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2010年重点中学自主招生数学试题


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2010 年重点中学自主招生数学试题

且这 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是 排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… ( A、296 B、221 C、225 D、641



一、选择题

1、如果关于 x 的方程 x

2

? ax + a 2 ? 3 = 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(

) 6、已知:实常数 a、b、c d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin θ c、

+ b cosθ ? c = 0 ;

A、 ? 2 < a < 2

B、

3<a≤2

C、 ?

3<a≤2

D、 ?

3≤a≤2

⑵ a cos θ

? b sin θ + d = 0 (其中 θ 为任意锐角),则 a、b、c、d 之间的关系式是 之间的关系式是:

ABCD 的边 AB、BC 的中点, BD、DF 分别交 CE 于点 G、H , 若正方形 ABCD 的面积是 240,则四边形 BFHG 的面积等于……………………( 则四边形 )
2、如图,已知:点 E 、 F 分别是正方形 。 A、26 C、24 B、28 7、函数 D、30 8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来 已知一个三角形的周长和面积分别是 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来 的位置 (如图) 则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 ,
6

y = x ?1 + 2 x ? 2 + 3 x ? 3 + 4 x ? 4

的最小值是



3 、设 x、 y、z 是两两不等的实数,且满足下列等式 且满足下列等式:



x ( y ? x) + 6 x ( z ? x) = 6 y ? x ? x ? z
3 3 3 3
6 3

,则代数式 9、已知: x

=

3 5+ 2
,则 ,

2 可用含 x 的

3 3 ………………… x + y + z ? 3xyz 的值是…………………





A、0

B、1

C、 、3

D、条件不足,无法计算

有理系数三次多项式来表示为: 有理系数三次多项式来表示为

2=


4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙

A ,已知:
10、设p、q、r 为素数,则方程 则方程

p3 = p2 + q2 + r 2


的所有可能的解p、q、r组成的三元数组 p, q, r ) 组成的三元数组(

3 BC = 10, cos ∠BCD = , ∠BCE = 30° ,则线段 DE 的长 5
是………………… ( )



11.赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学 韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲 三个人的学习成绩不相伯仲,且在整个年级中都遥 遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告 后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后 A、

89

B、7

3

C、4+3

3

D、3+4

3

三个人还出了一道数学题:有一种密码把英文按字母分解,英文中的 a,b,c, LL,z 26 个字母(不论大小写) 依次用 1 2,L, 这 26 个自然数表示 ,3, 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 一次活动中全体学生被排成

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? x ? [ 2 ] + 1(其中x是不超过26的正奇数) y=? ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示不超过 x 的最大整 表示不超过 x +1 ?[ ] + 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 +1 11 数;将英文字母转化成密码,如 8 → [ ] + 13 = 17 ,即 h变成q ,再如 11 → [ ] + 1 = 6 ,即 k变成f 。 2 2 他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw
把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地写出翻译过程 并简单地写出翻译过程。 wcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言 14、(本题满分 16 分) (

观察下列各个等式: 1

2

= 1,12 + 2 2 = 5,12 + 2 2 + 3 2 = 14,12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30,LLL 。
2

⑴你能从中推导出计算 1

+ 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 的公式吗?请写出你的推导过程 请写出你的推导过程;

12.如果有理数 m 可以表示成 2 x

2

? 6 xy + 5 y 2 (其中 x、y 是任意有理数)的形式,我们就称 m 为“世博数”。 我们就称

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题 中推导出的公式来解决下列问题:



个“世博数” a、b 之积也是“世博数 世博数”吗?为什么? 证明:两个“世博数” a、b ( b

已知:如图,抛物线

y = ? x 2 + 2 x + 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA



≠ 0 )之商也是“世博数”。

n 等分,分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An ?1 ,分别过这 n ? 1 个点作 x 轴的垂线依次交 分点从左到右依次为 L 分别过这
抛物线于点 B1、B 2、B3、B 4、B5、B 6、 、B n ?1 ,设△ OBA1 、 L

ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上,CE BG DE 交 BD 于 G ,设 = =k。 GD EA
13.如图,在四边形
3



A1 B1 A2 、△ A2 B2 A3 、 A3 B3 A4 、…、△ An ?1 Bn ?1 A 的面积依次为 S1、S 2、S 3、S 4、 、Sn 、△ L
+ S 2 + S3 + S 4 + S5 + L + S 2010 的值;



①当 n = 2010 时,求 S1

⑴求

7k 2 + 20 的值;
BH 2 2 2 2 的两段,且 AH + BH + DH = p ,试用含 p 的代数式表示 ABD 三 的代数式表示△ = 2 的两段 HE

②试探究:当 n 取到无穷无尽时 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么? ?

