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高三数学模拟试题(文科)及答案3


高三模拟考试

数学(文科)试题卷
选择题部分(共 60 分)
一 、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. sin 750 的值为( A. ? )

3 2

B.

3 2

>C. ?

1 2

D.

1 2

2.在检验某产品直径尺寸的过程中,将某尺寸分成若干组,? a, b ? 是其中的一组,抽查出的个体数在该 组上的频率为 m,该组在频率分布直方图上的高为 h,则 a ? b 等于( A. )

h C. mh D.与 h , m 无关 m 1 1 1 3.如图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 2 4 100
B. 则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( A. i ? 100, n ? n ? 1 C. i ? 50, n ? n ? 2 B. i ? 100, n ? n ? 2 D. i ? 50, n ? n ? 2 )

m h

4.空间中,设 m 表示直线, ? , ? 表示不同的平面,则下列命题正 是( ) ? A.若 // ? , m // ? ,则 m // ? C.若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? B . 若 ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? D. 若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? ) D. 16 ) D. ( 2, e)

确 的

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 2 B .4 C.8

6.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 2 的零点所在的区间是(

x

A. ( ,1)

1 2

B. (1, e ? 1)

C. (e ? 1,2)

?y ? x ? 7.当变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 时, z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则实数 m 的值是( ?x ? m ?
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 ) 8.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 Sm?1 ? 5 , Sm ? -11, Sm?1 ? 21 ,则 m ? ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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9.定义式子运算为

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 将函数 f ( x) ?

3 sin x 的图像向左平移 n (n ? 0) 个单位,所 cos x 1


得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3


10. 已知 f ( x ) 为 R 上的可导函数, 且满足 f ( x) ? f '( x) , 对任意正实数 a , 下面不等式恒成立的是 ( A. f ( a ) ?

f (0) ea

B. f ( a ) ?

f (0) ea

C. f (a) ? ea f (0)

D. f (a) ? ea f (0)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 和椭圆 ? ? 1(m ? n ? 0) 有共同的焦点 F1 , F2 ,P 是两条曲 11.若双曲线 a b m n
线的一个交点,则 PF 1 ? PF 2 ?( A. m ? a
2 2

) C.

B. m ? a

1 (m ? a) 2

D. (m ? a)

12.已知函数 f ( x) ? e x ,如果 x1, x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,下列关于 f ( x ) 的性质: ① ( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ,② y ? f ( x) 不存在反函数, ③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( 其中正确的是( A.①② ) B.①④ C.①③ D.③④

x1 ? x2 ) ,④方程 f ( x) ? x2 在 (0, ??) 上没有实数根, 2

非选择题部分(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.过圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,且与直线 2x+3y=0 垂直的直线方程为 ____________。 14.已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9



15. 已知函数 f ( x) ? x | x ? a |, 若对任意的 x1, x2 ??2, ??? , 且 x1 ? x2 , ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒 成立,则实数 a 的取值范围为 16.若任意 x ? A, 则 .

1 1 1 ? A, 就称 A 是“和谐”集合.则在集合 M ? {?1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的所有非空子集 x 3 2


中,“和谐”集合的概率是

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三、解答题: 17.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 2a cos A ? b cos C ? c cos B . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 6, b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和 S4 ? 14, 且a1 , a3 , a7 成等比. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn为数列{

1 }的前n项和 ,若 ?Tn ? an?1 , 对于一切n ? N * 恒成立,求实数 ? 的最大值. an an?1

19 . (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , P PA ? AD ? 2 , AB ? 1 , BM ? PD 于点 M . (1) 求证: AM ? PD ; (2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.
M

A

D

B

C

数学(文科)试题卷·第 3 页

20. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 若存在 x0 ? [ , e](e 是自然对数的底数,e ? 2.71828 的取值范围.

1 e

) ,使不等式 2 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a

21. (本题满分 12 分)已知动圆过定点 A(0,2), 且在 x 轴上截得的弦长为 4. (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)点 P 为轨迹 C 上任意一点,直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线,直线 l 交直线:y=-1 于点 R,过 点 P 作 PQ⊥l 交轨迹 C 于点 Q,求△PQR 的面积的最小值.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于点 D. (I)求证:AT2=BT·AD; (II)E,F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠A.

