当前位置:首页 >> 数学 >> 选修4-5 第三节 柯西不等式与算术—几何平均不等式2

选修4-5 第三节 柯西不等式与算术—几何平均不等式2


选修4—5 不等式选讲第三讲(两课时)
柯西不等式与算术—几何平均不等式 1.能利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式, 解决最大(小)值问题.? 2.能利用三个正数的算术平均——几何平均不等 式证明一些简单不等式,解决最大(小)值的 问题,了解基本不等式的推广形式(n个正数 的形式).

[基础知识]
一、柯西不等式 1.二维柯西不等式

的代数形式:设 a1,a2,b1,b2 均为实 数,则(a2+a2)(b2+b2)≥ 1 2 1 2

(a1b1+a2b2,其中等号当 )2

且仅当 a1b2=a2b1 时成立.

2.柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量, 则|α||β|≥|α·β|,其中等号当且仅当两个向量方向

相同或相反时成立.
2 3. 二维形式的三角不等式: x1,1,2,2∈R, 设 y x y 那么 x1+y2 1



x2+y2≥ 2 2

?x1-x2?2+?y1-y2?2

4.柯西不等式的一般形式: 设 n 为大于 1 的自然数,ai,bi(i=1,2,?,n)为任意实数,
n n b1 b2 bn 2 2 2 则 ai · bi ≥( aibi) ,其中等号当且仅当a =a =?=a 时 1 2 n i= 1 i= 1 i= 1

?

n

?

?

成立(当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,?n).

5.推论:在 n 个实数 a1,a2,?,an 的和为定值 S 时,它们 1 2 nS ,当且仅当 a1=a2=?=an 时,平方和 的平方和不小于 1 2 取最小值 nS .

二、算术—几何平均不等式 a1+a2+?+an 定理:若 a1,a2,?,an 为正数,则 n n ≥ a1a2?an ,等号当且仅当 a1=a2=?=an 时成立.

1.设实数 x、y、z 满足 x2+2y2+3z2=3, 求证:|x+2y+3z|≤3 2.
证明:由柯西不等式得: [x2+( 2y)2+( 3z)2]· 2+( 2)2+( 3)2]≥(x+2y+3z)2, [1 即(x+2y+3z)2≤18, ∴|x+2y+3z|≤3 2.

2.已知 x,y,z 是正实数,求证: x+y+z x2 y2 z2 + + ≥ . 2 y+z x+z x+y

证明:∵x,y,z 是正实数,令 x y z a=( , , ), y+z x+z x+y b=( y+z, x+z, x+y), ∵|a· 2≤|a|2|b|2, b|

x y z x2 ∴( · y+z+ · x+z+ · x+y)2≤( + y+z y+z x+z x+y y2 z2 + )[(y+z)+(x+z)+(x+y)], x+z x+y 当且仅当 x=y=z 时,等号成立. x2 y2 z2 即(x+y+z)2≤2( + + )· (x+y+z), z+y x+z x+y x+y+z x2 y2 z2 ∴. + + ≥ . 2 z+y x+z x+y

2 3.已知 a+b+c=1,且 a、b、c 是正数,求证: + a+b 2 2 + ≥9. b+c c+a

1 1 1 证明:法一:左边=[2(a+b+c)]( + + ) a+b b+c c+a 1 1 1 =[(a+b)+(b+c)+(c+a)]( + + ) a+b b+c c+a ≥(1+1+1)2=9.

1 1 1 法二:左边=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]( + + ) a+b b+c c+a a+b a+b b+c b+c c+a c+a =3+ + + + + + b+c c+a a+b c+a a+b b+c ≥3+2 a+b b+c · +2 b+c a+b a+b c+a · + c+a a+b

2

b+c c+a · =9, c+a b+c

2 2 2 ∴ + + ≥9. a+b b+c c+a

4、 (1)已知 a, b, c ? R ,且 abc ? 1 ,求证: (2 ? a)(2 ? b)(2 ? c) ? 27
?

a, b, c ? R ? 且 a ? b ? c ? 1 , (2)已知
a b c 3 ? ? ? 求证: 1 ? b ? c 1 ? a ? c 1 ? a ? b 5

1.已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1. 试求 a+ b+ c的最大值.

解:( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2 ≤(12+12+12)(a+b+c)=3. 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立. ∴( a+ b+ c)2≤3. 故 a+ b+ c的最大值为 3.