⑵若点 H 分线段 BE 成 边长的平方和。

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15、(本题满分 16 分) ( 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计): ):①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ②腰长为 4、顶角为 36° 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120° 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ;

16、(本题满分 16 分) (

ABC ;

定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ △

ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ⊥ IC 于点 D 。

⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。

⑵设

AB = AC = 5, BC = 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m ,

DE m n = n ,试作出分别以 、 为 EF n m

两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程 的一个一元二次方程。 ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 与长的比是黄金分割比的黄金矩形 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内 现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。

我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈, ,则称为此板“可操作”;否则,便称为“不可操作”。 “可操作” “不可操作”

⑴证明:第④种塑料板“可操作”; “可操作”

⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”

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3 、设 x、 y、z 是两两不等的实数 是两两不等的实数,且满足下列等式:

6

3 3 6 3 3 x ( y ? x) + 6 x ( z ? x) = 6 y ? x ? x ? z

,则代数式

3 3 3 的值是………………… x + y + z ? 3xyz 的值是



A )

A、0

B、1 1

C、3 C

D、条件不足,无法计算

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙

A ,已知:

3 BC = 10, cos ∠BCD = , ∠BCE = 30° ,则线段 DE 的长 5
是………………… ( D )

A、 2010 年重点中学自主招生数学模拟试题一

89

B、7

3

C、 、4+3

3

D、3+4

3

参考答案与评分标准

5、某学校共有 3125 名学生 名学生,一次活动中全体学生被排成 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 且这 多一人的规律排列, 则当 n 取到最大值时 排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是 取到最大值时, 排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… ( C A、296 B、221 221 C、225 C D、641 B )

小题, 的四个选项, 一、选择题(共 5 小题,每题 6 分,共 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选 选择题( 项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分) 项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分)

1、如果关于 x 的方程 x

2

? ax + a 2 ? 3 = 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(



不设中间分) 二、填空题:(共 5 小题,每题 6 分,共 30 分。不设中间分) 填空题:(共 小题, :( A、 ? 2 < a < 2 B、

3<a≤2

C、 ?

3<a≤2

D、 ?

3≤a≤2
6、已知:实常数 a、b、c d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin θ c、 ⑵ a cos θ

ABCD 的边 AB、BC 的中点, BD、DF 分别交 CE 于点 G、H , 若正方形 ABCD 的面积是 240,则四边形 BFHG 的面积等于……………………( B ) 则四边形
2、如图,已知:点 E 、 F 分别是正方形 A、26 C、24 B、28 D、30

+ b cosθ ? c = 0 ;

? b sin θ + d = 0 (其中 θ 为任意锐角),则 a、b、c、d 之间的关系式是 之间的关系式是:


a2 + b2 = c2 + d 2

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7、函数

y = x ?1 + 2 x ? 2 + 3 x ? 3 + 4 x ? 4

的最小值是

8



8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来 已知一个三角形的周长和面积分别是 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来 的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84— π 。

9、已知: x

=

3 5+ 2
,则

2 可用含 x 的

? x ? [ 2 ] + 1(其中x是不超过26的正奇数) y=? ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示不超过 x 的最大整 x +1 ?[ ] + 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 +1 11 数。将英文字母转化成密码, 8 → [ ,如 ] + 13 = 17 ,即 h变成q ,再如 11 → [ ] + 1 = 6 ,即 k变成f 。 2 2 他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw
把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来, ,并简单地写出翻译过程。 wcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言

有理系数三次多项式来表示为:

2=

略解: 略解:由题意,密码 etwcvcjw 对应的英语单词是 interest,

ej 对应的英语单词是 is, ncjw 对应的英语单词是 best,

?

