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江西省丰城中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


丰城中学 2015-2016 学年上学期高二期中考试文数试卷
考试范围:必修 2,选修 1-1 第一章前两节 考试时间:2015 年 11 月 12 日

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 若直线的倾斜角为 120? ,则直线的斜率为( A. 3 B. ?<

br />3 3

) D. ? 3

C.
3

3 3
3

2.设 m, n 是自然数,条件甲: m ? n 是偶数;条件乙: m ? n 是偶数,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 A. ? 7,3? B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) D. ? ?7,3? 或? 3,3? 3.点 P ? a,3? 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4, 则 P 点的坐标是 B. ? 3,3? C. ? 7,3? 或? ?3,3?

4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 A1B1,BB1 的中点, 则 D1E 与 CF 的延长线交于一点,此点在直线( ). A.B1C1 上 B.AD 上 C.A1D1 上 D.BC 上 5. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为( )

A

B

C

D

6.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积的比是() A. 6:5 B. 5:4 C. 4:3 D. 3:2

7.设 l、m、n 表示不同的 直线,α 、β 、γ 表示不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α ,则 l⊥α ; ②若 m∥l,且 m∥α ,则 l∥α ; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,则 l∥m∥n; ④若 α ∩β =m,β ∩γ =l,α ∩γ =n,且 n∥β ,则 m∥l. 其中正确命题的个数是( )

A.1 B. 2 C. 3 D.4 2 2 8.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 5 2 B. 10 2
2

C. 15 2
2

D. 20 2

9. 直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 有两个不相同交点的一个必要而不充分条件 是( ) A. ?3 ? m ? 1 B. ?2 ? m ? 0 C. ?4 ? m ? 2 D. ?2 ? m ? 1 10.下列四个正方体图形中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是 ( )
N A P M M M M N P A A M M M B N A N P -1-

① A.①、②

② B.①、③

③ C.①、 ③、④ 条直线

④ D.②、③

11.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,过 A1 点可作 与直线 A C 和 BC1 都成 60 角( ) A.1 B.2 C.3
o

D. 4

12.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成 一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为( ) 125 125 125 125 A. π B. π C. π D. π 6 9 12 3 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“若实数 a 满足 a≤2 ,则 a 2 ? 4 ”的否命题是 命题. (填“真” 、 “假”之一) .

14.对 于一个底边在 x 轴上的正三角形 ABC ,边长 AB ? 2 ,,采用斜二测画法做出其直观图, 则其直观图的面积是 15.一条直线经过 P(1,2), 且与 A(2,3)、B(4, -5)距离相等,则直线 l 为____________. 16.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角形 的斜边长是 . 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,第 17 题 10 分,其余各题每题 12 分。解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0, l 2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0 , 分别求满足下列条件的 a , b 值 (1) l1 ? l 2 ,且直线 l1 过点(-3,-1) ; (2) l1 // l 2 ,且直线 l1 在两坐标轴上的截距相等; 18.如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且 PA ? PD ?

2 AD ,设 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P E D F A B
-2-

(1) 求证: EF //平面 PAD ; (2) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ;

C

19.已知圆 M: x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 ,Q 是 x 轴上动点,QA、QB 分别切圆 M 于 A、B 两点, (1)若 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求四边形 QAMB 面积的最小值;

20. 已知△ABC 三 边所在直线方程为 AB∶3x+4y+ 12=0,BC∶4x-3y+16=0,CA∶2x+y-2=0, 求: (1)∠ ABC 的平分线所在的直线方程; (2)AB 与 AC 边上的中位线所在的直线方程.

21. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC-A′B′C′中,平面 BCC′B′⊥底面 ABC,BB′⊥

AC,底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA′=3,E、F 分别在棱 AA′,CC′上,且 AE
=C′F=2. (1) 求证:BB′⊥底面 ABC; (2)在棱 A′B′上是否存在一点 M,使得 C′M∥平面 BEF,

A/ B/
E

C/

A/ M 若存在,求 值,若不存在,说明理由; MB /
(3)求棱锥 A -BEF 的体积 B
'

F A C

-3-

22.已知圆 C:x +(y-3) =4,一动直线 l 过 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 是 PQ 的中 点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N. (1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3)探索AM·AN是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.

2

2

丰城中学 2015-2016 学年上学期高二期中考试 文科数学参考答案 一、选择题: 题号 1 答案 D 二、填空题: 2 C 3 C 4 A 5 D 6 D 7 B 8 B 9 C 10 B 11 C 12 A

13. 真 ;14. 三、解答题



15. 3x+2y-7=0 和 4x+y-6=0;

16. 4 3 ;

17.解:(1) l1 ? l 2 ? a(a ? 1) ? (?b) ? 1 ? 0 ,即 a ? a ? b ? 0
2

又? ?3a ? b ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2, b ? 2 ,?????????5 分 (2) l1 // l 2 ? a ?1 ? (?b)(a ? 1) ? 0 ,即 a ? ab ? b ? 0 由 ax ? by ? 4 ? 0, 令 x ? 0 得 y ?