2.已知实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数),求 x2+y2+z2的最小值.
解:∵(12+22+32)(x2+y2+z2) ≥(x+2y+3z)2=a2. 1 1 当且仅当 x=2y=3z 时,等号成立. ∴14(x2+y2+z2)≥a2, a2 ∴x +y +z ≥14.
2 2 2

a2 ∴x2+y2+z2 的最小值为14

18 3.已知 x +2y +3z =17,求 3x+2y+z 的最小值. 1 2 2 2 2 2 2 解:∵(x +2y +3z )[3 +( 2) +( ) ] 3
2 2 2

1 2 ≥(3x+ 2y 2+ 3z ) =(3x+2y+z)2, 3 ∴(3x+2y+z)2≤12,-2 3≤3x+2y+z≤2 3. 9 3 3 3 3 当且仅当 x=- 17 ,y=- 17 ,z=- 17 时, 3x+2y+z 取最小值,最小值为-2 3.

2011 年五校联考 4、设 x, y, z ? R,且 x ? 2 y ? 3z ? 1 . (Ⅰ)当 z ? 1 , | x ? y | ? | y ? 1 |? 2 时,求 x 的取值范围;

x2 2 y2 3z 2 u? ? ? x ? 0, y ? 0, z ? 0 时,求 (Ⅱ)当 x ? 1 y ? 2 z ? 3 的最小值.

解: (Ⅰ)当 z ? 1 时, y ? ?1 ? 2 ,从而 | x ? 2 | ? | x |? 4 . ① 当 x ? 0 时, 2 ? x ? x ? 4 ,解得 x ? ?1 ; ② 当 0 ? x ? 2 时, 2 ? x ? x ? 4 ,无解; ③ 当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? 4 ,解得 x ? 3 . 综上,x 的取值范围是 { x | x ? ?1 或 x ? 3} .
x2 2 y2 3z 2 x2 4 y2 9z2 (Ⅱ) u ? x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 3 ? x ? 1 ? 2 y ? 4 ? 3z ? 9

x

∵ x ? 2 y ? 3z ? 1 , x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,
x2 4 y2 9z2 2 ∴ 15u ? ( x ? 1 ? 2 y ? 4 ? 3z ? 9 )[( x ? 1) ? (2 y ? 4) ? (3z ? 9)] ? ( x ? 2 y ? 3z ) =1,

1 u? . ∴ 15

1 x 2y 3z 1 1 3 umin ? . ? ? 当 x ? 1 2 y ? 4 3z ? 9 ,即 x ? 14 , y ? 7 , z ? 14 时, 15

9 1 1.求函数 y=4x- (x> )的最小值. 2 2-4x

9 9 9 解:y=4x- =4x+ =4x-2+ +2, 2-4x 4x-2 4x-2 1 ∵x>2,∴4x-2>0,∴y≥2 9+2=8, 9 当且仅当 4x-2= 时,“=”成立. 4x-2 故所求函数的最小值为 8.

1 1 1 2.已知 a,b,c 为正实数,求a3+b3+c3+abc 的最小值.
解:因为 a,b,c 为正实数,由平均不等式可得 3 1 1 1 1 1 1 + + ≥3 ··, a3 b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3+ 3+ c 3 ≥abc. a b 1 1 1 3 所以 3+ 3+ 3+abc≥abc+abc. a b c

3 而abc+abc≥2

3 abc=2 3. abc·

1 1 1 所以a3+b3+c3+abc≥2 3,当且仅当 a=b=c 时等号成立. 1 1 1 ∴a3+b3+c3+abc 的最小值为 2 3

2 3.已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成 x-a 立,试求实数 a 的最小值.

2 2 解:∵2x+ =2(x-a)+ +2a≥4+2a, x-a x-a ∴7≤4+2a 3 3 ∴a≥2,∴amin=2

4. 实数x,y满足xy>0,且x2y=4,求xy+x2的最小值.

解 : xy ? 0, x y ? 4, ?
2

4 ? y ? 2 ? 0, x ? 0. x 4 4 2 2 ? xy ? x ? x ? 2 ? x ? ? x 2 x x
3 2 2 2 2 2 2 ? ? ? x ? 3 3 ? ? x ? 3 4. x x x x 3 3 2 2 2 当且仅当 ? x , 即x ? 2时, xy ? x 取得最小值3 4. x

5、2009年浙江省样卷

二、高考考题解析 1 1 1.(2010· 辽宁沈阳)已知实数 x,y 满足 2+ 2=1, x y 求 x2+2y2 的最小值.

