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2010—2011秋《线性代数D》试卷解答及评分标准




1



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2 x 4 ?3 ? ?1 ? ? ? 4 相似于对角阵 0 ? ? ?0 ?4 ? ? ?

上海大学 2010~2011 学年 秋 季学期试卷 课程名: 线性代数(D) 课程号: 01014061 学分:

4

?5 8. A ? ? 4 ? ?6 ?

0 2 0

0? ? 0 ,则 x ? ? 3? ?

5



一. 填空题(每小题 3 分, 满分 30 分)
1.设 ? 1 , ? 2 , ? 3 是 3 维列向量, A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ), 且|A|=1,则
B ? | ( 2? 1 ? ? 3 , ? 2 , ? 3 ) | =

?1 ? 二、 ( 10 分)已知 A ? ? 2 ?0 ?

?3 1 0

0? ? 0 ? ,AB=A+3B,求矩阵 B。 2? ?

解:由 AB=A+3B,可得 ( A ? 3 E ) B ? A 。
? ?2 又 A ? 3E ? ? 2 ? ? 0 ? ?3 ?2 0 0 ? ? ?1 0 ,是可逆矩阵,故 B ? ( A ? 3 E ) A 。 ? ?1? ?

……………..2 分

2

。 5 。

2.已知向量 ? 、 ? 正交, || ? || ? 3 , || ? || ? 4 , 则 || ? ? ? || ?
?1 x 1 ?1 ?1 x
2

……………….4 分

1 ?1 ?1 1
2
13

3.已知 D ?

1 1 1

?1 1 ?1

,则 D 中 x 的系数是

-4


( A ? 3E )
?1

4. A 是 3 阶方阵, | A |? ? 2 ,则 | (| 2 A | A ) |? 5.A ? ? ? 3b ?
? a

。 1 , b=0 。

? 2 ? 5 ? ? 1 ? ? ? 5 ? ? 0 ? ?

? ?

3 5 1 5

0

? 4 ? 0 ? ?? 5 ? ? 3 ? 0 ,故 B ? ? ? ? 5 ? ? ? ?1? ? 0 ? ? ? ?

?

9 5

2 5 0

? 0 ? ? 0 ? 。 …………………………4 分 ? ? ?2 ? ? ?

2b ? ? 1 ? , 有一个特征值为 1 , 对应的特征向量为 则 a= ? ? ? ? 1? ?, a ? ? ? ?
? 1 ? 10 ? ? 1 ? 5 ? ? 3 ? ? 10 0 1 5 2 5 ? 0? ? 0? ? ? 1? ? 2?

1 ?1

2 ?2 3 ?3

?2 4 2 3

3 ?2 1 10

?1 ? 6. 设 A ? ? 2 ?3 ?

0 2 4

0? ? * ?1 0 ? , 则( A ) ? 5? ?

三、 ( 10 分)计算行列式的值 5 。
解:

2

1

2 ?2 3 ?3

?2 4 2 3

3 ?2 1 10
r2 ? r1 , r3 ? 5 r1 , r4 ? 2 r2

7. R 的子空间 V ? {( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) | x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 0} 的维数为 一组基为

4

3 , (答案不唯一) 。

?1 5 2

1 0 0 0

2 0 ?7 ?7

?2 2 12 7

3 1 ? 14 4

0 ?7

2

1 ? 14 =287 4

?1,

? 1,

0,

0 ? , ? 1,

0,

? 1,

0 ? , ?1,

0,

0,

?1?

= ? 7 12
7

(4 分)

(4 分)

(2 分)



2



( 共

4

页 )

五. ( 10 分)设 V 是次数不超过 3 的实多项式全体构成的实数域上的线性空间。 T T T 四、 (10 分) 设向量组 ? 1 ? (1, 2, 3, 4) T , ? 2 ? (2, 3, 4, 5) , ? 3 ? (3, 4, 5, 6) , ? 4 ? (4, 5, 6,7 ) 。 2 2 2 3 3 A : 1, x , x , x 和 B : 1, 1 ? x , 1 ? x ? x , 1 ? x ? x ? x 是 V 的两组基。 求由该向量组生成的向量空间 L ? L (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) 的维数及一组基,并求其余向量在 (1)求基 A 到基 B 的过渡矩阵; 这组基下的坐标。 (2)求 f ( x ) ? a ? bx ? cx 2 ? dx 3 ,使得 f ( x ) 在这两组基下的坐标相同。
?1 ? 2 ? 4 ? =? ?3 ? ?4 2 3 4 5 3 4 5 6 4? ?1 ? ? 1 5 ? r ? r ,r ? r ,r ? r ? 2 1 3 1 4 1 ?2 6? ? ? 7? ?3

2 1 2 3

3 1 2 3

解: A ? ? ? 1 ,

?2,

?3,

4? ? 1 ? 2? ? 3?

解: (1) 设基 A 到基 B 的过渡矩阵为 C ,则由

?1,

1 ? x,

1? x ? x ,

2

1? x ? x ? x

2

3

? ? ?1,

x,

x ,

2

?1 ? 0 r2 ? r1 , r3 ? 2 r2 , r4 ? 3 r2 ? ?0 ? ?0

2 ?1 0 0

3 ?2 0 0

4 ? ? ?3 ? r ? 2r 1 2 0 ? ? 0 ?

