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中山市2012届高一下学期期末考试(数学)


中山市 2012 届高一下学期期末考试 数学试卷
满分 100 分. 考试用时 100 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能

答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改 液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.
? 参考公式:回归直线 y ? bx ? a ,其中 b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x )2
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y , a ? y ? bx .
2

? xi2 ? nx

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 5 1. cos(? ? ) 的值是 6
3 1 1 C. ? D. ? 2 2 2 2. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 2:3:5,现用分层 抽样的方法抽出样本容量为 80 的样本,那么应当从 A 型产品中抽出的件数为 A. 16 B. 24 C. 40 D. 160 A ??? ?? ? 3. 如右图所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,记 BC ? e1 , ??? ? ??? ?? ? ? BA ? e2 ,则向量 CD ? D ?? 1 ?? ? ?? 1 ?? ? A. ?e1 ? e2 B. ?e1 ? e2 C 2 2 B ?? 1 ?? ? ?? 1 ?? ? C. e1 ? e2 D. e1 ? e2 频率/组距 2 2 4. 某林业局为了解一片经济林的生长情况, 随机测 0.04 量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根 据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右) ,那 0.02 么估计在这片经济林中, 底部周长不小于 110 cm 林 0.01 木所占百分比为( ). 80 90 100 110 120 130 周长(cm) A. 70% B. 60% C. 40% D. 30% ? ? ? ? ? ? b 5. 已知 a ? 3 , b ? 2 3 , a? ? ?3 ,则 a 与 b 的

A.

3 2

B.

夹角是( A. 30 ?

). B. 60 ?

C. 120 ? D. 150 ? 1 1 6. 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则下列说法正确的是 2 3

2 3 1 C. 甲不输的概率是 2 1 ? tan 75? 7. 计算: ? 1 ? tan 75?
A. 乙不输的概率是 A. ?
3 3

B. 甲获胜的概率是 D. 乙输的概率是

1 3

1 6

B. ? 3

C. ?

3 2

D. ?

3 6

8. 函数 y ? cos x tan x ( ? y -?
2

?
2
y

?x?

?
2

)的大致图象是 y y
? x 2

1
? x 2

1
? x 2

1 -?
2

1
? x 2

o -1 A

-?
2

o -1 B

-?
2

o -1 C

o -1 D

9. 已知集合 A ? ?1,,,? ,从中任取两个元素分别作为点 P ? x, y ? 的横坐标与纵坐标,则 234 点 P 恰好落入圆 x2 ? y 2 ? 16 内的概率是 A.

5 6

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 2

10. 将最小正周期为 3? 的函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ( ? 0,? ? ? ? 平移

?
2

)的图象向左

? 个单位,得到偶函数图象,则满足题意的 ? 的一个可能值为 4
A.

7? 12

B. ?

5? 12

C. ?

? 4

D.

?
4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应横线上) 11. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒. 当 你到达路口时,看见不是红灯的概率为 . 12. 函数 y ? A sin(? x ? ?) (| ? |? ) 部分图象如右 2 图,则函数解析式为y= .

?

13. 某程序框图如右图所示,则该程序框图执行后,输出 的结果 S 等于 . 14.给出下列说法: ① 存在实数 ? ,使 sin ? ? cos? ?

开 始

S=0,i=10

3 ; 2
i>5? 否 输出 S 是

i = i -1 S =S +i

② 函数 y ? sin( ? ? x) 是奇函数;

3 2

结 束 缚

③ x?

?
8

是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的一条对称轴方程;

5 4

1 1 10 ④ 若 tan ? ? ? ,则 . ? 2 3 cos ? 9 其中正确说法的序号是____________.
三、解答题(本大题共 5 小题,16、18 题各 8 分,15、17 题各 9 分,19 题 10 分,合计 44 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15. (9 分)已知向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) . (1)求 | a ? b | 和 | a ? b | ;

?

?

? ?

? ?

(2)当 k 为何值时, (ka ? b) //(a ? 3b) .

?

?

?

?

16. (8 分)在一个盒子中装有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝黑色,2 枝蓝色,1 枝红色,从中任取 3 枝. (1)该实验的基本事件共有多少个? 若将 3 枝黑色圆珠笔编号为 A、B、C,2 枝蓝色圆珠 ,} 笔编号为 d,e,1 枝红色圆珠笔编号为 x,用 {a, b c 表示基本事件,试列举出该实验的所 有基本事件; (2)求恰有一枝黑色的概率; (3)求至少 1 枝蓝色的概率.

17. 分) (9 已知函数 f ( x) ? 2sin x ? 2 3 cos x . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及值域; (2)试画出函数 f ( x) 在一个周期内的简图; (3)求函数 f ( x) 的单调递增区间.

1 2

1 2

18.(8 分)某校数学第二课堂研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊 的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12

昼夜温差 x (° C) 就诊人数 y (个)

该研究小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性 回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性
? 回归方程 y ? bx ? a .

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为

得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? 参考数据:

?x
i ?1

4

2

i

?112 ? 132 ? 122 ? 82 ? 498 ;

?x y
i ?1 i

4

i

?11 ? 25 ? 13 ? 29 ? 12 ? 26 ? 8 ? 16 ? 1092 .

19.(10 分)已知单位圆上两点 P、Q 关于直线 y ? x 对称,且射线 OP 为终边的角的大小为

???? ???? x .另有两点 M (a, ?a ) 、 N (?a, a) ,且 f ( x) ? MP · . NQ

(1)当 x ?

