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安徽省安庆市2014年4月高三第三次模拟考试理科数学试题


安徽省安庆市 2014 年 4 月高三第三次模拟考试理科数学试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知集合 A ? { x|y= log2 (2 x ? 3) },B={y| y ? A.

9 ? x 2 },则 A∩B 为

3 [ ? ,? ∞ ) D. [0,3] 2 2i 2、已知 a,b⊥,

i 为虚数单位,若 1 ? bi ? ,则 a+bi 的模等于 a?i A. 2 B. 2 C. 4 D.1 3、等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 ? 1 , a3 是 a1 和 a13 等比中项,
B. (0,3] C. 则此数列的前 10 项之和是 A 4 B 2 C 8 D 10 2 4、设抛物线 y ? 16x 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为,以 F 1, F2 为焦点,离心率为 2 的双曲 线的两条准线之间的距离等于 A 4 B 2 C 8 D 10 5、在极坐标系中,曲线 C:p=2cosθ 上任意一点 P 到点 Q ( 2 , A

3 (0, ) 2

?

4

) 的最大距离等于

2

B2

C

3

D

6

6、设 a , b 为非零向量,λ ? R ,满足 a ? b ? ? a ? b ,则“λ>1”是 “ a , b 夹角为锐角”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件

? x?0 x2 ? ? y 2 的最大值等于 7、若 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 3 ,则 z= 2 ?x ? 2 y ? 3 ?
A.2 B 3 C 9 D 10 n 8、二项式 ( x ? 1) 的奇数项二项式系数和 64, 若 ( x ? 1) = a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? an ( x ? 1) n ,则 a1 等于 A -14 B 448 C -1024 D -16
n

9.

函数 f(x)=2sin(2x-φ)(|φ|< )的图像

π 2

A

10、函数 f(x)是定义域为{x|x≠0}的奇函数,且 f(1)=1, f ?( x) 为 f(x)的导函数,当 x>0 时, f(x)+x f ?( x) >

? 6

如图所示,则 φ 的值等于 B

? 3

C

-

? 6

D-

? 3

1 则不等式 xf(x)>1+ln|x|的解集为 x
(-∞,-1) C (1,+∞) D(-1,1)

A (-∞,-1) ∪(1,+ ∞) B 二、填空题

11. 、 ΔABC 的内角为 A,B,C, 若 sinA=cosB=

3 ,则 ? sin x ? cos x dx 5

的值为____. 12、执行如图所示的程序框图后,若输出的结果满足 y>1,则输入的 x 的取值范围是 _________.

1

13、某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,则部件 正常工作:设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000, ? 2 ),若每个元 件使用寿命超过 1200 小时的概率为

1 ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使 3

用寿命超过 800 小时的概率为________.

14、 在平面直角坐标系中, 第一象限有系列圆 On (n ? N ? ) ,所有圆均与 x 轴和直线 3x ? y ? 0 相切,且任何相邻两圆外切:圆 On 的半径为 rn ,其中 rn > rn ?1 >0,若圆 O1 的半径为 r1 ? 1 ,则

rn 等于_______.
15. 如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,下面结论正确的是_________. (把你认为正确的结论序号都填上) ①AC∥平面 DA1C1 ;② BD 1 ⊥ DA1C1 ; ③ 过点 B 与异面直线 AC 和 A 1 D 所成角均为 60 ; ④ 四面体 DA1 D1C1 与 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球半径之比为
?

3 ; 3

⑤与平面 DA1C1 平行的平面与正方体的各个面都有交点,则这个截面的周长为定值。 三、解答题 16(12 分) 在直角坐标系 xoy 中,点 p 是单位圆上位于第一象限的动点,过 p 作 x 轴的垂线与射线 y=xtanθ(x≥0,0< ? ? α ? (0,? ) (1)若 ? ? (2)若 ? ?

?

2

)交于点 Q,与 x 轴交于点 M,射线与单位圆交于 N,设∠MOP=α,且

?
?
3

, sin ? ?