?1 1? 2y2 ? 解:法一:由题意知,x2+2y2=(x2+2y2)· 2+y2?=3+ x2 ?x ?

x2 x2 2y2 + y2≥3+2 2,当且仅当y2= x2 时,等号成立.
?1 1? 2 1 1 ? 2+ 2?(x +2y2)≥( · 法二: x y x+ y· 2y)2=(1+ x ? ?

2)2=3+

2 2.

1 2.(2010· 福建龙岩质检)已知 a,b,c∈(0,+∞),且a 2 3 +b+ c=2, a+2b+3c 的最小值及取得最小值时 求 a,b,c 的值.

1 2 3 解:(a+b+ c)(a+2b+3c) =[(
2

12 a) +(

22 b) +( 1 a· a+

32 ) ][( a)2+( 2b)2+ c 2 b· 2b+ 3 · 3c)2=36. c

( 3c) ]≥(

1 2 3 又a+b+ c=2,∴a+2b+3c≥18, 1 2 3 a b c 当且仅当 = = , a=b=c=3 时等号成立. 即 a 2b 3c ∴当 a=b=c=3 时,a+2b+3c 取得最小值 18.

3、 (2010 年浙江省高考)设正实数 a,b,c,满足 abc≥1.

a2 b2 c2 求 a ? 2b ? b ? 2c ? c ? 2a 的最小值。

4.(2009 浙江高考) 已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1.
x2 y2 z2 1 ? ? ? ; (1)求证: y ? 2z z ? 2x x ? 2 y 3

(2)求 4 ? 4 ? 4 的最小值.
x y

z2

x2 y2 z2 ? ? ) ? 1; 证明:(1)∵ (3x ? 3 y ? 3z )( y ? 2z z ? 2x x ? 2 y x2 y2 z2 1 ? ? ? ; ∴ y ? 2z z ? 2x x ? 2 y 3

(2) 4 ? 4 ? 4 ? 3 4
x y z 3

x? y? z 2

?3 4
3

1? z ? z 2

?3 2.

5 ( 2010 年 浙 江 省 高 考 ) 设 正 实 数 a , b , c , 满 足 abc ≥ 1. 求

a2 b2 c2 ? ? a ? 2b b ? 2c c ? 2a 的最小值。

2011年浙江省

6、已知x,y,z为正实数,满足2x+2y+z=1, (1)求3xy+yz+xz的最大值;

1 1 1 ( 3) ? ? 的最小值。 x?y y?z z?x

7、2012 年调测卷 (1) 设 a,b,c 为实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
a4

(2) 若正实数 a,b,c 满足 abc=1,求 b(a ? c) c(a ? b) a(b ? c) 的最小 值.

?

b4

?

c4

“数学史与不等式选讲”模块 (1) 证明 1:因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三式相加并除以 2 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
2

(1) 证明 2:因为 a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2) 解:由(1)及柯西不等式,均值不等式知
a4 b ( a ? c ) c ( a ? b ) a (b ? c )

????5 分

?

b4

?

c4



(a 2 ? b 2 ? c 2 )2 2( ab ? bc ? ca )

≥ 1 (a2+b2+c2)≥ 3 3 a2b2c2 = 3 ,
2 2 2

当且仅当 a=b=c=1 时等号成立,所以

a4

b ( a ? c ) c ( a ? b ) a (b ? c )

?

b4

?

c4

的最小值为 3 .
2

综合性问题再举例
8、设 x , y , z > 0, x + y + z = 3 , 依次证明下列不等式,
x? y 4 (1) xy (4 ? xy ) ? 4 ? x ? y ;
x? y y?z z?x (2) xy (4 ? xy ) + yz (4 ? yz ) + zx(4 ? zx) ? 2.

2 xy 2 x? y 证: (1) ? = , xy (4 ? xy ) xy (4 ? xy ) xy (2 ? xy )(2 ? xy )

x? y ,且 xy ( 2 – xy 2 x? y 4 2 所以 ? = x? y 4? x? y xy (4 ? xy ) 2? 2 y?z 4 (2) 同理可得 ? yz (4 ? yz ) 4 ? y ? z z?x 4 ? zx(4 ? zx) 4 ? z ? x
因为 2 +

xy ? 2 +

) ? 1, . (1) 3分

(2) (3)