?

12 (2)当点 P 在上半圆上运动时,求函数 f ( x) 的表达式;
(3)若函数 f ( x) 最大值为 g (a) ,求 g (a) . O

? 时,求 PQ 的长及扇形 OPQ 的面积;

y Q P x

参考答案
一、选择题:CABDC DBCDB 二、填空题:11. 三、解答题:

3 ; 5
?

1 ? 12. y ? 2sin( x ? ) ; 3 6

13.

40; 14. ③ ④.

15. 解: (1)因为向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,则

?

? ? ? ? a ? b ? (?2,4) , a ? b ? (4,0) , ??(2 分) ? ? ? ? 故 | a ? b |? (?2)2 ? 42 ? 2 5 , | a ? b |? (?4)2 ? 02 ? 4 . ??(4 分) ? ? (2)因为 ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? (k ? 3,2k ? 2) , ? ? a ? 3b ? ( 1 , 2 ) ?3 ( ? , 2 )? (,0 , 4 ) ??(6 分) ? 3 1 ? ? ? ? 若 (ka ? b) //(a ? 3b) ,则 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) ? 0 , ??(7 分)
解得 k ? ? .

1 3

??(9 分)

16. 解: (1)从 6 枝圆珠笔任取 3 枝,基本事件共有 20 个. ??(2 分) 所有基本事件如下 { A , B , C , { A, B, d } , { A, B, e} , { A, B, x} , { A, C , d } , { A, C , e} , { A, C , x} , }

{ A , d , e , { A, d , x} , { A, e, x} , {B, C , d } , {B, C, e} , {B, C , x} , {B, d , e} , } {B, d , x} , {B, e, x} , {C, d , e} , {C, d , x} , {C, e, x} , {d , e, x} . ??(4 分)
(2)P(“恰有一枝黑色”)=

9 ;……(6 分) 20 16 4 (3)P(“至少 1 枝蓝色”)= ? .……(8 分) 20 5

1 ? ??(2 分) f ( x )? 4 s i nx ? . ) ( 2 3 2? (1) 函数 f ( x) 最小正周期 T ? ? 4? ,值域为 [?4, 4] . ??(3 分)
17. 解:

?

(2)列表

x
x ? ? 2 3 f ( x)

?

2? 3
0 0

?
3

4? 3

?
2
4

?
0

7? 3 3 ? 2 ?4

10? 3
2?
0 ??(5 分)

描点连线得函数 f ( x) 在一个周期内的简图如下 (略)

??(7 分) (3)由 2k? ?

1 ? ? ? x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 2 3 2 5? ?? ? , 4 k? ? ? , k ? Z 得函数 f ( x) 的单调递增区间为: ? 4k? ? 3 3? ?

?

??(9 分)

1 1 18. 解: (1) x ? (11 ? 13 ? 12 ? 8) ? 11 , y ? (25 ? 29 ? 26 ? 16) ? 24 , ??(2 分) 4 4

?x y
i ?1 i

4

i

?11 ? 25 ? 13 ? 29 ? 12 ? 26 ? 8 ? 16 ? 1092 ,
?112 ? 132 ? 12 2 ? 82 ? 498 .
? nx y ?
2

?x
i ?1
n

4

2

i

b?

?x y
i ?1 n i i ?1

i

? xi2 ? nx

1092 ? 4 ? 11 ? 24 18 ? , 498 ? 4 ? 112 7

??(4 分)

a ? y ? bx ? 24 ?

18 30 ?11 ? ? . 7 7 30 ? 18 x ? . ??(5 分) 7 7
??(6 分)

于是得到 y 关于 x 的回归直线方程 y ?

? (2) 当 x ? 10 时, y ?

150 150 ? 22 ? 2 ; , 7 7 78 78 ? 12 ? 2 . , 7 7

? 同样, 当 x ? 6 时, y ?

??(7 分)

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ??(8 分) 19. 解: (1) x ?

?
12

? 时, PQ 的长为

?

2 12

?

?

?2 ?

?
3

.

??(1 分)

扇形 OPQ 的面积

1 ? ? ? 1? ? . 2 3 6

??(2 分)

(2)P(cosx,sinx) ,Q(sinx ,cosx).

???? ???? MP ? (cos x ? a,sin x ? a) , NQ ? (sin x ? a,cos x ? a) , ??(3 分) ???? ???? f ( x) ? MP?NQ ? (cos x ? a)(sin x ? a) ? (sin x ? a)(cos x ? a)
? 2(cos x ? a)(sin x ? a) , 其中 x∈[0,π].
??(5 分)

(3) f ( x) ? 2(cos x ? a)(sin x ? a) =2 sinx cosx-2a(sinx -cosx)- 2a 2 . 设 t=sinx -cosx= 2 sin( x ? ) ,x∈[0,π],则 t∈[-1, 2 ].

?

4

∴ f(x)=-t -2at-2a +1,t∈[-1, 2 ] . ①当- 2 ≤a≤1, g (a) =1- a ; ②当 a>1, g (a) =2a- a 2 ; ③当 a<- 2 , g (a) =-1-2 2 a- 2a 2 .
2

2

2

??(7 分)

?1 ? a 2 (? 2 ? a ? 1) ? ? 2 (a ? 1) 综上: g (a) ? ?2a ? a . ? 2 (a ? ? 2) ??1 ? 2 2a ? 2a ?

??(10 分)


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