4 4 ,令 y ? 0 得 x ? ? , b a

-4-

4 4 ? 即 b ? ? a ,解得 a ? 2, b ? ?2 ,?????????10 分 a b 18. (Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形 ,连结 AC ? BD ? F , F 为 AC 中点, E 为 PC 中 点 ∴在 ?CPA 中 EF // PA , 且 PA ? 平 面 PAD , EF ? 平 面 PAD ??
∴ EF // 平面PAD ????????????????????6 分

(Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD 平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD 所以 CD ? 平面 PAD ∴ CD ? PA
又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

即 PA ? PD , CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD 2 PA ? 面 PDC ,又 PA ? 面 PAB 面 PAB ? 面 PDC ??????????????????12 分

?

19.解:(1) 圆 M: x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,圆心 M (0,2),半径r ? 1 由 ( | AB |) ? | MN | ? r 得: | MN |?
2 2 2

1 2

1 3
B N

y

由 | BM | ?| MN | ? | MQ | 得 | MQ |? 3
2

?M
A

设 Q( x0 ,0) ,则 |

x0 ? 4 ? 3 ,即 x0 ? ? 5
Q O

2

x ???6 分

所以直线 MQ 的方程为 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0 或 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0

(2)易知,当 | MQ | 取得最短时,四边形 QAMB 面积的最小值,即 Q 与 O 重合 此时 | QA |? 3 , 即四边形 QAMB 面积的最小值为 S min ? 1? 3 ? 3 ???12 分 20.(1)设 P(x,y)是∠AB C 平分线上一点, 由点到直线的距离公式得 ,

整理得:x-7y+4=0,或 7x+y+28=0, 由直线 AB、BC 的斜率可知直线 7 x+y+28=0 是∠ABC 的外角平分线,应舍去, 所以∠ABC 的平分线 BE 的方程为 x-7y+4=0;??????????6 分 (2) 设 AB、AC 的中点连线是 GF,则 GF∥BC. ∴ kGF=k BC= .

-5-

由方程组

, 解得点 A 的坐标为(4,-6) ,

又 B(-4,0) , ∴ AB 的中点 G(0,-3). ∴ A B、AC 的中点连线 FG 的方程为 y= x-3,即 4x-3y-9=0.????12 分

21. (1)证明 取 BC 中点 O,连接 AO,因为三角形 ABC 是等边三角形, 所以 AO⊥BC, 又因为平面 BCC′B′⊥底面 ABC,AO? 平面 ABC,平面 BCC′B′∩平 面 ABC=BC,所以 AO⊥平面 BCC′B′,又 BB′? 平面 BCC′B,所以

AO⊥BB′.又 BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO? 平面 ABC,AC? 平面 ABC.
所以 BB′⊥底面 ABC. ???????4 分

(2) 显然 M 不是 A′,B′,棱 A′B′上若存在一点 M, 使得 C′M∥平面 BEF, 过 M 作 MN∥AA′交 BE 于 N,连接 FN,MC′,所以 MN∥CF,即 C′M 和 FN 共面, 所以 C′M∥FN, 所以四边形 C′MNF 为平行四边形, 所以 MN=2,

所以 MN 是梯形 A′B′BE 的中位线,M 为 A′B′的中点.即

A/ M ? 1 ?????8 分 MB /

(3) V A/ ? BEF ? VB ? A/ EF ?

1 1 3 ?????12 分 ? ( ? 1 ? 2) ? 3 ? 3 2 3

1 22. (1)证明:因为 l 与 m 垂直,且 km=- ,kl= 3, 3 故直线 l:y=3(x+1),即 3x-y+3=0.显然圆心(0,3)在直线 l 上, 即当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心.????????????????2 分 (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x=-1 符合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0 ,因为 PQ=2 3,所以 CM= 4-3=1, |-3+k| 4 则由 CM= =1,得 k= . 2 3 k +1 所以直线 l:4x-3y+4=0.

从而所求的直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0.????????6 分 → → → → → → → → → → → (3)因为 CM⊥MN,所以AM·AN=(AC+CM)·AN=AC·AN+CM·AN=AC·AN. → 5 5 ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 N(-1,- ),则AN=(0,- ), 3 3

-6-





→ → →

又AC=(1,3),所以AM·AN=AC·AN=-5. ②当 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 则由? →
?y=k?x+1? ? ? ?x+3y+6=0

? 3k+6, -5k ?, ,得 N?- ? ? 1+3k 1+3k?
→ → → → 所以AM·AN=AC·AN=-5. → →

? -5 , -5k ?. 则AN=? ? ?1+3k 1+3k?
→ →

综上,AM·AN与直线 l 的斜率无关,因此与倾斜角也无关,且AM·AN=-5.????12 分

-7-


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