?1 ? 0 ? ?0 ? ?0

0 ?1 0 0

?1 ?2 0 0

?2 ? ? ?3 ?。 0 ? ? 0 ?

?1 ? 0 3 ? x ? ?0 ? ?0

1 1 0 0

1 1 1 0

1? ? 1 ? 1? ? 1?

…………3 分

……4 分

故该向量组生成的向量空间 L ? L (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) 的维数为 2,

……2 分 ……2 分 ……2 分

?1 ? 0 可得 C ? ? ?0 ? ?0

1 1 0 0

1 1 1 0

1? ? 1 ? 1? ? 1?



……………………2 分

基为 ? 1 , ? 2 。
? 3 ? ?? 1 ? 2? 2 , ? 4 ? ? 2? 1 ? 3? 2 。

(2) 由 f ( x ) ? a ? bx ? cx 2 ? dx 3 ,可知 f ( x ) 在基A下的坐标为 ? a , b , c , d ? 。
'

……………………1分
?a ? b f ( x ) 在这两组基下的坐标相同的充要条件是 C ? ?c ? ?d ? ?a? ? ? ? b ??? ?。 ? ?c? ? ? ? ? ?d ?



……………2分

这时, b ? c ? d ? 0 ,即 f ( x ) ? a 时, f ( x ) 在这两组基下的坐标相同。

……………2分


?1 ? 六、( 10分)二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? 0 ?0 ? 0 1 ?1 0 ?? x1 ?? 3 ?? x 2 ? 1? ?? x 3 ? ? ?, ? ?

3



( 共

4

页 )

(2)解: 由于方程组 A x ? 0 前两个方程系数不成比例,所以这两个方程无关,则第三 个方程可由前两个方程表示。所以可得

(1)求与二次型对应的实对称矩阵A; (2)判定此二次型是否为正定二次型,并说明理由。
?1 ? 解: (1)由 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? 0 ?0 ? 0 1 ?1 0 ?? x1 ?? 3 ?? x 2 ? 1? ?? x 3 ? ? 2 2 2 ? = x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 x 2 x 3 , …..3 分 ? ?

? a,

1,

3,

b ? ? ? 4,

3,

5,

? 1 ? ? 2 ?1,

1,

1,

1? 。

………………………2 分

即有 a ? 2, b ? ? 3 。
? ?2 ? ? 4 ? ? ? ? ? 1 ?5 2 ? ? ? ? ? ,? 2 ? ? ,得基础解系为:? 1 ? ? ? ? ? 1 0 ?3 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ?

由?

?1 ?4

1 3

1 5

1 ?1

?1 ? ?1 ??? ?1 ? ?0

0 1

2 ?1

?4 5

?1 可得与此对应的实对称矩阵 A 为 ? 0 ? ?0 ?

0 1 1

0? ? 1 。 ? 1? ?

………….2 分
? 2 ? ? ? ?3 ? ?。 取 x 3 ? x 4 ? 0 ,可得此方程组的一个特解为? 0 ? ? 0 ? ? ? ? 0 ?

…………………………1 分

(2) A 的顺序主子式分别为 A1 ? 1, A2 ? 1, A3 ? 0 。 由 A3 ? 0, 可知此二次型不是正定二次型。

…………………3 分 ………………….2 分

……………….1 分

故通解为
? 2 ? ? ?2 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 ?5 ? ? ? ? ? ? , k , k 任意。 x? ? k1 ? k2 1 2 ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?

? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? 1 ? 七、( 10分)设线性方程组 ? 4 x 1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? x 4 ? ? 1 有3个线性无关的解, (1)证明 ? ax ? x ? 3 x ? bx ? 1 2 3 4 ? 1

…………………….1 分

系数矩阵A的秩为2; (2)求 a 、 b 的值及该方程的通解。 (1) 证明:设 ? 1 , ? 2 ,? 3 为 3 个线性无关的解,则 ? 1 ? ? 2 , ? 1 ? ? 3 线性无关,而且为对 应的导出组的解 所以导出组中至少有两个线性无关的向量, ……………………2 分 …………………1 分

如果系数矩阵 A 的秩大于 2, 则 A x ? 0 的基础解系至多含有 1 个解向量, 矛盾。 故系数矩阵 A 的秩为 2。 ……………………2 分



4



( 共

4

页 )

八、 ( 10 分)设 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 为线性方程组 AX=0 的一个基础解系, 若 ? 1 ? ? 1 ? t? 2 ,
? 2 ? ? 2 ? t? 3 , ? 3 ? ? 3 ? t? 4 , ? 4 ? ? 4 ? t? 1 , 讨 论 实 数 t 满 足 什 么 条 件 时 ,
? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也是 AX=0 的一个基础解系。
?1 ? t )=( ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ?0 ? ?0 0 1 t 0 0 0 1 t t? ? 0 ?。 0? ? 1?

证: ( ?1, ? 2 , ? 3 , ? 4

………………..2 分

显然 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是 AX=0 的解。

………………..1 分 ………..2 分

若 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是 AX=0 的一个基础解系, ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 必线性无关,
?1 ? t 故由(1),可得 ? ?0 ? ?0
1 0 1 t 0 0 0 1 t t 0 0 1

0 1 t 0

0 0 1 t

t? ? 0 ? 必是可逆矩阵。 0? ? 1?

……2 分

因为

t 0 0

=1- t 4 ,

………………..2 分

所以 t ? 1, ? 1 。

………………..1 分


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