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吉林省长春外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年吉林省长春外国语学校高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (5 分)若集合 A={1,2},B={2,4},则 A∪B=() A.{2} B.{3} C.{1,2,4} D.{0,1,2} 2. (5 分)集合{1,2,3}的真子集的个数为() A.5 B. 6 C. 7 3. (5 分)下列四组中的 f(x) ,g(x) ,表示同一个函数的是() A.f(x)=1,g(x)=x
2 0

D.8

B. f(x)=x﹣1,g(x)= )
4

﹣1

C. f(x)=x ,g(x)=(

D.f(x)=x ,g(x)=

3

4. (5 分)若 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 f(x+1)的定义域是() A.[﹣1,1] B. C. D.

5. (5 分)已知函数 A.32 6. (5 分)化简 3 A.15 B. 3 B.16 的结果为() C . ﹣3 C. 8

,那么 f(5)的值为() D.64

D.﹣15

7. (5 分)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是() A.y=﹣x+1 B.y= C.y=x ﹣4x+5
2

D.y=

8. (5 分)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[﹣7, ﹣3]上是() A.增函数且最小值为﹣5 B. 增函数且最大值为﹣5 C. 减函数且最小值为﹣5 D.减函数且最大值为﹣5 9. (5 分)若指数函数 y=(a+1) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,那么() A.0<a<1 B.﹣1<a<0 C.a=﹣1 D.a<﹣1 10. (5 分)已知 p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是()
x

A.a >a

p

q

B.p >q
2

a

a

C.a <a

﹣p

﹣q

D.p >q

﹣a

﹣a

11. (5 分)函数 y=x ﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是() A.[1,6] B.[﹣3,1] C.[﹣3,6]
|x|

D.[﹣3,+∞)

12. (5 分)已知函数 f(x)=a (其中 a>1) ,则函数 f(x)的图象形状大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)函数 f(x+1)=x +2x﹣3,则函数 f(x)=. 14. (5 分)若 f(x)=x ﹣2ax+4 在(﹣∞,2]上是减函数,则 a 的取值范围是. 15. (5 分)如果定义在区间[3﹣a,5]上的函数 f(x)为奇函数,则 a=. 16. (5 分)不等式 3
x+1 2

<9

2x﹣1

的解集为.

三、解答题(共 70 分,要求要有必要的文字说明和解题过程) 17. (12 分)A={x|x ﹣2x﹣3≥0},B={x|x ﹣5x+6≤0} (1)求 A∪B; (2) (?RA)∩B. 18. (12 分)函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 , (1)求 a 的值; (2)求 f(2)的值. 19. (15 分)已知奇函数 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,若 f(m﹣1)+f(2m﹣1) >0,求实数 m 的取值范围. 20. (15 分)已知函数 f(x)是偶函数,且 x≤0 时,f(x)= (1)f(x)=0 时 x 的值; (2)f(5)的值; (3)当 x>0 时,f(x)的解析式. 21. (16 分)已知函数 (1≤x≤2) .求:
x 2 2

(1)求

(1≤x≤2)的取值范围;

(2)求 f(x)的值域; (3)若不等式 +a≥0 在[1,2]上恒成立,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年吉林省长春外国语学校高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (5 分)若集合 A={1,2},B={2,4},则 A∪B=() A.{2} B.{3} C.{1,2,4} D.{0,1,2} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 按照并集的定义直接写出 A∪B 即可. 解答: 解:∵A={1,2},B={2,4}, ∴A∪B={1,2,4} 故选:C. 点评: 本题考查集合的运算,求并集及运算.属于基础题. 2. (5 分)集合{1,2,3}的真子集的个数为() A.5 B. 6 C. 7

D.8

考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 集合{1,2,3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合,包括空集. 解答: 解:集合的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有 7 个. 故选 C. 点评: 本题考查集合的子集个数问题,对于集合 M 的子集问题一般来说,若 M 中有 n 个元 n 素,则集合 M 的子集共有 2 个. 3. (5 分)下列四组中的 f(x) ,g(x) ,表示同一个函数的是() A.f(x)=1,g(x)=x
2 0