1 3 11 x + x 6 6

wcabqcv 对应的英语单词是 teacher.


(9 分)

所以,翻译出来的一句英语是 Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师 翻译出来的一句英语是 兴趣是最好的老师”。 10、设p、q、r 为素数,则方程

p3 = p2 + q2 + r 2

的所有可能的解p、q、r组成的三元数组 p, q, r )是 组成的三元数组(

(3 分)

(3,3,3)

。 12、(本题满分 15 分) (

学生若有其它解法,也按标准给分) 三、解答题(共 6 题,共 90 分。学生若有其它解法,也按标准给分) 解答题(

如果有理数 m 可以表示成 2 x

2

? 6 xy + 5 y 2 (其中 x、y 是任意有理数)的形式 的形式,我们就称 m 为“世博数”。

⑴ 11、(本题满分 12 分) 、(本题满分 、( ⑵ 而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲,且在整个年级中都遥遥 且在整个年级中都遥遥 赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友 领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学 后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学,后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告 三个人还出了一道数学题:有一种密码把英文按字母分解 有一种密码把英文按字母分解,英文中的 a,b,c, LL,z 26 个字母 个字母(不论大小写) 依次用 1 2,L, 这 26 个自然数表示, , 3, 26 ,并给出如下一个变换公式:

个“世博数” a、b 之积也是 之积也是“世博数”吗?为什么? 证明:两个“世博数” a、b ( b

≠ 0 )之商也是“世博数”。

略解: 略解:Q m

= 2 x 2 ? 6 xy + 5 y 2 = ( x ? 2 y ) 2 + ( x ? y ) 2 ,其中 x、y 是有理数 是有理数,

∴“世博数” m = p 2 + q 2 (其中 p、q 是任意有理数),只须 p = x ? 2 y , q = x ? y
分)

即可。

(3

2 2 2 2 对于任意的两个两个“世博数” a、b ,不妨设 a = j + k , b = r + s , 其中 j、k、r、s 为任意给定的 ∴ 对于任意的两个两个

有理数,

(3 分 分)

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则 ab

= ( j 2 + k 2 )(r 2 + s 2 ) = ( jr + ks ) 2 + ( js ? kr ) 2 是“世博数”;(3 分)

a j 2 + k 2 ( j 2 + k 2 )(r 2 + s 2 ) ( jr + ks ) 2 + ( js ? kr ) 2 = 2 = (3分) = b r + s2 (r 2 + s 2 ) 2 (r 2 + s 2 ) 2
jr + ks 2 js ? kr 2 也是“世博数”。 ) +( 2 ) 也是 =( 2 2 r +s r + s2
略解: 、△ 略解:⑴不妨设△ ABC 、 BCD 、△ (3 分) ∵

ACD 的面积分别为 3、1、4,
6k k +1


BG DE = =k, GD EA

∴△ ABD 的面积是 6,△ BDE 的面积是

13、(本题满分 15 分) 、(本题满分 、(

△ CDG 的面积是

1 , k +1

△ CDE 的面积为

4k k +1

,△ DEG 的面积是

6k ( k + 1) 2



(3 分)由此可

如图,在四边形

ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上,CE 交 BG DE BD 于 G ,设 = =k。 GD EA
3

得:

1 6k + k + 1 ( k + 1) 2

=

4k 2 ,即 4k ? 3k ? 1 = 0 ,∴ k = 1 k +1

(3 分 分)

⑴求

7k 2 + 20 的值;
BH 2 2 2 2 的两段,且 AH + BH + DH = p ,试用含 p 的代数式表示 ABD 三 的代数式表示△ = 2 的两段 HE

3



7k 2 + 20 =3

(1 分)

⑵若点 H 分线段 BE 成 边长的平方和。

⑵由⑴知: E、G 分别为

AD、BD 的中点,又∵点 H 分线段 BE 成
(2 分)

