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浙江省宁波市“十校”2016届高三联考数学(文)试题


绝密★启用前

浙江省 2016 届宁波高三十校联考

文科数学 试题卷
参考公式:
柱体的体积公式: V ? Sh

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1 、 S2 分别

表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ? 4 ?R 3

1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 1 台体的体积公式: V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
球的表面积公式: S ? 4? R 2

3

其中 R 表示球的半径

选择题部分 (共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6?,集合 A ? ?2,3,5?, B ? ? 1,3,4?,则 A ? (?U B) ? ( A. ?3? B. ?2,5? C. ? 1,4,6? D. ?2,3,5? )

2.在等差数列 {an } 中, a2 ? a3 ? 8 ,前 7 项和 S7 ? 49 ,则数列 {an } 的公差等于( A.1 B.2 C.



20 3

D.

6 5


3. “ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.设 ? , ? , ? 是不同的平面, m, n 是不同的直线,则由下列条件能得出 m ? ? 的是( A. n ? ? , n ? ? , m ? ? C. m ? n, n ? ? 5.要得到函数 y ? cos(2 x ? B. ? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? D. ? ? ? , ? ? ? ? n, m ? n

?

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

) 图象,只需将函数 y ? sin( ? 2 x) 图象( 3 2 ? B.向右平移 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 6


?



? 3 x ? y ? 0, ? ? 6.若实数 x, y 满足条件: ? x ? 3 y ? 2 ? 0, 则 3x ? y 的最大值为( ? y ? 0, ? ?
A.0 B. 3 C. 2 3 D.

2 3 3

? x ?2 ? 1, x ? 1, ? ? 1 7.已知函数 f ( x) ? ?? , x ? 1, , g ( x) ? f ( x) ? k , k 为常数,给出下列四种说法: 2 ? ?1 ? log 1 x, x ? 1, ? 2 ? 1 ① f ( x ) 的值域是 (??,1] ; ②当 k ? ? 时, g ( x) 的所有零点之和等于 2 2 ; 2 ③当 k ? ?1 时, g ( x) 有且仅有一个零点; ④ f ( x ? 1) 是偶函数.
其中正确的是( A.①③ ) B.①④
2 2

C.②③

D.②④

y
A

8.如图,焦点在 x 轴上的椭圆

x y ? ? 1 ( a ? 0 )的左、右焦点分别 2 a 3 为 F1 、 F2 , P 是椭圆上位于第一象限内的一点,且直线 F2 P 与 y 轴
的正半轴交于 A 点,△ APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q ,若

P
F1 O

Q

F2

x

| FQ |? 4,则该椭圆的离心率为( 1
A.

) C.

1 4

B.

1 2

7 4

D.

13 4

(第 8 题图)

非选择题部分(共 110 分)
二、 填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. ? ? 4
0 ? 1 2

? cos? ?
2 2

, log3 9 ? lg 2 ? log2 10 =


3

10 .双曲线 9x ?16 y ? ?144 的实轴长等于

, 其渐近线与圆
4

x2 ? y2 ? 2x ? m ? 0 相切,则 m ?

2

. ,表面积

正视图

侧视图

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 等于 .

俯视图 (第 11 题图)

12.在边长为 1 的等边 ?ABC 中, P 为直线 BC 上一点,若

13.函数 y ? 3 sin x ? cos x ? cos x ? , x ?[0,

AP ? (2 ? ? ) AB ? 2? AC, ? ? R ,则 ? ? 1 ? 2
2 2

, AP ? AC ?

. .

] 的单调递增区间是

14 .已知 A 是常数,如果函数 f ( x ) 满足以下条件:①在定义域 D 内是单调函数;②存在区间

[m, n] ? D ,使得 { y | y ? f ( x), m ? x ? n} ? [ An ? 3, Am ? 3] , 则称 f ( x ) 为 “反 A 倍增三函数” .