B. f(x)=x﹣1,g(x)= )
4

﹣1

C. f(x)=x ,g(x)=(

D.f(x)=x ,g(x)=

3

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,这样的两个函数是同一函数,进行 判断即可. 0 解答: 解:对于 A,f(x)=1(x∈R) ,g(x)=x (x≠0) ,它们的定义域不同,不是同一函 数; 对于 B,f(x)=x﹣1(x∈R) ,g(x)= 数; 对于 C,f(x)=x (x∈R) ,g(x)= 数; 对于 D,f(x)=x (x∈R) ,g(x)=
3 2

﹣1=x﹣1(x≠0) ,它们的定义域不同,不是同一函

=x (x≥0) ,它们的定义域不同,不是同一函

2

=x (x∈R) ,它们的定义域相同,对应关系也相同,

3

是同一函数. 故选:D. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 4. (5 分)若 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 f(x+1)的定义域是() A.[﹣1,1] B. C. D.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意可知 0≤x+1≤2,求出 x 的范围并用区间表示,即可所求函数的定义域. 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域为[0,2], ∴0≤x+1≤2,解得﹣1≤x≤1, ∴所求函数 y=f(x+1)的定义域是[﹣1,1], 故选:A. 点评: 本题考查函数的定义域及其求法, 属基础题, 函数定义域为自变量 x 的范围, y=f (x) 与 y=f(t)的定义域相同.

5. (5 分)已知函数 A.32 B.16 C. 8

,那么 f(5)的值为() D.64

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,5∈(4,+∞) ,代入 f(x)=f(x﹣2) ,求得 f(5)=f(3) ,4>3,由此 f (5)的值求出. 解答: 解:当 x≥4 时,f(x)=f(x﹣2) ,则 f(5)=f(3) x 当 x<4 时,f(x)=2 ,所以,f(5)=f(3)=8,

故选 C. 点评: 此题是个中档题.本题考查分段函数求值,对于分段函数求值问题关键是找准不同 范围的自变量对应着不同的函数解析式.代入相应的解析式求值,

6. (5 分)化简 3 A.15 B. 3

的结果为() C . ﹣3 D.﹣15

考点: 方根与根式及根式的化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用根式的运算性质即可得出. 解答: 解:原式= =3×5=15.

故选:A. 点评: 本题考查了根式的运算性质,属于基础题. 7. (5 分)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是() A.y=﹣x+1 B.y= C.y=x ﹣4x+5
2

D.y=

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 常规题型. 分析: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答时, 可以结合选项逐一进行排查,排查时充分考虑所给函数的特性:一次函数性、幂函数性、二次 函数性还有反比例函数性.问题即可获得解答. 解答: 解:由题意可知: 对 A:y=﹣x+1,为一次函数,易知在区间(0,2)上为减函数; 对 B:y= ,为幂函数,易知在区间(0,2)上为增函数; 2 对 C:y=x ﹣4x+5,为二次函数,开口向上,对称轴为 x=2,所以在区间(0,2)上为减函数; 对 D:y= ,为反比例函数,易知在(﹣∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以函数在(0, 2)上为减函数; 综上可知:y= 在区间(0,2)上为增函数; 故选 B. 点评: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答的 过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、 认识和应用能力. 值得同学们体会反思. 8. (5 分)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[﹣7, ﹣3]上是() A.增函数且最小值为﹣5 B. 增函数且最大值为﹣5 C. 减函数且最小值为﹣5 D.减函数且最大值为﹣5 考点: 奇函数. 专题: 压轴题.

分析: 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案. 解答: 解:因为奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数, 所以 f(x)在区间[﹣7,﹣3]上也是增函数, 且奇函数 f(x)在区间[3,7]上有 f(3)min=5, 则 f(x)在区间[﹣7,﹣3]上有 f(﹣3)max=﹣f(3)=﹣5, 故选 B. 点评: 本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系. 9. (5 分)若指数函数 y=(a+1) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,那么() A.0<a<1 B.﹣1<a<0 C.a=﹣1 D.a<﹣1 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 0<a+1<1,由此解得 a 的范围. x 解答: 解:∵指数函数 y=(a+1) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴0<a+1<1,解得﹣1< a<0, 故选 B. 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,属于基础题. 10. (5 分)已知 p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是() A.a >a
p q x