3 求 cos∠POQ; 5

4

,求四边形 OMPN 面积的最大值,并求取最大值时的 ? 值

17(12 分)一个口袋中装有大小相同的 n 个红球(n≠5 且 n ? N )和 5 个白球,红球编号为 1,2…n。白球编号为 1,2,…5:每次从中任取两个球,当两个球颜色不同时,则规定为中奖。 (1)若一次取球中奖的概率 p,试求 p 的最大值及相应的 n 值; (2) 若一次取球中奖, 且 p 取最大值, 设取出的红球编号为 a,白球编号为 b; 记随机变量 x=|a-b|, 求 x 的分布列、期望。

?

2

18、 (12 分)如图实所示,AB 是圆台上底面⊙O 的直径,C 是⊙O 上不同于 A、B 的一点, D 是圆台下底面⊙ O? 上的一点,过 A、B、C、D 的截面垂直与底面,M 是 CD 的中点,又 AC=AD=2,∠CAD= 120 , ∠BCD= 30 . (1)求证 AM⊥平面 BCD; (2)求二面角 A-DB-C 的正切值。

p x- )-2lnx,g(x)= 19(13 分)设函数 f ( x) ? (

(1)若对任意 x ? [2,e],不等式 f(x)>g(x)恒成立,求 p 的取值范围; (2)若对任意 x1 ? [2,e],存在 x2 ? [2,e],使不等式 f( x1 )>g( x2 )成立,求 p 的取值范围。

1 x

2e (p>1,e 是自然对数的底数) x

1 x2 y2 20 (13 分) 如图, 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的离心率 e= ,短轴的两个端点分别为 B1、B2 , 2 a b 3 焦点为 F1、F2 ,四边形 F1B1F2 B2 的内切圆半径为 . 2
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过 左 焦 F 1 点 的 直 线 交 椭 圆 于 M 、 N 两 点 , 交 直 线 x=-4 于 点 P , 设

PM ? ? MF1, PN ? ? NF2 ,试证 ? ? ? 为定值.

3 2 21( 13 分)设函数 f 有两个极值点 ( ( n x) n x)=2an x ? 3an?1 x ? 6 x ? 1, an ? 0, a1 ? 1 ,若 f

? n、? n ,且满足 ?n ? ?n ? 2n ?n ?n ,其中 n=1,2…。
(1) 试用 an 表示 an ?1 ; (2) 求数列{ an }的通项公式; (3) 若 Tn ? ?1?1 ? ?2 ?2 ?

? ?n ?n ,证明:对一切 n? N ? ,均有 1≤ Tn <2.

3

一、选择题 题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 B

5 B

6 B

7 C

8 B

9 C

10 A

1.解析: A ? ( ?

3 ,?? ) , B ? [0 , 3] ,故 A B ? [0 , 3] .选 D. 2

2.解析: (1 ? bi)(a ? i ) ? 2i ,即 a ? b ? (1 ? ab)i ? 2i ,由复数相等得 ? 易得 a ? b ? 1,故 a2 ? b2 ? 2 .选 A.
2 2

?a ? b ? 0 , ?1 ? ab ? 2

3. 解析:设公差为 d ,则 (1 ? 2d )2 ? 1? (1 ? 12d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100.选 B . 4. 解析:双曲线的半焦距 c ? 4 ,由 e ? 2 知 a ? 2 ,双曲线的两条准线之间的距离为 选 B.

2a 2 ? 2. c

1) ,故最大距离为 2.选 5.解析:曲线 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , Q 点直角坐标为 (1, B.
6. 解析:由 a ? b ? ? a ? b 两边平方,得 (1 ? ?2 ) a ? 2(1 ? ?2 )a ? b ? (1 ? ?2 ) b
2 2

? 0.

若“ a 、 则 a ?b ? 0 , 又由题设知 ? ? 0 , 故 ? ? 1; 反之, 若 ? ? 1, 则 a ?b ? 0 , b 夹角为锐角”, 但 a 、 b 夹角不一定为锐角.选 B. 7. 解析:显然 z 的算术平方根为椭圆 长,故

x2 y2 ? ? 1 的短半轴 2z z

z ? 3 , 0 ? z ? 9 .选 C.

