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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:第二讲 映射及映射法


全国高中数学联赛
第二讲

金牌教练员讲座

兰州一中数学组

映射及映射法

知识、方法、技能 1.映射的定义 设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集 合 B 中都有惟一的元素和它对应, 这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射, 记作

f : A ? B . (1)映射是特殊的对应,映射中的集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合, 这两个集合有先后次序,从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是截然不同的. (2)原象和象是不能互换的,互换后就不是原来的映射了. (3)映射包括集合 A 和集合 B,以及集合 A 到 B 的对应法则 f,三者缺一不可. (4)对于一个从集合 A 到集合 B 的映射来说,A 中的每一个元素必有惟一的,但 B 中 的每一个元素都不一定都有原象.如有,也不一定只有一个. 2.一一映射 一般地, A、 是两个集合, f : A ? B . 是集合 A 到集合 B 的映射, 设 B 如果在这个映射下, 对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的象,而且 B 中每一个元素都有原象,那么 个这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射. 3.逆映射 如果 f 是 A 与 B 之间的一一对应,那么可得 B 到 A 的一个映射 g:任给 b ? B ,规定
g ( b ) ? a ,其中 a 是 b 在 f 下的原象,称这个映射 g 是 f 的逆映射,并将 g 记为 f .
—1

显然有(f 1) 1= f,即 — — 如果 f 是 A 与 B 之间的一一对应,则 f 1 是 B 与 A 之间的一一对应,并且 f 1 的逆映射 是 f. 事实上,f 1 是 B 到 A 的映射,对于 B 中的不同元素 b1 和 b2,由于它们在 f 下的原象不 — — 同,所以 b1 和 b2 在 f 1 下的像不同,所以 f 1 是 1-1 的. 任给 a ? A , 设 f ( a ) ? b ,则 f
—1 —





?1

( b ) ? a .这说明 A 中每个元素 a 在 f

—1

都有原象.因此,f

是映射上的. — — — 这样即得 f 1 是 B 到 A 上的 1-1 映射, f 1 是 B 与 A 之间一一对应.从而 f 1 有逆映射 即
? A , 设 h ( a ) ? b ,其中 b 是 a 在 f
—1 —1

h : A ? B . 由于任给 a

下的原象,即 f 1(b)=a,所以,



f(a)=b,从而 h ( a ) ? b ? f ( a ), 得 h ? f ,这即是 f
1

的逆映射是 f.

赛题精讲 Ⅰ映射 关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一,请看下述试题. 例 1:设集合 M ? { x | 0 ? x ? 11 , x ? Z }, 集合 F ? {( a , b , c , d ) | a , b , c , d ? M }, 映射 f:F→Z.使得
f f f

( a , b , c , d ) ? ab ? cd .已知 ( u , v , x , y ) ? 39 , ( u , y , x , v ) ? 66 , 求 x , y , u , v

的值.

【思路分析】应从 ( a , b , c , d ) ? ab ? cd 入手,列方程组来解之. 【略解】由 f 的定义和已知数据,得
? uv ? xy ? 39 , ? ? uy ? xv ? 66 ( u , v , x , y ? M ).

f

将两式相加,相减并分别分解因式,得
( y ? v )( u ? x ) ? 105 , ( y ? v )( u ? x ) ? 27 .
? u ? v ? 11 ,

显然, u ? x ? 0 , y ? v ? 0 , 在 x , y , u , v ? { x | 0 ? x ? 11 , x ? Z } 的条件下, 0
[ 105 11

] ? 1 ? y ? v ? 22 , 即10 ? y ? v ? 22 , 但 ( y ? v ) | 105 , 可见 ( y ? v ) 1 ? 15 , ( y ? v ) 2 ? 21 ,
x ) 1 ? 7 , (u ? x ) 2 ? 5 .

对应可知 ( u ?

同理,由 0 ? y ? v ? 11 , [ 对应地, ( y ? v ) 1
?y ? (Ⅰ) ? u ? ?u ?y ? ? x ? 7, ? x ? 9, ? v ? 3;

27 11

] ? 1 ? u ? x ? 22 知 , 3 ? u ? x ? 22 又有 ( u ? x ) 1 ? 3 , ( u ? x ) 2 ? 9 .

? 9 , ( y ? v ) 2 ? 3 . 于是有以下两种可能:
?y ? (Ⅱ) ? u ? ?u ?y ? ? v ? 21 , ? x ? 5, ? x ? 9, ? v ? 3.