若 g ( x) ? 16 ? x ? x 是“反 A 倍增三函数”,那么 A 的取值范围是 15.已知正实数 a , b 满足: a ? b ? 1 ,则

. .

2a b ? 的最大值是 a ? b a ? b2
2

三、解答题:本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 16. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 向量 m ? (5a ? 4c,4b) 与 n ? (cosB,? cosC) 互相垂直. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 c ? 5, b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S .

17.如图, ?ABC 中, O 是 BC 的中点, AB ? AC , AO ? 2OC ? 2 .将 ?BAO 沿 AO 折起,使

B 点到达 B? 点.
(Ⅰ)求证: AO ? 平面B ?OC ; (Ⅱ) 当三棱锥 B ? ? AOC 的体积最大时, 试问在线段 B ?A 上 是否存在一点 P ,使 CP 与平面 B?OA 所成的角的正弦 值为

B?
P B

6 ?若存在,求出点 P 的位置;若不存在,请说 3

O

C

明理由.

A
(第 17 题图)

18.已知正项数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足: 4Sn ? (an ?1)(an ? 3) , ( n ? N ).
*

(Ⅰ) 求 an ; (Ⅱ)若 bn ? 2n ? an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .
[来源:Z_xx_k.Com]

19. 已知 O 是坐标系的原点,F 是抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点, 过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点, 弦 AB 的中点为 M , ?OAB 的重心为 G . (Ⅰ)求动点 G 的轨迹方程; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的轨迹与 y 轴的交点为 D ,当直线 AB 与 x 轴相交时,令交点为 E ,求四边形

DEMG 的面积最小时直线 AB 的方程.
y B F A E M

G

D O

x

(第 19 题图)
2 20.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? x , a ? R .

(Ⅰ)若 a ? 2 ,且关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 0 在 R 上有解,求 m 的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [?3, 2] 上不单调, 求 a 的取值范围.

2016 年宁波市高三十校联考数学(文科)参考答案

[来源:学 .科 .网 Z.X.X.K]

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 B B
[来源:Zxxk.Com]

C

A

D

C

C

D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. 13.

1 , 1 2
[0, ] 3

10. 6,

?

16 25 19 14. [? , ?1) 16

11. 6? , 12 ? 10? 15.

12. ?1 , ?

1 2

2 3?3 3

三、解答题:本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解:(Ⅰ)因为 m ? n ,所以 (5a ? 4c) cos B ? 4b cos C ? 0 ,……………….…….2 分 所以 (5sin A ? 4sin C ) cos B ? 4sin B cos C , ………… ………………………….4 分 所以 5sin A cos B ? 4(sin B cos C ? cos B sin C ) ? 4sin( B ? C ) ? 4sin A ,

??

?

4 . ……… …………… ……… ………. ……………….7 分 5 4 2 (Ⅱ)由余弦定理得, 10 ? 25 ? a ? 2 ? 5 ? a ? , 5 2 化简得, a ? 8a ? 15 ? 0 ,……………………………………… ….. …………….10 分
而 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 解得, a ? 3 或 a ? 5, ……………………………… ….. ………………………….12 分 而 c ? 5, sin B ?

1 3 ,又 S ? ca sin B , 5 2 1 3 9 1 3 15 故 S ? ? 5? 3? ? 或 S ? ? 5? 5? ? . ……………………………….14 分 2 5 2 2 5 2 17.(Ⅰ)证明:因为 AB ? AC 且 O 是 BC 的中点, 所以 AO ? BO, AO ? CO ,由折叠知 AO ? B ' O ,又 CO ? B?O ? O , 所以 AO ? 平面B ?OC . … ………………………………….…6 分 B?
(Ⅱ)不存在. ……………………………. ……….………7 分 证明如下: 当面 B ' OA ? 面 AOC 时,三棱锥 B? ? AOC 的体积最大. 因为面 B ' OA ? 面 AOC ? AO, B ' O ? AO , 所以 B' O ? 面 ACO . ……………….…9 分 (方法一)连结 OP , 因为 CO ? B' O, CO ? AO , AO ? B?O ? O , 所以 CO ? 面 B' OA , 所以 ?CPO 即为 CP 与平面 B?OA 所成的角,…….…12 分 在直角三角形 CPO 中,

P

B

O

C

A

CO ? 1, ?COP ?