O

1

2

P

(π ,1) 3

8.

n?7 2n ?1 ? 64 , 则 , n 7 2 ( x ? 1) ? [?2 ? ( x ? 1)] ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? ? ? a7 ( x ? 1)7
解 析
6

:







故 a1 ? C7 (?2) ? 448.选 B.
1

2? 1 ? ? ) ? ,因 P 点在函数 y ? sin x 的单调递减区间上, 3 2 2? ? 3? ? ? ? [2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z ) , 故 3 2 2 2? 5? ? ? ? 2k? ? , (k ? Z ) , 所以 3 6
9.解析: P 点坐标代入得 sin( 得 ? ? ?2k? ?

?

6

(k ? Z ). 又 ? ?

?

2

,故 ? ? ?

?

6

.选 C.

4

10.解析:令 g ( x) ? xf ( x) ? ln x ,则 g ( x) 为偶函数,且当 x ? 0 时,g '( x) ? 0 ,即函数 g ( x) 在区间 (0 , ? ?) 上为增函数,不等式 xf ( x) ? 1 ? ln x 即为 g ( x) ? g (1) ,即有 g ( x ) ? g (1) , 化为 x ? 1 ,解得: x ? ?1 或 x ? 1 .选 A. 二、填空题 11. 2 2 ? 2 12. x ? ?1 或 x ? 1 11. 解析:∵ cos B ? ∴ 13.

3 4 3 ? ? ∴ sin B ? ? sin A ? ,∴ cos B ? cos( ? A) ,∴ A ? B ? , 5 5 5 2 2
C?
?
2 0

16 27

14. rn ? ( )

1 3

n ?1

,n? N *

15. ①、②、⑤

?

2





?

C

0

sin x ? cos x dx ? ? sin x ? cos x dx ?
? ?

?

?

4 0

(cos x ? sin x) dx ?

?? (sin x ? cos x)dx
2 4

?

4 ? (? cos x ? sin x) 2 ? ( 2 ? 1 ? (sin x ? cos x) 0 ) ? (?1 ? 2 ) ? 2 2 ? 2 . ? 4

? 2 ? x ? 1 ,x ? 0 ? 12. 解析:程序框图定义了一个分段函数: y ? ? 1 ,当 y ? 1 得 x ? ?1 或 x ? 1 . 2 ? x?0 ?x ,
13.解析:设该部件的使用寿命超过 800 小时的概率为 P(A).因为三个元件的使用寿命均服从 正态分布 N(1000, σ2) ,所以元件 1, 2, 3 的使用寿命超过 800 小时的概率均为

2 .因为 3

1 1 2 16 P( A) ? (1 ? ? ) ? ? . 3 3 3 27
14.解析:由已知, rn ? rn ?1 ? 所以 rn ? ( )

1 1 (rn ? rn ?1 ) , n ? N * , 故 rn ?1 ? rn ,而 r1 =1, 2 3

1 3

n ?1

, n? N *.

15. 解析:正确的有①、②、⑤ AC 和 A1D 所成 ∵ AC ∥ AC 1 ⊥A 1 ⊥ C1 D ,∴①、②正确;∵ 异面直线 1 1 , BD 1 D , BD 的角为 60 ? ,∴过点 B 与异面直线 AC 和 A1D 所成的角均为 60 ? 的直线有且只有 3 条. 故③ 错 误 . 设 AA 1 ? a , 可 求 得 四 面 体 DA 1 C1 D 1 内 切 球 半 径 为

1 a ,而正方体 3? 3

1 3 .故④错误. 将正方体沿 D1 A1 、 ABCD ? A1B1C1D1 内切球半径为 a ,故所求的比应为 1 ? 2 3 A D A1B1 、 B1C 、 CD 、 DD1 展开到一个平面上,如图所示, D1
易知截面多边形 EFGHIJ 的周长为定值,等于 3 2a ( a 为正方体的棱长) ,故⑤正确.