? x ? 15 ,

由(Ⅰ)解出 x=1,y=9,u=8,v=6;由(Ⅱ)解出 y=12,它已超出集合 M 中元素的范 围.因此, (Ⅱ)无解. 【评述】在解此类问题时,估计 y ? v , u ? x , y ? v , u ? x 的可能值是关键,其中,对它们的 取值范围的讨论十分重要. 例 2:已知集合 A ? {( x , y ) | 应 f,并写出其逆映射.
3 3 ? y x ? 3 }和集合 {( x , y ) | y x ? 0 }. 求一个 A 与 B 的一一对

2

图Ⅰ-1-2-1

【略解】从已知集合 A,B 看出,它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合 (如图Ⅰ-1-2-1). 集合 A 为直线 y ?
3 3 x和 y ? 3 x 所夹角内点的集合,集合 B 则是第一、三象限内点

的集合.所要求的对应实际上可使 A 区域拓展成 B 区域,并要没有“折叠”与“漏洞”.先用 极坐标表示集合 A 和 B: ? ? A ? {( ? cos ? , ? sin ? ) | ? ? 0 , ? ? R , ? ? ? },
6 B ? {( ? cos ? , ? sin ? ) | ? ? 0 , ? ? R , 0 ? ? ? 3

?
2

}.

令 f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? ( ? cos ? , ? sin ? ), ? ? 3 (? ? 变,辐角之间是一次函数 ? ? 3? ?
? ? (0, ?
2

?
6

). 在这个映射下,极径 ? 没有改

?
2

,因而 ? 和 ? 之间是一一对应,其中 ? ? (

? ?
, 6 3

),

). 所以,映射 f 是 A 与 B 的一一对应.

逆映射极易写,从略. 【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题,颇具特色.应注意理解掌握. Ⅱ映射法 应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题. 例 3:设 X={1,2,?,100},对 X 的任一非空子集 M,M 中的最大数与最小数的和称为 M 的特征,记为 m ( M ). 求 X 的所有非空子集的特征的平均数. 【略解】设 A ? X , 令 f : A ? A ?, A ? ? {101 ? a | a ? A} ? X .
? ?

于是 f : A ? A ? 是 X 的非空子集的全体(子集组成的集) ,Y 到 X 自身的满射,记 X 的非 空子集为 A1,A2,?,An(其中 n=2100-1) ,则特征的平均数为
1 n

? m(A
i ?1

n

i

) ?

1 2n

? (m ( A
i ?1

n

i

) ? m ( A i? )) .

由于 A 中的最大数与 A′中的最小数的和为 101,A 中最小数与 A′中的最大数的和也 为 101,故 m ( A i ) m ( A i? ) ? 202 , 从而特征平均数为
1 2n ? 202 ? n ? 101 .

如果 A,B 都是有限集合,它们的元素个数分别记为 card ( A ), card ( B ). 对于映射 f : A ? B 来 说,如果 f 是单射,则有 card ( A ) ? card ( B ) ;如果 f 是满射,则有 card ( A ) ? card ( B ) ;如
3

果 f 是双射,则有 card ( A ) ? card ( B ) .这在计算集合 A 的元素的个数时,有着重要的应用.即 当 card ( A ) 比较难求时, 我们就找另一个集合 B, 建立一一对应
f :A? B

, B 的个数数清, 把

就有 card ( A ) ? card ( B ) .这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例. 例 4:把△ABC 的各边 n 等分,过各分点分别作 各边的平行线,得到一些由三角形的边和这些平 行线所组成的平行四边形,试计算这些平等四边 形的个数. 【略解】如图Ⅰ-1-2-2 所示,我们由对称性, 先考虑边不行于 BC 的小平行四边形.把 AB 边和 AC 边各延长一等分,分别到 B′,C′,连接 B′C′.将 A′B′的 n 条平行线分别延长, B′C′相交, 与 连同 B′, C′共有 n+2 个分点, 从 B′至 C′依次记为 1,2,?,n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交 B′C′ 于 i,j,k,l.记 A={边不平行于 BC 的小平行四边形},
B ? {( i , j , k , l ) | 1 ? i ? j ? k ? l ? n ? 2}.

把小平行四边形的四条边延长且交 B ?C ? 边于四点的过程定义为一个映射:

f :A? B

.

