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常用逻辑用语》试题(苏教版选修1-1).


高中苏教选修(1-1)第 1 章常用逻辑用语综合测试题
一、选择题 1.下列语句中,命题和真命题的个数分别是( ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗? ②一个数不是奇数就是偶数 ③大角所对的边大于小角所对的边; ④ x ? y 是有理数,则 x, y 也都是有理数; ⑤求证 x ? R ,方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根.
2



A.4,1 答案:C
2

B.2,2

C.3,0

D.2,1

2.①“若 b ? 4ac ? 0 ,则关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 的解集必含有两个元素” ;
2

②“矩形的对角线相等”的逆命题; ③“若 a ? b ,则 a ? c ≥ b ? c ”的否命题. 其中真命题的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:A 3.若语句 p : x ? A A. x ? A B C. x ? A 且 x ? B 答案:B 4.语句 p : ? 是第二象限角;语句 q : sin ? tan ? ? 0 ,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:A 5.下列判断错误的是( ) A.命题“若 p ,则 q ”与命题“若非 q ,则非 p ”等价 B. “ am ? bm ”是“ a ? b ”的充要条件
2 2

B ,则“非 p ”是(
B. x ? A 或 x ? B D. x ? A B





C. “菱形的对角线互相垂直”的否定为假命题 D. p : ? ? ?1 , 2? , q : 4 ? ?1 , 2? ,则“ p 或 q ”为真命题 答案:B 6 . 命 题 p : 若 a,b ? R , 则 a ? b ? 1 是 a ? b ? 1 的 充分不 必 要 条件 ; 命题 q : 函 数

y?

x ? 1 ? 2 的定义域是 ? ?∞, ?1?

? ? ,则( ?3,∞



A. “ p 或 q ”为假 C. “ p 且 q ”为假

B. “ p 且 q ”为真 D.以上均不对

答案:C 7.在下列结论中,正确的结论为( ) ①“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件 ②“ p 或 q ”为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件 ③“ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件 ④“非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件 A.①② 答案:B B.①③ C.②④ D.③④

8. 若函数 f ( x),g ( x) 的定义域和值域都是 R , 则 “ f ( x) ? g ( x) ” 成立的充要条件是 ( A. ?x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) B.存在无数多个实数 x ,使得 f ( x) ? g ( x) C. ?x ? R ,都有 f ( x ) ?



1 ? g ( x) 2

D.不存在实数 x ,使得 f ( x) ≥ g ( x) 答案:D 9.命题 p : 不等式

1 x x 的 解 集 为 ?x | 0 ? x ? 1 ? ? ;命题 q:0 ? a≤ 5 是函数 x ?1 x ?1


f ( x) ? ax2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ?∞, 4? 上为减函数的充分不必要条件,则(
A. p 真 q 假 答案:B 10.设函数 f ( x ) 的定义域为 R ,有下列三个命题: ①若存在常数 M ,使得对 ?x ? R ,有 f ( x) ≤ M ,则 M 是函数 f ( x ) 的最大值; B. “ p 且 q ”为真 C. “ p 或 q ”为假

D. p 假 q 真

②若 ?x0 ? R ,使得对 ?x ? R ,且 x ? x0 ,有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的最 大值; ③若 ?x0 ? R ,使得对 ?x ? R 有 f ( x) ≤ f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值. 这些命题中,真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 答案:C ) D.3

11.设 ?,? 为两个不同的平面, l, m 为两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? .有如下两 个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l ∥ m ;②若 l ? m ,则 ? ? ? ,那么( )

A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 答案:D 12.若 f ( x ) 是 R 上的减函数,且 f (0) ? 3 , f (3) ? ?1 ,设 P ? x | f ( x ? t ) ? 1 ? 2 ,

?

?

Q ? ?x | f ( x) ? ?1? ,若“ x ? P ”是“ x ? Q ”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围
是( ) B. ?t | t ≥ 0? C. ?t | t ≥ ?3? D. ?t | t ≤ ?3? A. ?t | t ≤ 0?

答案:D 二、填空题 13.存在性命题“存在一个被 7 整除的整数不是奇数”的否定是 答案:所有被 7 整除的整数都是奇数 14.如果命题 A 的否命题是 B , B 的逆命题为 C ,则 C 为 A 的逆命题的 答案:否

. 命题.

15. p( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,若对 ?x ? R , p ( x) 是真命题,则实数 a 的取值范围是 . 答案: a ? 1 16.有下面四个命题: ①命题“若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题; ②命题“存在两个等边三角形,它们不相似”的否定; ③命题“若 m ≤ 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④命题“若 A

B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题.其中真命题的是

. (填上你认

为正确的命题的序号) 答案:①②③ 三、解答题 17.已知命题:末位是 0 的整数,可以被 5 整除.把命题改写成“若 p ,则 q ”的形式, 并写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假. 解:原命题:若一个整数的末位数是 0,则这个整数可以被 5 整除.它是真命题. 逆命题:若一个整数可以被 5 整除,则这个整数的末位数是 0.它是假命题. 否命题:若一个整数的末位数不是 0,则这个整数不能被 5 整除.它是假命题. 逆否命题:若一个整数不能被 5 整除,则这个整数的末位数不是 0.它是真命题. 18.分别写出由下列各组命题构成的“ p 或 q ” 、 “ p 且q ” 、 “非 p ”形式的命题,并判断 它们的真假. (1) p : 平行四边形的对角线相等; q : 平行四边形的对角线互相平分;
2 (2) p : 方程 x ? 16 ? 0 的两根的符号不同;

q : 方程 x 2 ? 16 ? 0 的两根的绝对值相等.
解: (1) p 或 q :平行四边形的对角线相等或互相平分. p 且 q :平行四边形的对角线相等且互相平分. 非 p :有的平行四边形的对角线不相等. 由于 p 假 q 真,所以 p 或 q 真, p 且 q 假,非 p 真;
2 (2) p 或 q :方程 x ? 16 ? 0 的两根符号不同或绝对值相等.

p 且 q :方程 x 2 ? 16 ? 0 的两根符号不同且绝对值相等.
2 非 p :方程 x ? 16 ? 0 的两根符号相同.

