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2013年高考一轮:第十章 第2单元 法拉第电磁感应定律 自感和涡流


[思维启动]

如图10-2-1所示,当导体棒在垂直于
磁场的平面内,绕其一端为轴, 以角

速度ω匀速转动时,产生的感应电动势
为E=________。

图10-2-1

提示:棒在时间 t 内转过的角度 θ=ωt, 1 12 扫过的面积 S= l· lθ= l ωt,

2 2 1 2 对应的磁通量 Φ=BS= Bl ωt, 2 Φ 1 则棒产生的感应电动势 E= t = Bl2ω。 2 1 1 2 另外:由 E=Bl v ,又 v = ωl, 可得 E= Bl ω。 2 2

[知识联动] 1.感应电动势 (1)概念:在电磁感应现象中产生的电动势; (2)产生条件: 穿过回路的磁通量发生改变, 与电路是否闭合无关。 (3)方向判断:感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断。 2.法拉第电磁感应定律 (1)内容: 感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成 正比。 ΔΦ (2)公式:E=n ,其中 n 为线圈匝数。 Δt

3.导体切割磁感线时的感应电动势 (1)导体垂直切割磁感线时,感应电动势可用 E=Blv 求出, 式中 l 为导体切割磁感线的有效长度。 (2)导体不垂直切割磁感线时,即 v 与 B 有一夹角 θ,感应 电动势可用 E=Blvsinθ 求出。

4.磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率的区别
三个量 比较 项目 磁通量 磁通量的 变化量 磁通量的 变化率

某时刻穿过 某段时间内穿 穿过某个面 物理意义 某个面的磁 过某个面的磁 的磁通量变 感线的条数 通量变化 化的快慢

三个量 比较 项目 Φ= B· Scosθ 磁通量

磁通量的 变化量

磁通量的 变化率

大小

ΔΦ=Φ2-Φ1 ΔΦ=BΔS或ΔΦ Δt Δt Δt ΔΦ=B·ΔS ΔB =S ΔΦ=S·ΔB Δt

三个量 比较 项目 磁通量

磁通量的 变化量

磁通量的 变化率 既不表示磁通量

注意

开 始 时 和 转 过 的大小,也不表 若 有 相 180° 平 面 都 与 示变化的多少。 时 反 方 向 磁场垂直, 穿过平 实际上,它就是 磁场,磁 面 的 磁 通 量 是 一 单匝线圈上产生 通 量 可 正 一 负 , ΔΦ = 的电动势,即 E 能抵消 2BS,而不是零 ΔΦ = Δt

ΔΦ 5. 公式 E=n 与 E=BLvsinθ 的比较 Δt 两个公式 项 目 ΔΦ E=n Δt E=BLvsinθ

(1)求的是 Δt 时间内 (1)求的是瞬时感应 区 别 的 平 均 感 应 电 动 电动势, 与某个时 E 势, 与某段时间或 刻或某个位置相对 E 某个过程相对应 应

两个公式 项 目

ΔΦ E=n Δt

E=BLvsinθ

(2)求的是整个回路的 感应电动势, 整个回路 区 别 的感应电动势为零时, 其回路某段导体的感 应电动势不一定为零 (2)求的是回路中 一部 分导体切割 磁感 线时产生的 感应电动势

两个公式 项 目

ΔΦ E=n Δt (3) 由 于 是 整 个回路的感

E=BLvsinθ

(3)由 于 是 由 一 部 分 导体切割磁感线的 运动产生的,该部分 就相当于电源





应电动势,因 此电源部分 不容易确定

两个公式 项 目

ΔΦ E=n Δt

E=BLvsinθ

ΔΦ 公式 E=n 和 E=BLvsinθ 是统一的, Δt 联系 当 Δt→0 时,E 为瞬时感应电动势,而 公式 E=BLvsinθ 的 v 若代入 v ,则求 出的 E 为平均感应电动势