下面我们证明 f 是 A 与 B 的一一对应,事实上,不同的小平行四边形至少有一条边不相 同,那么交于 B ?C ? 的四点亦不全同.所以,四点组 ( i , j , k , l ) 亦不相同,从而 f 是 A 到 B 的 1 -1 的映射. 任给一个四点组 ( i , j , k , l ),1 ? i ? j ? k ? l ? n ? 2 ,过 i,j 点作 AB 的平行线,过 k,l 作 AC 的平行线,必交出一个边不平行于 BC 的小平行四边形,所以,映射 f 是 A 到 B 的满 射. 总之 f 是 A 与 B 的一一对应,于是有 card ( A ) ? card ( B ) ? C n ? 2 .
4

加上边不平行于 AB 和 AC 的两类小平行四边形,得到所有平行四边形的总数是 3 C n ? 2 . 例 5:在一个 6×6 的棋盘上,已经摆好了一些 1×2 的骨牌,每一个骨牌都恰好覆盖两上相 邻的格子,证明:如果还有 14 个格子没有被覆盖,则至少能再放进一个骨牌. 【思路分析】还有 14 个空格,说明已经摆好了 11 块骨牌,如果已经摆好的骨牌是 12 块, 图Ⅰ-1-2-3 所示的摆法就说明不能再放入骨牌. 所以,有 14 个空格这一条件是完全必要的.我们 要证明当还有 14 个空格时,能再放入一个骨牌, 只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生,则每个空格的四周都有骨牌,由于正 方形是对称的,当我们选定一个方向时,空格和骨牌就有了某种对应关系,即可建立空格到
4

4

骨牌的一种映射,通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系,可以得到空格分布的一个很 有趣的结论,从而也就证明了我们的命题. 【略解】我们考虑下面 5×6 个方格中的空. 如果棋盘第一行(即最上方的一行)中的空格数多于 3 个时,则必有两空格相邻,这时问题 就得到解决. 现设第一行中的空格数最多是 3 个,则有 card ( X ) ? 14 ? 3 ? 11 ,另一方面全部的骨牌 数为 11,即 card (Y ) ? 11 . 所以必有 card ( X ) ? card (Y ), 事实上这是一个一一映射,这时, 将发生一个很有趣的现象:最下面一行全是空格,当然可以放入一个骨牌. 【评述】这个题目的证明是颇具有特色的,从内容上讲,这个题目具有一定的综合性,既有 覆盖与结构,又有计数与映射,尤其是利用映射来计数,在数学竞赛中还较少见. 当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如,用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其 中两行的结构,也能比较容易地解决这个问题,请读者作为练习. 例 6: N={1, 3, 设 2, ?}, 论证是否存一个函数 f : N ? N 使得 f (1) ? 2 , f ( f ( n ))
? f (n) ? n

对一切 n ? N 成立, f ( n ) ? f ( n ? 1) 格,即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的 空格,考察它上方的与之相邻的方格中的情况. (1)如果上方的这个方格是空格,则问题得到解决. (2)如果上方的这个方格被骨牌所占,这又有三种情况. (i)骨牌是横放的,且与之相邻的下方的另一个方格也是空格,则这时有两空格相邻,即问 题得到解决; (ii)骨牌是横放的,与之相邻的下方的另一个方格不是空格,即被骨牌所覆盖; (iii)骨牌是竖放的. 现在假设仅发生(2)中的(ii)和(iii)时,我们记 X 为下面 5×6 个方格中的空格集合, Y 为上面 5×6 个方格中的骨牌集合,作映射 ? : X ? Y ,由于每个空格(X 中的)上方都 有骨牌(Y 中的) ,且不同的空格对应于不同的骨牌.所以,这个映射是单射,于是有
card ( X ) ? card (Y ) ,对一切 n ? N 成立.