?
2

, sin ?CPO ?

3 6 ,所以 CP ? , 3 6

而 ?ACB ' 中, AC ? AB' ? 5, B' C ? 2 , 设 C 到直线 AB? 的距离为 h ,则由 S?ACB' ? 因为 CP ? h , 所以满足条件的点 P 不存在.

3 1 1 1 . ? 5h ? ? 2 ? 5 ? ,得 h ? 2 2 2 5
. ………………………………..…15 分

…………………………………………………………………………………………14 分 (方法二)(前面 12 分同解法一)在直角三角形 CPO 中,

OC 2 ,所以 OP ? , 2 OP 2 2 5 2 易求得 O 到直线 AB ' 的距离为 ,…………………………….…14 分 ? 5 2 所以满足条件的点 P 不存在.………………………………………….…15 分 (方法三)已证得 OA, OB' , OC 两两垂直 ,如图建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(2, 0, 0), B?(0, 0,1), C (0,1, 0) CO ? 1, ?COP ? , tan ?CPO ? 2 ?
??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 0,? ) ,则 CP ? CA ? AP ? (2 ? 2? , ?1, ? ) ,………11 分 设 AP ? ? AB? ? (?2?, ? 又平面 B ?OA 的法向量 n ? (0,1, 0) ,依题 意得,

?

CP ? n CP ? n


?

6 ,……………………………………13 分 3

B?
P

z

1 5?2 ? 8? ? 5

?

6 2 ,化简得, 10? ? 16? ? 7 ? 0 , 3
……………….…15 分

B

O

C

y

此方程无解,…………………………………………14 分 所以满足条件的点 P 不存在.

x
2 18. 解:(Ⅰ) 因为 4Sn ? (an ?1)(an ? 3) ? an ? 2an ? 3 ,
2 所以当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ? 3 ,

A

…………………………………….…2 分

两式相减得, 4an ? a ? a
2 n

? 2an ? 2an?1 , ………………………………….…3 分 化简得, (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , 由于 ?an ?是正项数列,所以 an ? an?1 ? 0 ,
2 n?1

所以 an ? an?1 ? 2 ? 0 ,即对任意 n ? 2, n ? N 都有 an ? an?1 ? 2 ,…………….…5 分
*
2 又由 4S1 ? a1 ,……6 分 ? 2a1 ? 3 得, a12 ? 2a1 ? 3 ? 0 ,解得 a1 ? 3 或 a1 ? ?1 (舍去)

所以 ?an ?是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 . (Ⅱ)由已知及(Ⅰ)知, bn ? (2n ? 1) ? 2 ,
n

………………… …………………………………….…8 分

Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ,



2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ?? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 , ② .………………10 分
② -①得,

Tn ? ?3? 21 ? 2(22 ? 23 ? 24 ? ?? 2n ) ? (2n ?1) ? 2n?1 ………………………….…13 分
? ?6 ? 2?
?1 4 (1 ? n2 ) ? (n 2? ? 1 )n?12 1? 2 ? 2 ? (2n ?1) ? 2n?1 . ……………………… …………………………………….…15 分

19. 解: (Ⅰ)焦点 F (0,1) ,显然直线 AB 的斜率存在,设 AB : y ? kx ? 1 ,…………1 分 联立 x2 ? 4 y ,消去 y 得, x ? 4kx ? 4 ? 0 , ……2 分
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),G( x, y) , 则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,………………….…3 分 所以 y1 ? y2 ? kx1 ? 1 ? kx2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 ,

y

B
F A E M

4k ? x? , ? ? 3 所以 ? 2 ? y ? 4k ? 2 , ? 3 ?