D1 D1 D A1 A

C1 C B1 B B B

5

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)由题意, ?MOQ ? 因为 sin ? ?

?

? 3 4 , ? ? (0, ) ,所以 cos ? ? . 5 5 2

3

, ?POQ ? ?MOQ ? ?MOP ?

?
3

??

所以 cos?POQ ? cos(

?
3

? ? ) ? cos

(Ⅱ)∵ S四边形OMPN ? S ?OMP ? S ?OPN

4?3 3 .…………………6 分 3 3 10 1 1 ? ? cos ? sin ? ? sin( ? ? ) 2 2 4
cos ? ? sin sin ? =

?

?

1 2 ? sin ? cos ? ? (cos ? ? sin ? ) . 2 4 ? 1) , 令 t ? cos ? ? sin ? , ? ? (0, ) ,则 t ? (0, 4 1 2 1 2 2 3 2 ∴ S四边形OMPN ? (1 ? t ) ? t ? ? (t ? ) ? , 4 4 4 2 8 3 2 当t ? 时, S四边形OMPN 有最大值 . 8 2
数学试题(理)参考答案(共 7 页)第 3 页 此时, cos? ? sin ? ? 所以 ? ?

? 为所求。………………12 分 12

? ? ? ? 1 2 ,有 cos (? ? ) ? ,由于 ? ? ? ( , ) , 4 2 4 4 2 2

17. (本题满分 12 分) 2 解析: (Ⅰ)每次从 n ? 5 个球中任取两个,有 Cn ?5 种方法,它们是等可能的,其中两个球的
1 1 颜色不同的方法有 Cn C5 种,

所以一次取球中奖的概率为 p ? 即p?

1 1 Cn C5 10n . n ? 5且n? N * ? 2 Cn ?5 ? n ? 5?? n ? 4 ?

10 10 5 ? ? ,当 n ? 4 或 n ? 5 时取等号,而 n ? 5 20 n? ? 9 18 9 n 5 故 p 的最大值等于 及相应的 n 的值为 4.……………6 分 9

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:袋中有红球 4 个,白球 5 个, b ? 1,2,3,4,5 ∴ a ? 1,2,3,4 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4

P ( X ? 0) ?

4 1 ? ; 20 5 1 P( X ? 4) ? ; 20
X

P( X ? 1) ?

7 ; 20

P ( X ? 2) ?

5 1 ? ; 20 4

P( X ? 3) ?

3 ; 20

故 X 的分布列是: 0 1 2 3 4

P

1 5

7 20
6

1 4

3 20

1 20

…………………10 分 ∴ E( X ) ? 0 ?

1 7 1 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 5 20 4 20 20 2 .

…………………12 分 数学试题(理)参考答案(共 7 页)第 4 页 18. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由 AB 是⊙ O 的直径, C 是⊙ O 上不 同于 A 、 B 的一点,知 BC ? AC . ∵ 面 ACD ? 面 ABC ,∴ BC ? 面 ACD ,∴ BC ? AM . ∵ AC ? AD , M 是 CD 的中点,∴ AM ? CD , ∴ AM ? 平面 BCD .………… 6 分 (Ⅱ)作 MG ? BD 于 G ,连接 AG . 由(1) AM ? 平面 BCD ,根据三垂线定理得 AG ? BD , ∴ ?AGM 就是二面角 A ? DB ? C 的平面角. ∵ AC ? AD ? 2 , ?CAD ? 120? , M 是 CD 的 中 点 , ∴ AM ? 1 , DM ? 3 , 在

Rt?MGD 中, MG ? MD sin ?MDG ? 3 sin 30? ?
∴ 在 Rt?AMG 中, tan ?AGM ?

3 . 2

AM 1 2 3 .…………12 分 ? ? MG 3 3 2
1 2e ) ? 2 ln x ? >0 对 x ? [2, e] 恒成立, x x

19. (本题满分 13 分) 解析: (Ⅰ)由已知不等式 f ( x) ? g ( x) ? p ? ( x ? ∴p?