6.感应电荷量的求法 在电磁感应现象中有电流通过电路, 那么也就有电荷量通 q 过,由电流的定义 I= 可知 q=IΔt。必须注意 I 应为平 Δt E 均值,而 I = R ,所以要通过求感应电动势的平均值再求 E ΔΦ 其电荷量,即:q= I Δt= R Δt=n R 。 由此可知,感应电荷量 q 由磁通量变化大小 ΔΦ 及电路 的电阻 R 决定,与变化时间无关。

[应用升级] 1.一矩形线框置于匀强磁场中,线框平面与磁场方向垂 直,先保持线框的面积不变,将磁感应强度在1 s时间

内均匀地增大到原来的两倍,接着保持增大后的磁感
应强度不变,在1 s时间内,再将线框的面积均匀地减 小到原来的一半,先后两个过程中,线框中感应电动 势的比值为 A.1/2 B.1 ( )

C.2

D.4

解析:先保持线框的面积不变,由法拉第电磁感应定律 2B-B BS ΔB 可知 E1=S =S = ;再保持增大后的磁感应 Δt Δt Δt ΔS BS 强度不变,有 E2=2B =- ,可见先后两个过程中 Δt Δt 产生电动势大小相等,两者的比值为 1,选项 B 正确。

答案:B

[思维启动]

在如图10-2-2所示的电路中,两个
相同的小灯泡L1和L2分别串联一个 带铁芯的电感线圈L和一个滑动变阻 器R。闭合开关S后,调整R,使L1和 L2发光的亮度一样,此时流过两个灯 图10-2-2

泡的电流为I。然后,断开S。若t′时刻再闭合S,则在t′
前后的一小段时间内, 试画出能正确反映流过L1的电 流i1、流过L2的电流i2随时间t变化的图像。

提示:闭合开关S后,调整R,使两个灯泡L1、L2发光的亮 度一样,电流为I,说明RL=R。若t′时刻再闭合S,流过电

感线圈L和灯泡L1的电流增大,使电感线圈L产生自感电动
势,阻碍了流过L1的电流i1增大,

直至到达电流I,流过灯泡L2的电流i2立即达到电流I。所以
电流图像如图所示:

[知识联动] 1.互感现象 两个互相靠近的线圈,当一个线圈中的电流变化时,它 所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势 的现象。 2.自感现象 (1)定义:由于通过导体自身的电流发生变化而产生的电磁 感应现象。

(2)自感电动势: ①定义:在自感现象中产生的感应电动势。 ΔI ②表达式:E=L 。 Δt ③自感系数 L: 相关因素:与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯 有关。 单位:亨利(H),1 mH=10-3H,1 μH=10-6 H。

3.涡流 当线圈中的电流发生变化时,在它附近的任何导体中 都会产生感应电流,这种电流像水的旋涡,所以叫涡 流。 (1)电磁阻尼:当导体在磁场中运动时,感应电流会使导 体受到安培力,安培力的方向总是阻碍导体的运动。

(2)电磁驱动:如果磁场相对于导体转动,在导体中会产 生感应电流使导体受到安培力的作用,安培力使导体 运动起来。 交流感应电动机就是利用电磁驱动的原理工作的。

4.通电自感和断电自感的比较

两种自感
比较项目

通电自感

断电自感

电路图

两种自感 比较项目 器材要求

通电自感 A1、A2同规格,R =RL,L较大 在S闭合瞬间,灯 A2立即亮起来, 灯A1逐渐变亮,

断电自感

L很大(有铁芯)

在开关S断开时,灯A
渐渐熄灭或闪亮一下 再熄灭

现象

最终一样亮

两种自感 比较项目

通电自感

断电自感
S断开时,线圈L产生自感电动 势,阻碍了电流的减小,使电 流继续存在一段时间;灯A中 电流反向不会立即熄灭。若 RL<RA,原来的IL>IA,则A灯熄 灭前要闪亮一下。若RL≥RA, 原来的电流IL≤IA,则灯A逐渐

由于开关闭合时,流

过电感线圈的电流迅
速增大,线圈产生自 原因 感电动势,阻碍了电

流的增大,使流过灯
A1的电流比流过灯A2 的电流增加得慢 能量转化情况 电能转化为磁场能

熄灭不再闪亮一下
磁场能转化为电能

[应用升级] 2.在图10-2-3所示的电路中,两个灵 敏电流表G1和G2的零点都在刻度盘

中央,当电流从“+”接线柱流入时,
指针向右摆;电流从“-”接线柱流入 时,指针向左摆。在电路接通后再断 图10-2-3 ( )

