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基本初等函数的图象与性质(最经典)


基本初等函数的图象与性质
一、一次函数 解析式: y ? ax ? b(a ? 0) : ① a ? 0 时,直线方向为左下右上(必过第一、三象限) ; a ? 0 时,直线方向为 左上右下(必过第二、四象限) ; ② b 为纵截距,直线与 y 轴交点为 (0, b) 。 例 1 画出函数 y ? 2 x ? 1 与 y ? ?2 x ? 1 的图象
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4

y

4 3 2 1

y

x

–4 –3 –2 –1

O 1 –1 –2 –3 –4

2

3

4

x

性质: 一次函数 图象
b?0

y ? ax ? b(a ? 0)
b?0 b?0 b?0

y ? ax ? b(a ? 0)
b?0 b?0

定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 函数值变化 二、反比例函数 解析式: y ?
1

k ( k ? 0) : x

k ? 0 时,双曲线在第一、三象限; k ? 0 时,双曲线在第二、四象限。

例 2 画出函数 y ?

1 1 与 y ? ? 的图象 x x

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

4 3 2 1
2 3 4

y

O 1 –1 –2 –3 –4

x

–4 –3 –2 –1

O 1 –1 –2 –3 –4

2

3

4

x

性质: 反比例函数 图象
y? k (k ? 0) x y? k (k ? 0) x

y x

y x

O

O

定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 函数值变化 渐近线 三、二次函数 解析式: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) : ① a ? 0 时,抛物线开口向上, a ? 0 时,抛物线开口向下;

2

②对称轴方程 x ? ?

b b 4ac ? b 2 ); ;③顶点坐标 (? , 2a 2a 4a

④与 x 轴的位置关系: ? ? b 2 ? 4ac ,若 ?. ? 0 ,抛物线与 x 轴有两个交点;若
?. ? 0 ,抛物线与 x 轴有一个交点;若 ?. ? 0 ,抛物线与 x 轴没有交点;

⑤与 y 轴相交于点 (0, c) 。 例 3 画出函数 y ? x 2 ? 2x ? 1与 y ? ?2 x 2 ? x ?
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4

1 的图象 2
4 3 2 1

y

y

x

–4 –3 –2 –1

O 1 –1 –2 –3 –4

2

3

4

x

性质: 二次函数 图象
??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
??0 ??0 ??0

定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 函数值变 化

3

练习: 1.如果函数 y ? (m ? 3) x m 为 。 ;对称轴是 ;顶点 y
3
2
2

?3m?2

? mx ? 1是二次函数,那么 m 的值

2.抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的开口方向是 为 ;

3.知函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图,那么函数解析式为( A. y ? ? x 2 ? 2x ? 3 C. y ? ? x 2 ? 2x ? 3 B. y ? x 2 ? 2x ? 3 D. y ? ? x 2 ? 2x ? 3


-1 o 3 x

4.已知二次函数 y ? kx2 ? 7 x ? 7 与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是

.

5.关于 x 的一元二次方程 x 2 ? x ? n ? 0 没有实数根,则抛物线 y ? x 2 ? x ? n 的顶 点在第_____象限; 6.抛物线 y ? ? x 2 ? 2kx ? 2 与 x 轴交点的个数为 .

7.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是

.

8.若方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根是-3 和 1, 那么二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图 象的对称轴是直线 . ;单调递减区间是 ;

9. 二次函数 y ? ? x2 ? 6 x ? 1 的单调递增区间是 10.已知反比例函数 y ? ( )

k 的图象如图所示,则二次函数 y ? 2kx 2 ? x ? k 2 的图象大致为 x

y

y

y

y

y

O
A

x

O
B

x

O
C

x

O
D

x

O

x

4

四、指数函数 解析式: y ? a x (a ? 0且a ? 1) :
1 例 4 画出函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象 2

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

4 3 2 1
2 3 4

y

O 1 –1 –2 –3 –4

x

–4 –3 –2 –1

O 1 –1 –2 –3 –4

2

3

4

x

性质: 指数函数 图象

y ? a (a ? 1)
x

y ? a x (0 ? a ? 1)

y x

y x

O

O

定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 恒过点 函数值变化 渐近线 特别地, ⑴底数互为倒数的两个指数函数 y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称; ⑵在第一象限( x ? 0 ) ,底数 a 越大,函数 y ? a x 的图象位置越高,即底大图高;
5

在第二象限( x ? 0 ) ,底数 a 越小,函数 y ? a x 的图象位置越高,即底小图高;

y
y=a-x (0,1) O y=ax

1 x y=( ) 3

x

1 x y=( ) 2

y

y=3x

y=2x

(0,1)
练习: 1. 若指数函数 f ( x) 过点 (?1,3) ,则 f (2) ? __ 2.已知 a>0 且 a≠1,则函数 f (x)=ax 2-3 的图象必过定点________.