2 x ln x ? 2e 对 x ? [2,e] 恒成立. x2 ?1 2 x ln x ? 2e 令 h( x ) ? , x ? [2,e] ,则 p ? [h( x)]max . x2 ?1 ?2(1 ? x 2 ) ln x ? 2 x(2e ? x) ? 2 ∵ h '( x) ? ? 0. ( x 2 ? 1)2 ∴ h( x) 在区间 [2,e] 上是减函数, 4 ln 2 ? 2e 4 ln 2 ? 2e ∴ [h( x)]max ? h(2) ? ,故 p ? .……………7 分 3 3 (Ⅱ)依题意 [ f ( x)]min ? [ g ( x)]min .
数学试题(理)参考答案(共 7 页)第 5 页 ∵ f '( x) ? p ? 又 g ( x) ?

2e 4 ? 4 ln 2 在 [2,e] 单调递减,故 f (2) ? g (e) ,解得 p ? .…………13 分 x 3

p 2 ? ? 0 ,∴ f ( x) 在 [2,e] 单调递增. x2 x

20. (本题满分 13 分)

7

解析: (Ⅰ)如图所示,设四边形 F1B1F2 B2 的内切圆与边 B2 F2 的切点为 G ,连接 OG ,则

1 1 3 .由 S ?OB2 F2 ? OB2 ? OF2 ? B2 F2 ? OG , OB2 ? b , OF2 ? c , B2 F2 ? a , 2 2 2 c 1 3 得 bc ? a , 又 e ? ? , a 2 ? b2 ? c2 , 解 得 a ? 2 , b ? 3 , 故椭 圆 C 的 方 程 为 a 2 2 2 2 x y ? ? 1. ………………5 分 4 3 ( Ⅱ ) 根 据 已 知 条 件 可 设 直 线 MN 的 方 程 为 y ? k ( x ? 1) , 代 入 椭 圆 方 程 , 整 理 得

OG ?

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .
? 8k 2 x ? x ? ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) ,则 ? . 2 4( k ? 3) ?x ? x ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ? ? 3k ) ,由 PM ? ? MF1 , PN ? ? NF1 , 又 P(?4 , x ?4 x ?4 得? ? ? 1 ,? ? ? 2 .…………………9 分 x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 4 x2 ? 4 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ∴ ??? ?? 1 , ? ?? 1 2 ?? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
∵ 2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ? 2 ?

4(k 2 ? 3) 8k 2 ? 5( ? ) ?8 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

8k 2 ? 24 ? 40k 2 ? 24 ? 32k 2 ? 0, 3 ? 4k 2 ∴ ? ? ? ? 0 为定值.………………13 分 ?
21.(本题满分 13 分) 解析: (Ⅰ) f n ' ( x) ? 6an x 2 ? 6an?1 x ? 6, 由 f n ' ( x) ? 0 得: an x2 ? an ?1x ? 1 ? 0

an ?1 ? ?? n ? ? n ? a ? n 所以 x ? ? n 、 x ? ? n 是上方程的两根,由韦达定理: ? , 1 ?? ? ? n n ? an ? n 由已知 ?n ? ?n ? 1 ? 2 ?n ?n , n ? 1,2,3,? ,
所以

an?1 2n ? 1 ? ,即 an?1 ? an ? 2 n , n ? 1,2,3,? ……………3 分 an an

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: an ?1 ? an ? 2n , n ? 1,2,3,? ,所以

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2n ? 1 .……………7 分 1 (Ⅲ)因 ? n ? n ? ? 0 ,所以 Tn ? T1 ? 1 an

8

1 1 2n ?1 ? 1 2n ?1 1 1 ? n ? n ? ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 an 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 1 1 1 1 ? n ) ?2? n ?2 Tn ? ?1?1 ? ?2 ?2 ? ??n ?n ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? ( n ?1 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1 综上,对一切 n ? N * ,均有 1 ? Tn ? 2 成立。……………13 分
当 n ? 2 时, ? n ? n ?

9


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