开的瞬间,下列说法中符合实际情况的是

A.G1表指针向左摆,G2表指针向右摆
B.G1表指针向右摆,G2表指针向左摆 C.G1、G2表的指针都向左摆 D.G1、G2表的指针都向右摆

解析:电路接通后线圈中电流方向向右,当电路断开时,

线圈中电流减小,产生与原方向相同的自感电动势,与
G2和电阻组成闭合回路,所以G1中电流方向向右,G2中

电流方向向左,即G1指针向右摆,G2指针向
左摆。B项正确。

答案:B

[知识检索] ΔΦ (1)感应电动势的大小由穿过电路的磁通量的变化率 和 Δt 线圈的匝数共同决定,而与磁通量 Φ、磁通量的变化量 ΔΦ 的大小没有必然联系。 E ΔΦ (2)感应电荷量 q 可由 q= I ·Δt,I= ,E=n 求解:q= Δt R总 n ΔΦ 。 R总

[典题例析] [例 1] 如图 10-2-4 甲所示,一个电阻值为 R,匝数

为 n 的圆形金属线圈与阻值为 2R 的电阻 R1 连接成闭合 回路。线圈的半径为 r1。在线圈中半径为 r2 的圆形区域 内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场,磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系图线如图乙所示。图线与横、纵轴 的截距分别为 t0 和 B0,导线的电阻不计。求 0 至 t1 时间 内

图10-2-4 (1)通过电阻R1上的电流大小和方向;

(2)通过电阻R1上的电荷量q及电阻R1上产生的热量。

[思路点拨]

[解析] 到 a。

(1)根据楞次定律可知, 通过 R1 的电流方向为由 b

根据法拉第电磁感应定律得线圈中的电动势为 ΔBπr22 n· 0πr22 B E=n = Δt t0 根据闭合电路欧姆定律得通过 R1 的电流为 E nB0 πr22 I= = 。 3R 3Rt0

nB0πr22t1 (2)通过 R1 的电荷量 q=It1= , 3Rt0 2n2B02π2r24t1 R1 上产生的热量 Q=I2R1t1= 。 9Rt02
[答案] nB0πr22 (1) 3Rt0 方向由 b 到 a

nB0πr22t1 (2) 3Rt0

2n2B02π2r24t1 9Rt02

[拓展训练] 1.半径为a的圆形区域内有均匀磁场,磁 感应强度为B=0.2 T,磁场方向垂直纸 面向里,半径为b的金属圆环与磁场同

心地放置,磁场与环面垂直,其中a=
0.4 m,b=0.6 m, 金属环上分别接有灯 图10-2-5

L1、L2,两灯的电阻均为R0=2 Ω,一金属棒MN与金属 环接触良好,棒与环的电阻均忽略不计。

(1)若棒以 v0=5 m/s 的速率在环上向右匀速滑动, 求棒滑 动到圆环直径 OO′的瞬间(如图 10-2-5 所示), MN 中 的电动势和流过灯 L1 的电流。 (2)撤去中间的金属棒 MN 将右面的半圆环 OL2O′以


OO′为轴向上翻转 90° ,若此时磁场随时间均匀变化, ΔB 4 其变化率为 Δt =π T/s,求 L2 的功率。

解析:(1)棒滑过圆环直径 OO′的瞬时, MN 中的电动势 E1=B· 0=0.2×0.8×5 2av E1 V=0.8 V 等效电路如图所示, 流过灯 L1 的电流 I1= =0.4 A R0 (2)撤去中间的金属棒 MN, 将右面的半圆环 OL2O′以 OO′ 为轴向上翻转 90° ,感应电动势 ΔΦ ΔB· πa2 4 S E2= = = ·=0.32 V Δt Δt 2 π 1 2 U′2 ?2E2? L2 的功率 P2= = =1.28×10-2W R0 R0 答案:(1)0.8 V 0.4 A (2)1.28×10-2W