G

…………………….…6 分

D O

x

3 2 2 x ? . ……….…7 分 4 3 2 1 4k (Ⅱ)由已知及(Ⅰ)知, D(0, ), E (? , 0), k ? 0, xM ? 2k , xG ? , 3 k 3 OD 2 OG 因为 ,所以 DG // ME ,(注:也可根据斜率相等得到), ………9 分 ? ? OF 3 OM
消去 k ,得重心 G 的轨迹方程为 y ?

4k 1 1 ,ME ? 1 ? k 2 2k ? (? ) ? 1 ? k 2 (2 k ? ) , 3 k k 1 1 3 D 点到直线 AB 的距离 d ? ? , ………………………………….…11 分 1? k 2 3 1? k 2 所以四边形 DEMG 的面积 1 4k 1 1 1 10 1 1 10 30 , S? 1? k 2 ? ( ? 2 k ? )? ? ( k ? ) ? ?2 ? 2 3 k 3 1? k 2 6 3 k 6 3 9 DG ? 1 ? k 2
当且仅当

10 1 30 k ? ,即 k ? ? 时取等号,此时四边形 DEMG 的面积最小, ……14 分 10 3 k
30 x ? 1 . ……………………………………………15 分 10

所求的直线 AB 的方程为 y ? ?

? 2 2 | x |? , ?2 x ? x ? 1, ? 2 2 20.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? x ? ? ………..……..…1 分 2 ??2 x 2 ? x ? 1, | x |? . ? ? 2
结合图象可知,

2 1 2 2 1 2 , ), ( , ??) 上单调递增, ), ( , ) 上单调递减,在 (? 2 4 2 2 4 2 2 2 , ..……..………………………………………………….…3 分 f ( x) min ? f (? )?? 2 2 2 由已知得, m ? f ( x) 有解,只要 m ? f ( x) min , 所以 m ? ? , 2 2 即 m 的最小值为 ? . ………………………………………………………….…5 分 2 (Ⅱ) (1)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x ? 1 在 [?3,2] 上单调递增,不满足条件; …………….6 分 1 2 1 2 2 ) ?1? (2)若 a ? 0 ,则 ax ? 1 ? 0 ,所以 f ( x) ? ?ax ? 1 ? x ? ?a ( x ? , 2a 4a 1 1 ) 上递减,在 ( , ??) 上递增, 在 ( ?? , 2a 2a ? a ? 0, 1 ? 故 f ( x ) 在 [?3,2] 上不单调等价于: ? 1 解得 a ? ? ; …………..…8 分 6 ? ?3, ? ? 2a 1 1 ? 2 ax ? x ? 1, x ? ? 或 x ? , ? a a ? (3)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ? …………………………9 分 ??ax 2 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1 , ? a a ?
函数在 (??, ? 结合图象,有以下三种情况:


[来源:学&科&网]



1 1 1 1 1 ,?? ) 上单调递增,在 ( ??, ? ] 上 ? ,即 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在 [ ? 4 2a 2a 2a a 1 ? 0?a? , ? 1 1 ? 4 ? a ? ;. .…11 分 单调递减, f ( x ) 在 [?3,2] 上不单调等价于 ? 解得 6 4 ? ? 1 ? ?3, ? ? 2a 1 1 1 1 1 1 ? ), ( , 上 )单 调 递 减 , 在 当 , 即 a ? 时 , 函 数 在 (?? ,? 4 2a a a 2a a 1 1 1 1 (? , ) , ( ?? , 上单调递增,由于 ) ?3 ? ? 2 恒成立, a 2a a a


所以 f ( x) 在区间 ?? 3,2? 上不单调成立,即 a ?
③当 a

1 符合题意; 4

…………..….…13 分

?

1 时, f ( x ) 在 (??, ?2) 上递减,在 (?2, ??) 上递增,因此在 ?? 3,2? 上不单调, 4
………………………………………………………………………………14 分

符合题意.

综上所述, a ? ?

1 1 或a ? . 6 6

… ……… …………………………………………….…15 分


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