BH = 2 的两段, HE

∴点 H 是△

的重心。 ABD 的重心

而当延长 BE 到 K , ,使得 BE

= EK ,连结 AK、DK 后便得到平行四边形 ABDK ,再利用“平行四边

形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得: 形的四边平方和等于两对角线的平方和

?2( BD 2 + AD 2 ) = AB 2 + 4 DM 2 2( AB + BD ) = AD + 4BE ,类似地有 ? ,其中点 M 2 2 2 2 ? 2( AB + AD ) = BD + 4 AG
2 2 2 2

为边

AB 的中点。∴ 3( AB 2 + BD 2 + AD 2 ) = 4( BE 2 + DM 2 + AG 2 ) 。(3 分)∵

2 2 2 AG , BH = BE , DH = DM , AH 2 + BH 2 + DH 2 = p 2 ,∴ ∴ 3 3 3 9 。(3 BE 2 + DM 2 + AG 2 = p 2 ,∴ AB 2 + BD 2 + AD 2 = 3 p 2 。( 分) 4 AH =

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14、(本题满分 16 分) (

观察下列各个等式: 1

2

= 1,12 + 2 2 = 5,12 + 2 2 + 3 2 = 14,12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30,LLL 。
2

⑴你能从中推导出计算 1

+ 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 的公式吗?请写出你的推导过程;

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题 中推导出的公式来解决下列问题:

已知:如图,抛物线

y = ? x 2 + 2 x + 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An ?1 ,分别过这 n ? 1 个点作 x 轴的垂线依次交抛 L
3

n 等分,分点从左到右依次为

物线于点 B1、B 2、B3、B 4、B5、B 6、 、B n ?1 ,设△ OBA1 、 L 略解: 略解:⑴∵ n

? (n ? 1) 3 = 3n 2 ? 3n + 1 ,∴当式中的 n 从 1、2、3、…依次取到 n 时,就可得下列 n 个等式: 依次取到



A1 B1 A2 、△ A2 B2 A3 、△ A3 B3 A4 、…、△ An ?1 Bn ?1 A 的面积依次为 S1、S 2、S 3、S 4、 、Sn L

(2 分) 。

①当 n

= 2010 时,求 S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + L + S2010 的值;

13 ? 0 3 = 3 ? 3 + 1,2 3 ? 13 = 3 × 2 2 ? 3 × 2 + 1,33 ? 2 3 = 3 × 3 2 ? 3 × 3 + 1,LL , n 3 ? (n ? 1) 3 = 3n 2 ? 3n + 1 ,将这 n 个等式的左右两边分别相加得: n 3 = 3 × (12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 ) ? 3 × (1 + 2 + 3 + L + n) + n

②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值 题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

(2 分) )

n 3 + 3(1 + 2 + 3 + L + n) ? n n( n + 1)( 2n + 1) 即1 + 2 + 3 + 4 + L + n = = 。(3 分) 3 6
2 2 2 2

2

⑵先求得

A、B 两点的坐标分别为 (3,0)、 ,3) ,∴点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An ?1 的横坐标分别为 L (0

3 6 9 3( n ? 1) ,点 , B1、B 2、B3、B 4、B5、B 6、 、B n ?1 的纵坐标分别为 L 、、、 、 L n n n n 3 3 6 6 3(n ? 1) 2 3( n ? 1) ? ( ) 2 + 2( ) + 3、 ( ) 2 + 2( ) + 3、 、 [ ? L ? ] + 2× +3。 n n n n n n
(3 分)∴

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9 9(n 2 + 2n ? 3) 9( n 2 + 4n ? 12) 9[ n 2 + 2( n 2 ? n) ? 3( n ? 1) 2 ] S1 = , S2 = , S3 = ∴ ,L , S n = 2n 2n 3 2n 3 2n 3 9{n 3 + 2n (1 + 2 + 3 + L + n ? 1) ? 3[12 + 2 2 + 3 2 + L + ( n ? 1) 2 ]} S1 + S 2 + S 3 + L + S n = = 2n 3
9[n 3 + 2n × n(n ? 1) n(n ? 1)( 2n ? 1) ? 3× 9( 2n 2 + n ? 1) 2 6 。 = 2n 3 4n 2