B.p >q

a

a

C.a <a

﹣p

﹣q

D.p >q

﹣a

﹣a

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 证明题. 分析: 利用当 0<a<1 时,指数函数 y=a 为 R 上的减函数可排除选项 A、C,利用 a>0 时, a t 幂函数 y=x 为(0,+∞)上的增函数,可判断 B 正确;利用 t<0 时,幂函数 y=x 为(0,+∞) 上的减函数,可排除 D 解答: 解:∵0<a<1,∴y=a 为 R 上的减函数,由 p>q>1,∴a <a ,排除 A; ﹣p ﹣q 同时,由﹣p<﹣q<﹣1,∴a >a ,排除 C; a a a ∵0<a<1,∴y=x 为(0,+∞)上的增函数,由 p>q>1,∴p >q ,B 正确; ﹣a ﹣a ﹣a ∵﹣a<0,∴y=x 为(0,+∞)上的减函数,由 p>q>1,∴p <q ,排除 D; 故选 B 点评: 本题主要考查了基本初等函数的单调性,利用函数的单调性比较大小的方法,指数 函数、幂函数的图象和性质,属基础题 11. (5 分)函数 y=x ﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是() A.[1,6] B.[﹣3,1] C.[﹣3,6]
2 x p q x

D.[﹣3,+∞)

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 2 分析: 函数 y=x ﹣4x+1 是一条以 x=2 为对称轴,开口向上的抛物线,x∈[2,5]时,函数是 递增函数,易求其值域 2 2 解答: 解:y=x ﹣4x+1=(x﹣2) ﹣3 ∴当 x=2 时,函数取最小值﹣3

当 x=5 时,函数取最大值 6 ∴函数 y=x ﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是[﹣3,6] 故选 C 点评: 本题考查了二次函数最值的求法,即配方法,解题时要分清函数开口方向,辨别对 称轴与区间的位置关系,仔细作答 12. (5 分)已知函数 f(x)=a (其中 a>1) ,则函数 f(x)的图象形状大致是()
|x| 2

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的单调性,以及函数 f(x)为偶函数,即可得到结论. 解答: 解:∵f(﹣x)=a =a =f(x) , ∴f(x)为偶函数, 故关于 y 轴对称, 根据指数函数的性质 y>0, 故排除 C,D, ∵a>1, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0)上单调递减. 故 A 正确. 故选:A 点评: 本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换,一般地,通过去绝对值转化为分段函 数,每段用基本函数研究,对称区间上的图象,则由奇偶性或对称性研究. 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 2 13. (5 分)函数 f(x+1)=x +2x﹣3,则函数 f(x)=x ﹣4. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由 f(x+1)=(x+1) ﹣4,得到 f(x)=x ﹣4,从而求出函数的解析式. 2 解答: 解:∵f(x+1)=(x+1) ﹣4, 2 ∴f(x)=x ﹣4, 2 故答案为:x ﹣4. 点评: 本题考查了函数的解析式问题,是一道基础题. 14. (5 分)若 f(x)=x ﹣2ax+4 在(﹣∞,2]上是减函数,则 a 的取值范围是 a≥2. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2 |﹣x| |x|

分析: 先求出二次函数的对称轴,由区间(﹣∞,1]在对称轴的左侧,列出不等式解出 a 的 取值范围. 解答: 解: :∵二次函数 f(x)=x ﹣2ax+4 在区间[(﹣∞,2]上是减函数, 而二次函数的对称轴为 x=a, ∴区间(﹣∞,2]在对称轴的左侧,a≥2, 故答案为:a≥2 点评: 本题主要考查二次函数图象特征和单调性性质的应用,属于基础试题 15. (5 分)如果定义在区间[3﹣a,5]上的函数 f(x)为奇函数,则 a=8. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题根据奇偶性函数的定义域特征,得到区间端点满足的条件,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 f(x)为奇函数, ∴函数 f(x)的定义域关于 0 对称. ∵函数 f(x)定义在区间[3﹣a,5] ∴3﹣a+5=0, ∴a=8. 故答案为:8. 点评: 本题考查了奇偶性函数的特征,本题难度不大,属于基础题. 16. (5 分)不等式 3
x+1 2

<9

2x﹣1

的解集为{x|x>1}.