由柯西不等式得 (

1 1 1 ? ? )( a ? b ? c) ? 9 , a b c
2分

1 1 1 9 (4) ? ? ? a b c a?b?c 利用不等式(4), 由(1), (2), (3) 及已知条件 x + y + z = 3 得 x? y y?z z?x 4 4 4 + + ? + + xy (4 ? xy ) yz (4 ? yz ) zx(4 ? zx) 4? x? y 4? y? z 4? z ? x 4?9 36 ? = =2. 4 ? x ? y ? 4 ? y ? z ? 4 ? z ? x 12 ? 2( x ? y ? z )
又对于 a, b , c> 0, 所以

3分

9、已知 a, b ? 0 ,求证:
2

1 1 1 3 ? ? ? a ? 2b a ? 4b a ? 6b (a ? b)(a ? 7b)



? ? 1 1 ? 1 1 1 ? 1 ? ? ? 3? ? ? ? ? (a ? 2b) 2 (a ? 4b) 2 (a ? 6b) 2 ? ? a ? 2b a ? 4b a ? 6b ? ? ?

3分

? ? 1 1 1 ? 3? ? ? ? ? (a ? b)(a ? 3b) (a ? 3b)(a ? 5b) (a ? 5b)(a ? 7b) ?

6分

3 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2b ? a ? b a ? 3b a ? 3b a ? 5b a ? 5b a ? 7b ? 9 ? (a ? b)(a ? 7b) ?
1 1 1 3 ? ? ? ? a ? 2b a ? 4b a ? 6b (a ? b)(a ? 7b)

x?3 10、已知函数 f (x)= x ? 1 ( x ? ?1) .

(1)设 x,y,z>0 且 x+y+z=1,求 f (x)+ f (y)+ f (z)的最小值. (2)设数列

?an ? 满足 a
*

n

?

f ? n? ?1 2

, n? N ,
*

13 求证 当 n ? 2, n ? N 时, an ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ?1 ? 24
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)由柯西不等式可得 f (x)+ f (y)+ f (z)的最小值为
1 3

15 ,???????3 分 2

当且仅当 x=y=z= 时取到等号。???????????????????4 分
1 1 1 13 ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 2n 24 证明 (1)当 n=2 时, 1 ? 1 ? 7 ? 13 ????????5 2 ? 1 2 ? 2 12 24 (2)假设当 n=k 时成立,即 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 13 k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当n ? k ? 1时, ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)(k ? 1) 24

(2)即证 n ? N * , n ? 2 ,
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



故可得结论??????????10 分


更多相关文档:

选修4-5不等式选讲

选修4-5 一.基础知识: 1.两个实数大小关系的基本...3 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2...(3)柯西不等式的向量形式:设α,β 是两个向量,...

2015人教版高中数学选修4-5学案:3.1.2柯西不等式(2)

2015人教版高中数学选修4-5学案:3.1.2柯西不等式(2)_数学_高中教育_教育专区...认识二维柯西不等式的几种形式,进一步理解它们的几何意义; ?知识情景: ...

高中数学 学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用

柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何 平均不等式.3...高中数学 第三讲《柯西不... 5页 免费 选修4-5 第三节 柯西不... 暂无评价...

选修4-5第三讲《柯西不等式与排序不等式》

选修4-5第三讲《柯西不等式与排序不等式》_高二数学_数学_高中教育_教育专区。...|? c 2 ? d 2 , 所以柯西不等式几何意义就是: | ? | ? | ? |?...

选修4-5不等式选讲

等号成立. 2 a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则≥ abc,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 3 定理 4:(一般形式的算术-几何平均不等式)如果 a1...

选修4—5 不等式选讲

(Ⅱ)三个正数的算术—几何平均不等式 a+b+c 3 (1)定理 如果 a,b,c 均...柯西不等式 (1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2...

高中数学不等式柯西不等式二

a 2 ? ? ? a n 2 2 2 n 调和平均数 几何平均数 (当且仅当 a1 算术平均数 时取等号) 平方平均数 ? a2 ? ? ? an 5柯西不等式:设 a1 , a ...

选修4-5不等式知识点

选修4-5不等式知识点_理学_高等教育_教育专区。知识点第1 课时 不等式的性质...a 2 + b 2 ≥ 1 ; 2 第 3 课时 三个正数的算术—几何平均不等式 探索...

选修4-5 不等式选讲

c 为正数,则 成立. 定理 4:(一般形式的算术-几何平均值不等式)如果 a1、a2...(i=1,2,…, n)时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设α,β 为平面...
更多相关标签:
柯西不等式 | 柯西不等式的证明 | 柯西不等式公式 | 柯西不等式证明 | 反向柯西不等式 | 柯西不等式的应用 | 柯西不等式积分形式 | 柯西不等式应用 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com