O

x

3.函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是 4.当 x ? [?1,1]时,函数 f(x)=3x?2 的值域为 5.若指数函数 y ? (a ? 2) x 在 ( ??, ? ?) 上是减函数,那么 a 的取值范围是 6.在图中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(
b x ) 的图象只可为( a



7.若-1<x<0,则不等式中成立的是( A.5-x<5x<0.5x B.5x<0.5x<5-x

) D.0.5x<5-x<5x

C.5x<5-x<0.5x

8.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,则函数 y=3ax-1 在[0,1] 上的最大值是( A.6 ) B.1 C .3 ) D.
3 2

1 x 9.设 f(x)= ( ) ,x∈R,那么 f(x)是( 2

A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.函数且在(0,+∞)上是减函数
6

D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数

五、对数函数 解析式: y ? loga x(a ? 0且a ? 1) : 例 5 画出函数 y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的图象
2

4 y 3 2 1 –1 O –1 –2 –3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

4 y 3 2 1 –1 O –1 –2 –3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

性质: 对数函数

y ? loga x(a ? 1)

y ? loga x(0 ? a ? 1)

图象

y x

y x

O

O

定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 恒过点 函数值变化 渐近线 特别地,

7

⑴底数互为倒数的两个对数函数 y ? loga x 与 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称;
a

y y=logax x y=log 1 x
a

O

(1,0)

⑵在第一象限,底数 a 越大,函数 y ? loga x 的图象位置越靠右,即底大图右; 在第四象限,底数 a 越小,函数 y ? a x 的图象位置越靠右,即底小图右;

y

y=log2x y=log3x x y=log 1 x
3

O

(1,0)

y=log 1 x
2

⑶指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数; ①互为反函数的两个函数的图象关于直 线 y ? x 对称; ②互为反函数的两个函数的定义域和值 域相反; ③若原函数 y ? f ( x) 过点 ( a, b) , 则其反函 数 y ? f ?1 ( x) 过点 (b, a ) ; ④单调函数必有反函数。

y

y=2x y=x y=log2x

O

x

8

练习: 1.对任意不等于 1 的正数 a ,函数 f ( x) ? loga x 的反函数的图像都经过点 P ,则 点 P 的坐标是 2.函数 y=f(x)的图象与 g(x)=log2x(x>0)的图象关于直线 y=x 对称,则 f(-2) 的值为________. 3.设 a ? log3 2 , b ? ln 2 , c ? 5 2 ,则 a, b, c 的大小关系是
? 1

2 4.设 a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log45 ,则 a, b, c 的大小关系是

? f ( x ? 1), x ? 4 5. f ( x) = ? x ,则 f ? log2 3? = ?2 , x ? 4

?log 2 x 6.已知函数 f ( x) ? ? x ?2

x?0 x?0

,若 f (a) ?

1 ,则实数 a = 2

7.方程 log 1 x ? ? x ? 1 的根的个数是
2

8.函数 y= x ln(1-x)的定义域为

9.在同一坐标系中,表示函数 y ? loga x 与 y ? x ? a 的图象正确的是(



A

B

C

D

10. a ? log3 2, b ? log5 2, c ? log2 3则 a, b, c 的大小关系是

9

六、幂函数 解析式: y ? x ? ( ? 为常数) 例 5 画出下列函数的图象
y?x
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4

y ? x2
4 3 2 1

y ? x3
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4

y

y

y

x

–4 –3 –2 –1

O 1 –1 –2 –3 –4

2

3

4

x

x

y?x
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

1 2

y ? x ?1
4 3 2 1 2 3 4

y

y

O 1 –1 –2 –3 –4

x

–4 –3 –2 –1

O 1 –1 –2 –3 –4

2

3

4

x

性质: 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

10

y 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
幂函数 y ? x ? 的性质

y=x3

y=x2 y=x
1

y=x 2 y=x-1 1 2 3 4 5 6 7x

① 定义域: y ? x ? x , p, q 为整数且 p, q 互质: 当
p 为正有理数时, q 为偶数时 x ? [0,??) , q 为奇数时 x ? (??,??) ; q p 为负有理数时, q 为偶数时 x ? (0,??) , q 为奇数时 x ? (??,0) ? (0,??) ; q

?

p q



②单调性: (在第一象限内) 当 ? ? 0 时, y ? x ? 在 (0,??) 上单调递增,若 0 ? ? ? 1 凸增, ? ? 1 凹增; 当 ? ? 0 时, y ? x ? 在 (0,??) 上单调递减, ③恒过点: 当 ? ? 0 时, y ? x ? 恒过点 (0,0), (1,1) ;当 ? ? 0 时, y ? x ? 恒过点 (1,1) . ④奇偶性: y ? x ? x , p, q 为整数且 p, q 互质: 若y?x
奇数

?

p q

或y?x

奇数 奇数 奇数 偶数

,则 y ? x 为奇函数;若 y ? x
?

偶数

或y?x

偶数 奇数

,则 y ? x ?

为偶函数;若 y ? x

,则 y ? x ? 为非奇非偶函数;

⑤图象间的位置关系: (在第一象限内) 图象在直线 x ? 1 右侧,指数越大位置越高;图象在直线 x ? 1 左侧,指数越小位 置越高;
11

练习: 1.如图是函数 y ? x n (m, n ? N ? , m、n互质) 的图象,则 A. m, n是奇数且
m ?1 n
m





m ?1 n m C. m是偶数, n是奇数且 ? 1 n m D. m是奇数, n是偶数且 ? 1 n

B. m是偶数, n是奇数且

2.给定函数① y ? x 2 ,② y ? x 3 ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间(0,1) 上单调递减的函数序号是( A.①② B.②③ ) C.③④ D.①④

1

?

4

3.幂函数 f ( x) 的图象过点 (3, 4 27) ,则 f ( x) 的解析式是

.

? ? 1 4.设 a∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xa 的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值 ? ?

为(

) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3

5.若四个幂函数 y= x a ,y= x b ,y= x c ,y= x d 在同 一坐标系中的图象如右图,则 a、b、c、d 的大小关 系是( ) B.a>b>c>d D.a>b>d>c

A.d>c>b>a C.d>c>a>b 6.在函数 y= 数有(

1 ,y=2x3,y=x2+x,y=1 中,幂函 2 x

) B.1 个 C.2 个 D.3 个

A.0 个

12


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