ),且直线 l 与 x 轴相交,其倾 斜角不能为 0° ,所以 45°<α+45° <180° ,得 0°<α<135°,故选 D。 4.2x-y-11=0 【解析】 易知 AB 边的中点坐标为 D(4,-3),因为 AB 边上的中线 y-1 x-6 所在的直线经过点 C、D,由两点式得, = ,化简得 2x-y-11=0。 -3-1 4-6 5.B 【解析】 注意到直线过原点时截距相等,都等于 0 和不过原点时倾斜角为 135° 两种情况,所以这样的直线有 2 条.故选 B。 1+m2 π π 6.C 【解析】 直线 l 的斜率 k=tanα= =m2+1≥1,所以 ≤α< 。 4 2 2-1 7.C 【解析】 α 必为钝角,且 sinα 的绝对值大,故选 C。 8.C 【解析】 由已知可得 a∈ (0,1),从而斜率 k∈ (0,1),且在 x 轴上的截距的绝对值 大于在 y 轴上的截距,故选 C。 所以 AB⊥ PQ. k1=k2=0.5, 所以直线 BA∥ PQ.


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