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高一数学2014-2015高中数学必修4第二章 平面向量单元测试题及答案解析


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第二章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.有下列四个表达式: ①|a+b|=|a|+|b|; ②|a-b|=± (|a|-|b|); ③a2>|a|2; ④|a· b|=|a|· |b|. 其中正确的个数为( A.0 C.3 解析 ) B.2 D.4 对于①仅当 a 与 b 同向时成立.对于②左边|a-b|≥0,而

右边可能≤0,∴不成立.对于③∵a2=|a|2,∴a2>|a|2 不成立.对于 ④当 a⊥b 时不成立,综上知,四个式子都是错误的. 答案 A )

2.下列命题中,正确的是(

A.a=(-2,5)与 b=(4,-10)方向相同 B.a=(4,10)与 b=(-2,-5)方向相反 C.a=(-3,1)与 b=(-2,-5)方向相反 D.a=(2,4)与 b=(-3,1)的夹角为锐角 解析 在 B 中,a=(4,10)=-2(-2,-5)=-2b,

∴a 与 b 方向相反. 答案 B

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3.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么|a+3b|= ( ) A. 7 C. 13 解析 B. 10 D.4 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a· b=1+9+6|a||b|cos60°

=13,∴|a+3b|= 13. 答案 C
? ?

1 ? ? 4.已知向量 a=?8+2x,x?,b=(x+1,2),其中 x>0,若 a∥b, 则 x 的值为( A.8 C.2 解析 ∴x=4. 答案 B ) B.4 D.0 1 ∵a∥b,∴(8+2x)×2-x(x+1)=0,即 x2=16,又 x>0,

5.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满 → → → → → 足AP=2PM,则AP· (PB+PC)等于( 4 A.9 4 C.-3 解析 ) 4 B.3 4 D.-9

→ → → → M 为 BC 的中点,得PB+PC=2PM=AP,

→ → → → ∴AP· (PB+PC)=AP2. → → → 2 → 2 又∵AP=2PM,∴|AP|=3|AM|=3.
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→ → 4 ∴AP2=|AP|2=9. 答案 A

6.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x=( A.6 C.4 解析 ) B.5 D.3 8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),c=(3,x),

∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=18+3x. 又(8a-b)· c=30,∴18+3x=30,x=4. 答案 C

7.向量 a=(-1,1),且 a 与 a+2b 方向相同,则 a· b 的取值范围 是( ) A.(-1,1) C.(1,+∞) 解析 B.(-1,+∞) D.(-∞,1)

依题意可设 a+2b=λa(λ>0),

1 则 b=2(λ-1)a, 1 1 ∴a· b=2(λ-1)a2=2(λ-1)×2=λ-1>-1. 答案 B

8.设单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则向量 3e1+4e2 与向量 e1 的夹角的余弦值为( 3 A.4 25 C.37 ) 5 B.37 5 37 D. 37

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解析

∵(3e1+4e2)· e1 = 3 e2 e2=3×12+4×1×1×cos60° = 1+4e1·
2 1

5 , |3e1 + 4e2|2 = 9e 24×1×1×cos60° =37. ∴|3e1+4e2|= 37.

+ 16e

2 2

+ 24e1· e2 = 9×12 + 16×12 +

设 3e1+4e2 与 e1 的夹角为 θ,则 cosθ= 答案 5 5 = . 37×1 37 D

9.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 为线段 OD → → → 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若AC=a, BD=b, 则AF=( 1 1 A.4a+2b 1 1 C.2a+4b 解析 2 1 B.3a+3b 1 2 D.3a+3b )

→ → → 如图所示,AF=AD+DF,

由题意知,DE:BE=DF:BA=1:3. → 1→ ∴DF=3AB. → 1 1 11 1 2 1 ∴AF=2a+2b+3(2a-2b)=3a+3b. 答案 B

10.已知点 B 为线段 AC 的中点,且 A 点坐标为(-3,1),B 点坐

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?1 3? 标为?2,2?,则 C 点坐标为( ? ?

)
? 5 5? B.?-4,4? ? ?

A.(1,-3) C.(4,2) 解析

D.(-2,4)

→ → 设 C(x,y),则由AB=BC,得

3 1 3? ?1 ? ? ? -?-3?, -1?=?x- ,y- ?, 2 ? ? 2 2? ?2 1 7 ? ?x-2=2, ∴? 3 1 ? y - ? 2=2, 答案 C
? ?x=4, ?? ∴C(4,2). ? ?y=2,

11.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根, 则 a 与 b 夹角的取值范围是( π? ? A.?0,6?
? ? ? ?π 2π? C.?3, 3 ? ?

)
?π ? B.?3,π? ? ? ? ?π ? D.?6,π? ?

解析

设 a 与 b 的夹角为 θ,

∵Δ=|a|2-4a· b≥0, |a|2 a· b |a|2 1 ∴a· b≤ 4 ,∴cosθ= ≤ =2. |a||b| 4|a||b|
?π ? ∵θ∈[0,π],∴θ∈?3,π?. ? ?