[知识检索] 公式E=Blv的有效性和相对性

(1)有效性:公式中的l为有效切割长度,即导体与v垂直的
方向上的投影长度。图10-2-6中有效长度分别为:

图10-2-6

甲图:l=cdsinβ; 乙图:沿 v1 方向运动时,l=MN;沿 v2 方向运动时,l=0。 丙图: v1 方向运动时, 沿 l= 2R; v2 方向运动时, 沿 l=0; 沿 v3 方向运动时,l=R (2)相对性:E=Blv 中的速度 v 是相对于磁场的速度,若 磁场也运动,应注意速度间的相对关系。

[典题例析] [例2] 在范围足够大,方向竖直向下

的匀强磁场中,B=0.2 T,有一水平
放置的光滑框架,宽度为L=0.4 m, 如图10-2-7所示,框架上放置一质量 图10-2-7 为0.05 kg、电阻为1 Ω的金属杆cd,框架电阻不计。若杆cd 以恒定加速度a=2 m/s2,由静止开始做匀变速运动,求:

(1)在 5 s 内平均感应电动势是多少? (2)第 5 s 末回路中的电流多大? (3)第 5 s 末作用在杆 cd 上的水平外力多大? [思路点拨] 5 s 内的平均感应电动势用公式 E=BL v 计 算,第 5 s 末的瞬时电动势用公式 E=BLv 计算。

[解析]

1 2 (1)5 s 内的位移 s=2at =25 m

s 5 s 内的平均速度 v = t =5 m/s 0+v5 (也可用 v = 2 求解) 故平均感应电动势 E =BL v =0.4 V。

(2)第 5 s 末:v=at=10 m/s 此时感应电动势:E=BLv E BLv 0.2×0.4×10 则回路中的电流为:I=R= R = A=0.8 A。 1 (3)杆 cd 匀加速运动,由牛顿第二定律得:F-F 安=ma 即 F=BIL+ma=0.164 N。

[答案]

(1)0.4 V

(2)0.8 A

(3)0.164 N

[拓展训练] 2.金属杆MN和PQ间距为l,MP间 接有电阻R,磁场如图10-2-8所

示,磁感应强度为B。金属棒AB
长为2l,由图示位置以A为轴,以 图10-2-8

角速度ω匀速转过90°(顺时针)。求该过程中(其他电 阻不计): (1)R上的最大电功率。

(2)通过R的电量。

解析:AB 转动切割磁感线,且切割长度由 l 增至 2l 以后 AB 离开 MN,电路断开。 (1)当 B 端恰至 MN 上时,E 最大。 0+ω2l Em=B· 2l· =2Bωl2, 2 Em2 4B2ω2l4 PRm= R = R

(2)AB 由初位置转至 B 端恰在 MN 上的过程中回路 1 3 2 ΔΦ=B··2l· l· sin60° = Bl 2 2 ΔΦ 3Bl2 q= I · Δt= R = 2R

4B2ω2l4 答案:(1) R

3Bl2 (2) 2R

[知识检索] (1)线圈总是阻碍电流变化。电流增大时,它阻碍电流 的增大,相当于电阻;电流减小时,它阻碍电流的 减小,相当于电源。 (2)断电时,与线圈组成的闭合电路中,电流的大小和

方向与线圈中原来电流相同。

[典题例析] [例3](双选)如图10-2-9所示的电路中,三个相同的

灯泡a、b、c和电感线圈L1、L2与直流电源连接,电感
线圈的电阻忽略不计。开关S从闭合状态突然断开时, 下列判断正确的有 ( )

图10-2-9

A.a先变亮,然后逐渐变暗
B.b先变亮,然后逐渐变暗 C.c先变亮,然后逐渐变暗 D.b、c都逐渐变暗 [思路点拨] 分析此类问题应先明确原电流的方向,

然后判断自感电流的方向及大小变化。在断开开关

时还要看线圈和用电器能不能形成回路。

[解析] a、b、c三个灯泡相同,设S闭合时通过三个灯泡 的电流均是I,则L1中的电流为2I,L2中的电流为I。在S 断开瞬间,L1中的电流由2I逐渐减小,L2的电流由I逐渐