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先转化为以 3 为底的指数不等式,根据不等式的性质进行化简求解即可. 解答: 解:原不等式可化为:3 <3 , 即:x+1<4x﹣2, 解得:x>1, 所以原不等式的解集是:{x|x>1}. 故答案为:{x|x>1}. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性,属于基础题. 三、解答题(共 70 分,要求要有必要的文字说明和解题过程) 2 2 17. (12 分)A={x|x ﹣2x﹣3≥0},B={x|x ﹣5x+6≤0} (1)求 A∪B; (2) (?RA)∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 分别求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,求出两集合的交集与并集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)≥0, 解得:x≥3 或 x≤﹣1,即 A={x|x|x≥3 或 x≤﹣1}, ?RA=(﹣1,3) ,
x+1 4x﹣2

由 B 中不等式变形得: (x﹣2) (x﹣3)≤0, 解得:2≤x≤3,即 B=[2,3], 则 A∪B={x|x≥2,或 x≤﹣1}. (?RA)∩B={x|2≤x<3}. 点评: 此题考查了并集及其运算,交集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 18. (12 分)函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 , (1)求 a 的值; (2)求 f(2)的值. 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 a>1 时,由题意可得
2 x

,由此解得 a 的值.当 0<a<1 时,由题意可得 a

﹣a = ,由此解得 a 的值,综合可得结论. 解答: 解:当 a>1 时,函数 y=a (a>0,a≠1)在[1,2]上是增函数, 由题意可得 解得 a= . 当 0<a<1 时,函数 y=a (a>0,a≠1)在[1,2]上是减函数, 由题意可得 a﹣a = , 解得 a= . 综上可得,a= ,或 a= . (2)由(1)得 时, 时, . ,
2 x x



点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨论的数学思想,属于基础 题. 19. (15 分)已知奇函数 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,若 f(m﹣1)+f(2m﹣1) >0,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题.

分析: 根据题意,对 f(m﹣1)+f(2m﹣1)>0 变形可得 f(m﹣1)>﹣f(2m﹣1) ,由奇

函数的性质可得 f(m﹣1)>f(1﹣2m) ,又由函数的定义域与单调性可得



解可得答案. 解答: 解:∵f(m﹣1)+f(2m﹣1)>0, ∴f(m﹣1)>﹣f(2m﹣1) , 又∵f(x)为奇函数,则﹣f(2m﹣1)=f(1﹣2m) , 则有 f(m﹣1)>f(1﹣2m) , ∵f(x)为(﹣2,2)上的减函数,





解可得﹣ <m< ; 则 m 的取值范围是﹣ <m< . 点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,解题时需要注意函数的定义域. 20. (15 分)已知函数 f(x)是偶函数,且 x≤0 时,f(x)= (1)f(x)=0 时 x 的值; (2)f(5)的值; (3)当 x>0 时,f(x)的解析式. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 x≤0 时,f(x)=0 可求 x,然后结合 f(﹣x)=f(x)即可求解满足条件的 x; (2)由题意可得,f(5)=f(﹣5) ,代入即可求解; (3)当 x>0 时,f(x)=f(﹣x)= ,即可求解. .求:

解答: 解: (1)∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) . ∵x≤0 时,f(x)= ∴f(5)=f(﹣5)= ∴ . =0, , = =﹣ ,

(2)当 x≤0 时,f(x)=0 即为 ∴x=﹣1,

又 f(1)=f(﹣1) , ∴f(x)=0 时 x=±1. (3)当 x>0 时,f(x)=f(﹣x)= ∴ . ,

点评: 本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数的函数值及函数的解析式,本题难度不 大,属于基础题.

21. (16 分)已知函数 (1)求 (1≤x≤2)的取值范围;

(1≤x≤2)

(2)求 f(x)的值域; (3)若不等式 +a≥0 在[1,2]上恒成立,求 a 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数函数的单调性求范围; (2)利用换元法转化为二次函数求解; (3)将 a 分离出来,然后求不等号右边的函数的最值即可. 解答: 解: (1)因为 y= 在定义域内是减函数,结合 1≤x≤2,所以 ,即 (2)令 该函数在[ 值域为 (3)若
2

. . , ,故 f(x)的

.原函数化为:y=t ﹣t= ]上是减函数,所以当 t= 时 . +a≥0 在[1,2]上恒成立,即 .x∈[1,2]恒成立. ,t= 时,

令 t=
2

,则

.t

恒成立,显然

当 t= 时,﹣t +t 取得最大值 . 故 a 的范围是[ ) .

点评: 本题考查了利用指数函数的单调性求值域,以及利用配方法求二次函数的最值的方 法,不等式恒成立问题一般要转化为函数的最值问题求解.


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