答案

B

→ → → → 12.在△ABC 所在平面内有一点 P,如果PA+PB+PC=AB,则 △PAB 与△ABC 的面积之比是( )
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1 A.3 2 C.3

1 B.2 3 D.4

解析

→ → → → → → → → → 因为PA+PB+PC=AB=PB-PA,所以 2PA+PC=0,PC

→ → =-2PA=2AP,所以点 P 是线段 AC 的三等分点(如图所示).所以△ 1 PAB 与△ABC 的面积之比是3. 答案 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在 题中横线上) 13. 已知 a=(2cosθ, 2sinθ), b=(3, 3), 且 a 与 b 共线, θ∈[0,2π), 则 θ=________. 解析 由 a∥b,得 2 3cosθ=6sinθ,∵cosθ≠0,

3 π 7π ∴tanθ= 3 ,又 θ∈[0,2π),∴θ=6或 6 . π 7 答案 6或6π 14.假设|a|=2 5,b=(-1,3),若 a⊥b,则 a=________. 解析 设 a=(x,y),则有 x2+y2=20.①

又 a⊥b,∴a· b=0,∴-x+3y=0.②

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由①②解得 x=3 2,y= 2,或 x=-3 2, y=- 2, ∴a=(3 2, 2),或 a=(-3 2,- 2). 答案 (3 2, 2)或(-3 2,- 2)

→ → 15.在△ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若AB· AC → → =BA· BC=2,那么 c=__________. 解析 由题知

→ → → → AB· AC+BA· BC=2, → → → → → → → → → 2 即AB· AC-AB· BC=AB· (AC+CB)=AB =2?c=|AB|= 2. 答案 2

16.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a· b=a· c,则 b=c;②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3;③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角 为 60° . 其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 解析

当 a=0 时,①不成立;对于②, 若 a∥b,则-2k=6,∴k=-3, ②成立;对于③,由于|a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边

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→ 形为菱形,如图.∠BAD=60° ,AC=a+b,由菱形的性质可知,a 与 a+b 的夹角为∠BAC=30° . 答案 ②

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b, d=ma-3b. (1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)当 m 为何值时,c 与 d 共线? 解 (1)令 c· d=0,则(3a+5b)· (ma-3b)=0,

即 3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a· b=0, 29 解得 m=14. 29 故当 m=14时,c⊥d. (2)令 c=λd,则 3a+5b=λ(ma-3b) 即(3-λm)a+(5+3λ)b=0, ∵a,b 不共线,
?3-λm=0, ? ∴? ? ?5+3λ=0,

5 ? λ =- ? 3, 解得? 9 ? m =- ? 5.

9 故当 m=-5时,c 与 d 共线. 18.(12 分)如图所示,在△ABC 中,∠C 为直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE.

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证明

设此等腰直角三角形的直角边长为 a,则

→ → → → → → AD· CE=(AC+CD)· (CA+AE) → → → → → → → → =AC· CA+CD· CA+AC· AE+CD· AE 2 2 2 a2 2 2 =-a2+0+a· 3 a·2 +2· 3 a·2 2 1 =-a2+3a2+3a2=0, → → ∴AD⊥CE,∴AD⊥CE. 19.(12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1), → AD 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. 解 → 设 D 点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1),

→ → BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3).

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? ?x-3=-6λ, ∴? ∴x-3=2(y-2), ?y-2=-3λ, ?

即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD· BC=0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0. ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②
?x=1, ? 由①②可得? ?y=1. ?

→ ∴|AD|=

?1-2?2+22= 5,

→ 即|AD|= 5,D(1,1). → → → 20.(12 分)在直角坐标系中,已知OA=(4,-4),OB=(5,1),OB → → → 在OA方向上的射影数量为|OM|,求MB的坐标. 解 设点 M 的坐标为 M(x,y).

→ → → ∵OB在OA方向上的射影数量为|OM|, → → → → ∴OM⊥MB,∴OM· MB=0. → → 又OM=(x,y),MB=(5-x,1-y), ∴x(5-x)+y(1-y)=0. → → 又点 O,M,A 三点共线,∴OM∥OA. x y ∴4= . -4

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?x?5-x?+y?1-y?=0, ∴?x y = ?4 -4,

?x=2, ? 解得? ? ?y=-2.

→ → → ∴MB=OB-OM=(5-2,1+2)=(3,3). 21.(12 分)

如图,在平面斜坐标系 xOy 中.∠xOy=60° ,平面上任一点 P → 关于斜坐标系的坐标是这样定义的;若OP=xe1+ye2(其中 e1,e2 分别 为与 x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点 P 的斜坐标为(x,y). (1)若点 P 的斜坐标为(2,-2),求点 P 到 O 的距离|OP|; (2)求以 O 为圆心,以 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程. 解 → → (1)因为点 P 的斜坐标为(2,-2),故OP=2e1-2e2,|OP|2

=(2e1-2e2)2=8-8e1· e2=8-8cos60° =4, → ∴|OP|=2,即|OP|=2. → (2)设圆上动点 M 的坐标为(x,y),则OM=xe1+ye2, → 又|OM|=1.故(xe1+ye2)2=1. ∴x2+y2+2xye1· e2=1.即 x2+y2+xy=1. 故所求方程为 x2+y2+xy-1=0.
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→ → → 22.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,BC=λAD(λ∈R),|AB|= → → → |AD|=2,|CB-CD|=2 3,且△BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形.

(1)求 λ 的值; → → (2)求CB· BA的值. 解 → → (1)因为BC=λAD,

所以 BC∥AD, → → 且|BC|=λ|AD|. → → 因为|AB|=|AD|=2, → 所以|BC|=2λ. → → 又|CB-CD|=2 3, → 所以|BD|=2 3. 作 AH⊥BD 交 BD 于 H, 则 H 为 BD 的中点. 在 Rt△AHB 中,有

BH 3 cos∠ABH= AB = 2 ,
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于是∠ABH=30° , 所以∠ADB=∠DBC=30° . 而∠BDC=90° , 3 所以 BD=BC· cos30° ,即 2 3=2λ·2 , 解得 λ=2. (2)由(1)知, → ∠ABC=60° ,|CB|=4, → → 所以CB与BA的夹角为 120° , → → → → 故CB· BA=|CB|· |BA|cos120° =-4.

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