减小,L1、L2中的产生的感应电流方向相同,故b、c两
灯的电流逐渐减小,即b、c两灯逐渐变暗,B、C错误, D项正确; 两个支路的电流汇集后为2I通过a灯,a灯电流由2I反向减 弱,故a灯中的先变亮再逐渐变暗,即A正确。

[答案] AD

1.(2011· 广东高考)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的 磁场中,线圈平面与磁场方向垂直,关于线圈中产生 的感应电动势和感应电流,下列表述正确的是( A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关 )

B.穿过线圈的磁通量越大,感应电动势越大
C.穿过线圈的磁通量变化越快,感应电动势越大 D.感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同

ΔΦ 解析:线圈平面与磁场方向垂直,因此 E=n ,感应电动 Δt 势的大小与线圈的匝数及磁通量的变化率有关,匝数越多, 磁通量变化越快, 感应电动势则越大。 若磁场的磁感应强度 在减小,则感应电流的磁场方向与原磁场方向相同, 若磁场 的磁感应强度在增大, 则感应电流的磁场方向与原磁场方向 相反,C 项正确。

答案:C

2. (2011· 安徽高考)如图 10-2-9 所示的 区域内有垂直于纸面的匀强磁场, 磁 感应强度为 B。 电阻为 R、 半径为 L、 圆心角为 45° 的扇形闭合导线框绕垂 直于纸面的 O 轴以角速度 ω 匀速转动 图 10-2-9

(O 轴位于磁场边界)。则线框内产生的感应电流的有效 值为 ( )

BL2ω A. 2R 2BL2ω C. 4R

2BL2ω B. 2R BL2ω D. 4R

1 解析:线框转动的角速度为 ω,进磁场的过程用时 周期, 8 1 出磁场的过程用时 周期,进、出磁场时产生的感应电流大 8 1 2 BL ω 2 小都为 I′= R ,则转动一周产生的感应电流的有效值 1 2 BL ω 2 1 BL2ω 满足:I2RT=( R )2R× T,解得 I= ,D 项正确。 4 4R

答案:D

3.(2012· 江门模拟)如图10-2-10所示, 电路中A、B是完全相同的灯泡,L是 一带铁芯的线圈。开关S原来闭合,

则开关S断开的瞬间

(

)

图10-2-10

A.L中的电流方向改变,灯泡B立即熄灭 B.L中的电流方向不变,灯泡B要过一会儿才熄灭 C.L中的电流方向改变,灯泡A比B熄灭慢 D.L中的电流方向不变,灯泡A比B熄灭慢

解析:当开关S断开时,L与灯泡A组成回路,由于自感, L中的电流由原来数值逐渐减小,电流方向不变,A灯熄 灭要慢;B灯电流瞬间消失,立即熄灭,正确的选项为D。 答案:D

4. (2010· 山东高考改编)如图10-2-11所示 空间存在两个磁场,磁感应强度大小均 为B,方向相反且垂直纸面,MN、PQ

为其边界,OO′为其对称轴.一导线折
成边长为l的正方形闭合回路abcd,回路 图10-2-11

在纸面内以恒定速度v0向右运动,当运动到关于OO′对称 的位置时下列分析错误的是 ( )

A.穿过回路的磁通量为零
B.回路中感应电动势大小为2Blv0 C.回路中感应电流的方向为顺时针方向 D.回路中ab边与cd边所受安培力方向相同

解析:当回路运动到关于OO′对称的位置时,穿过回路 的两个相反方向的磁场面积相等,且磁感应强度大小均 为B,穿过回路的磁通量为零,选项A正确;ab、cd两个 边均切割磁感线产生感应电动势,由右手定则可判断出,

两个边产生的感应电流的方向均为逆时针方向,所以回
路中感应电动势大小为2Blv0,选项B正确,选项C错误; 根据左手定则可判断出回路中ab、cd两个边所受安培力 的方向相同,选项D正确。 答案:C


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