⑴证明:第④种塑料板“可操作”; “可操作”

⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”

(3 分)

∴①当 n

= 2010 时,

9(2 × 20102 + 2009) 72739881 S1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + L + S 2008 = = ; 16160400 4 × 2010 2

②∵ S1

+ S2 + S3 + L + Sn =

9(2n 2 + n ? 1) 9 9 9 = + ? 2 2 2 4n 4 n 4n
9 9 ,即所有三角形的面积和等于 。 2 2

略解: 由题意可知四边形 略解:⑴由题意可知四边形 PQRS 必然是等腰梯形,(2 分)不妨设

∴当 n 取到无穷无尽时,上式的值等于

(3 分)

分别过点 S、Q 作 QR、RS 的垂线 垂足为 I、F 的垂线, QS = PR = QR = 4, PQ = PS = RS = x ,

, 则由△ QRF

∽△ RSI 得到 15、(本题满分 16 分) ( 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计): ):①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ②腰长为 4、顶角为 36° 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120° 的等腰三角形 OMN ;

RI RS = RF QR

,即

4?x 2 = x ,解得 x = 2 5 ? 2 。 x 4 2

ABC ;
∴ SI

= RS 2 ? IR 2 = x 2 ? (

4?x 2 ) = 10 ? 2 5 <2.4, 2

∴第④种塑料板“可操作”。 “可操作” ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ;

(5 分)

⑵如上图所示,分别作直角三角形 分别作直角三角形

ABC 斜边 BC 上的高 AH 、等腰三角形 JKL 的腰 JL 上的高 KE 、等腰三角形 OMN 底边上的高 MG ,易求得: AH =2.4, MG =2.5. (2 分)

⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 与长的比是黄金分割比的黄金矩形 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内 现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 又由⑴可得等腰梯形 PQRS 的锐角底角是 72° ,△ JKL ≌△ PQR ,∴ KE = SI .

我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈, ,则称为此板“可操作”;否则,便称为“不可操作”。 “ 可操作” “不可操作”

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而黄金矩形 WXYZ 的宽等于 4 ×

5 ?1 = 2 5 ? 2 >2.4, 2

(4 分)

∴第①②④三种塑料板“可操作”;而第 “可操作” 而第③⑤两种塑料板“不可操作”。 “不可操作”

∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率 P 从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”

=

7 。(3 分) 10
略解: 略解:⑴结论: D、E、F 三点是同在一条直线上。(1 分)

16、(本题满分 16 分) ( 证明:分别延长 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆 和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△

AD、BC 交于点 K ,由旁切圆的定义及题中已知条件得:
,(3 分)

ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ⊥ IC 于点 D 。

AD = DK , AC = CK ,再由切线长定理得: AC + CE = AF , BE = BF = AF

⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。

∴ KE

。∴

KD AF BE E、 ? ? = 1 ,由梅涅劳斯定理的逆定理可证 D、E F 三点共线。 DA FB EK
,则△

(3 分)

⑵设

AB = AC = 5, BC = 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m ,

m n DE 试作出分别以 = n ,试作出分别以 、 为 n m EF

⑵∵

AB = AC = 5, BC = 6, ∴ A、E、I 三点共线, CE = BE = 3, AE = 4 ,连结 IF
,△

ABE ∽△

两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程 的一个一元二次方程。

AIF

ADI

∽△ CEI ,

A、F、I、D 四点共圆。(2 分)

设⊙ I 的半径为 r ,则:

3 4 AD 3 = , r = 6, ∴ AI = 10, = , 即 AD = 2 5 , ID = 4 5 , r 8 ID 6

∴由△

: AEF ∽△ DEI 得:m = (

4 5 2 5 DE 4 5 5 IE 5 12 ) = , = = , DE = 2 5 , = , EF = 5, 8 4 AE 8 2 EF 2 5

∴n

=

5 。 6

(4 分)

? m n 13 ? +m= 6 m n ∴? n ,因此, ,由韦达定理可知:分别以 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程是 m n n m ? ? =1 ? n m
6 x 2 ? 13 x + 6 = 0 。
(3 分)

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