【解法 1】存在,首先有一条链. 1→2→3→5→8→13→21→? ① 链上每一个数 n 的后继是 f ( n ) ,f 满足
f ( f ( n )) ? f ( n ) ? n



即每个数是它产面两个数的和,这种链称为 f 链. 对于①中的数 m>n,由①递增易知有
5

f (m ) ? f (n) ? m ? n



我们证明自然数集 N 可以分析为若干条 f 链,并且对任意自然数 m>n,③成立(从而
f ( n ? 1) ? f ( n ) ) ,并且每两条链无公共元素).方法是用归纳法构造链(参见单壿著《数学

竞赛研究教程》江苏教育出版社) 设已有若干条 f 链,满足③,而 k+1 是第一个不在已有链中出现的数,定义
f ( k ? 1) ? f ( k ) ? 1 ④

这链中其余的数由②逐一确定. 对于 m>n,如果 m、n 同属于新链,③显然成立,设 m、n 中恰有一个属于新链.若 m 属 于新链,在 m=k+1 时, f ( m ) ? f ( n ) ? f ( k ) ? 1 ? f ( n ) ? k ? n ? 1 ? m ? n , 设对于 m,③成立,则 f ( f ( m )) ? f ( n ) ? f ( m ) ? m ? f ( n ) ? m ? n ? m ? f ( m ) ? n [由②易知 2 m ? f ( m ) ]. 即对新链上一切 m,③成立.

若 n 属于新链,在 n=k+1 时,
f ( m ) ? f ( n ) ? f ( m ) ? f ( k ) ? 1 ? m ? k ? 1 ? m ? n.

设对于 n,③成立,在 m>n 时,m 不为原有链的链首。 记
m ? f ( x ), 则在 m ? f ( n )时 , f ( m ) ? f ( f ( n )) ? s ? m ? ( f ( n ) ? n ) ? m ? f ( n ) ? ( s ? n ).

而在 s ? n , f ( n ) ? f ( s ) ? n ? s ? 0 , 与 m ? f ( n ) 矛盾,所以 s ? n , f ( m ) ? f ( f ( n )) ? m ? f ( n ) . 即对新链上一切,③成立. 因而添入一条新链后,③仍成立. 这样继续添加,直到所有自然数均在链中出现,所得函数 f : N ? N 即为所求. 【解法 2】令 f ( n ) ? [ ? ( n ? 1)] ? n , 其中 ? ? 严格递增,并且 f (1) ? 2 .
1 2 ( 5 ? 1), [ x ] 表示 x 的整数部分.显然 f ( n )

又由于 ? ( ? ? 1) ? 1 ,

∴ f ( f ( n )) ? f ( n ) ? [ ? ( f ( n ) ? 1)]
? f ( n ) ? { ? [ ? ( n ? 1)] ? ? ( n ? 1)} ? f ( n ) ? { ? ( n ? 1) ? ? [ ? ( n ? 1)] ? ? ( n ? 1)}
2

({ x } ? x ? [ x ]为 x 的分数部分

)

? f ( n ) ? { n ? 1 ? ? [ ? ( n ? 1)]} ? f ( n ) ? n .

因此, [ ? ( n ? 1)] ? n 就是满足要求的函数.
6

针对性训练题 1.设 A=B=R,取映射 f : A ? B ,使集合 B 中的元素 y ? x 和集合 A 中的元素 x 对应,
3

这个映射是否是 A 到 B 上的一一映射? 2.已知 A ? { x | 0 ? x ? 90 ?}, B ? { x | 0 ? x ? 1}, 映射 f : x ? sin
3 4
2

x , 求 30 ? , 45 ? 的象以及

,1 的原象.
1 2y ?1

3.从 A 到 B 的映射是 f : x ? y ? 3 x ? 1 ,从 B 到 C 的映射是 g : y ? z ? 从 A 到 C 的映射 h. 4.设 A ? { a 1 , a 2 , a 3 }, B ? {b1 , b 2 , b 3 , b 4 }. ①写出一个 f : A ? B ,使得 f 是单射,并求 A 到 B 的单射的个数; ②写出一个 f : A ? B ,使得 f 不是单射,并求所有这种映射的个数; ③A 到 B 的映射能否是满射?

,试写出

5.设集合 A={1,2},则从 A 到 A 的映射 f 中满足 f ( f ( x )) ? f ( x ) 的映射有几个? 6.某银行为管理保险柜,设 11 人管理,保险柜上加了若干把锁,这些锁的钥匙分发给 11 人保管使用.问最少应为保险柜加多少把锁,才能使任何 6 人同时到场就能打开保险柜,而 任何 5 人到场都不能打开? 7.由 83 个单位立方体砌成棱长为 8 的大立方体,问在大立方体中共可作多少条直线,使每 条直线都穿过 8 个单位方体的中心? 8.在 19×93 的方格板上画出主对角线,问它穿过多少个单位方格的内部?

7


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