由于 p 真 q 真,所以 p 或 q 、 p 且 q 为真,非 p 为假. 19.给出问题:已知语句 p : ?2 ? m ? 0 ,0 ? n ? 1 ;语句 q : 关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0
2

有两个小于 1 的正根.试分析 p 是 q 的什么条件. 一位同学给出了如下解答:设关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 有两个小于 1 的正根 x1,x2 ,
2

则 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1 ,所以 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,且 0 ? x1 x2 ? 1 . 由根与系数的关系,得 ?

? x1 ? x2 ? ? m, ?0 ? ?m ? 2, 则? ? x1 x2 ? n, ?0 ? n ? 1,

所以 ?2 ? m ? 0 , 0 ? n ? 1 . 又命题 p : ?2 ? m ? 0 , 0 ? n ? 1 , 故 p 是 q 的充要条件. 该同学的解答正确吗?试给出判断,并说明理由. 解:该同学的解答是错误的,原因是由 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1 得到 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 且 0 ? x1 x2 ? 1 并不是完全等价的,如取 m ? ? 此时方程的 ? ?

1 1 1 1 2 , n ? ,则 x ? x ? ? 0 . 3 2 3 2

1 1 ? 4 ? ? 0 无解,更谈不上有两个小于 1 的正根,易知 q ? p,p ? q , 9 2 p q 从而 是 的充要条件是错误的.正确的结论应为 p 是 q 的必要不充分条件.
2 20.已知 M ? x x ? 1 ? x ? 3 ? 8 , N ? x | x ? (a ? 8) x ? 8a ≤ 0 .

?

?

?

?

(1)求 a 的一个值,使它成为 M

N ? ?x | 5 ? x ≤8? 的一个充分不必要条件; N ? ?x | 5 ? x ≤8? 的一个必要不充分条件.

(2)求 a 的一个取值范围,使它成为 M

解:由已知有 M ? x | x ? ?3或x ? 5 , N ? ?x | ( x ? a)( x ? 8) ≤ 0? . (1) 显然当 ?3 ≤ ?a ≤ 5 ,即 ?5 ≤ a ≤ 3 时, M 取 a ? 0 ,由 M 所以 a ? 0 是 M ( 2)当 M

?

?

N ? ?x | 5 ? x ≤8? .

N ? ?x | 5 ? x ≤8? ,不能推出 a ? 0 . N ? ?x | 5 ? x ≤8? 的一个充分不必要条件;

N ? ? x | 5 ? x ≤ 8? 时, ?5 ≤ a ≤ 3 ,此时有 a ≤ 3 .但当 a ≤ 3 时推不出

M

N ? ?x | 5 ? x ≤8? .

21.已知 ab ? 0 ,求证 a ? b ? 1 的充要条件是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0 .
3 3 2 2

证明:必要性:

a ? b ? 1 ,即 b ? 1 ? a ,

?a3 ? b3 ? ab ? a2 ? b2 ? a3 ? (1 ? a)3 ? a(1 ? a) ? a2 ? (1 ? a)2
? a3 ? 1 ? 3a ? 3a 2 ? a3 ? a ? a 2 ? a 2 ? 1 ? 2a ? a 2 ? 0 .
充分性:

a3 ? b3 ? ab ? a 2 ? b2 ? 0 ,即 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? (a2 ? ab ? b2 ) ? 0 ,

?(a2 ? ab ? b2 )(a ? b ?1) ? 0 .
又 ab ? 0 ,即 a ? 0 且 b ? 0 ,

b? 3 ? ? a ? ab ? b ? ? a ? ? ? b2 ? 0 ,只有 a ? b ? 1 . 2? 4 ?
2 2

2

综上,当 ab ? 0 时, a ? b ? 1 的充要条件是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0 .
3 3 2 2

1 ? 0 .请选取适当的实数 a 的值,分 2 x ? 3x ? 1 别利用所给的两个条件构成形如“如果 p ,则 q ”形式的命题,并使得构造的原命题为真
22.已知条件 m : 5x ?1 ? a ? 0 和条件 n :
2

命题, 而其逆命题为假命题. 则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符 合要求的命题. (本题为开放题, a 值不惟一) 解:由已知条件 m 即 5 x ? 1 ? ?a 或 5 x ? 1 ? a ,

?x ?

1? a 1? a ,或 x ? , 5 5
2

已知条件 n 即 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ,

?x ?

1 或 x ?1. 2

令 a ? 4 ,则 m 即 x ? ? 或 x ? 1 ,此时必有 m ? n 成立,反之不然, 故可以选取的一个实数 a ? 4 , p 为 m , q 为 n ,对应的命题是“如果 m ,则 n ” . 由以上过程可知这一过程的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 注:本题为一开放题,答案不惟一,只需 a 满足

3 5

1? a 1 1? a ≤ 且 ≥ 1 即可. 5 2 5


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