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[来源:学科网 ZXXK]

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? sin2 ? =2acos ? (a>0) 在直角坐标系中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建极坐标系, 已知曲线 C: ,

? ? x ? ?2 ? ? 过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 , (t 为参数) ,l 与 C 分别交于 M,N. 2 t 2

(I)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (II)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)= x ?

4 . ? x ? m (m>0) m

(I)证明:f(x)≥4; (II)若 f(2)>5,求 m 的取值范围。

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数学(文科)评分标准
一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分。 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.C 10.D 11. D 12 . B 二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分。 13.2x+3y-4=0 三、解答题:满分 70 分 17.满分 12 分。 14.

1 4

15. (??, 2]

16.

1 17

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(1)由 2a cos A ? b cos C ? c cos B 及余弦定理或正弦定理可得 所以 A ?

cos A ?

1 2

??4 分

?
3

??6 分 ??10 分

28 (2) 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . ??12 分 2 3 18.满分 12 分。 ? ?4a1 ? 6d ? 14 2 (1)设公差为 d,由已知得: ? ? ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ,联立解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去)
? a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 ??6 分 1 1 1 1 ? ? ? (2) an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? 2)
? Tn ?

??8 分 ??10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? …… ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)

?Tn ? an?1 ,? ?

n 2(n ? 2)2 4 ? (n ? 2) ,?? ? ? 2(n ? ) ? 8 2(n ? 2) n n

4 又 2(n ? ) ? 8 ? 12 ,? ? 的最大值为 12 ???12 分 n 19.满分 12 分。 (1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AB . ∵ AB ? AD , AD PA ? A, AD ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ AB ? 平面 PAD . ∵ PD ? 平面 PAD ∴ AB ? PD , ?? 3 分 ∵ BM ? PD , AB BM ? B , AB ? 平面 ABM , BM ? 平面 ABM ,∴ PD ? 平面 ABM . ∵ AM ? 平面 ABM ,∴ AM ? PD . ?? 6 分 (2)解:由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD ,
则 M 是 PD 的中点,在 Rt△ PAD 中, 得 AM ? 在 Rt△ CDM 中,得 MC ? MD ? DC ? 3 ,
2 2

2,

1 6 . AM ? MC ? 2 2 设点 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD? ACM ? VM ? ACD , ?? 7 分
∴ S?ACM ?
数学(文科)试题卷·第 6 页

1 1 1 6 S ?ACM ? h ? S ?ACD ? PA .解得 h ? , 3 3 2 3 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? , h 6 则 sin ? ? , ? CD 3 3 ∴ cos ? ? . 3
得 ∴ 直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 20.满分 12 分。 (1) f '( x) ? ln x ? 1 ?? 1 分

?? 8 分

?? 10 分

3 . 3

?? 12 分

1 1 ? f ( x) 在 (0, ) 为减函数,在 ( , ??) 为增函数 e e 1 1 1 1 1 ①当 t ? 时, f ( x ) 在 [t , ) 为减函数,在 [ , t ? 2] 为增函数,? f ( x) min ? f ( ) ? ? ?? 3 分 e e e e e 1 ②当 t ? 时, f ( x ) 在 [t , t ? 2] 为增函数,? f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ?? 7 分 e 1 2 x ln x ? x 2 ? 3 3 2 (2)由题意可知, 2 x ln x ? x ? ax ? 3 ? 0 在 [ , e ] 上有解,即 a ? ? 2 ln x ? x ? 在 e x x 1 [ , e ] 上有解 e 3 令 h( x) ? 2 ln x ? x ? ,即 a ? h( x)max ?? 7 分 x 2 3 x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 3)( x ? 1) h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x2 x2 1 ? h( x) 在 (0,1) 为减函数,在 (1, ??) 为增函数,则在 ( ,1) 为减函数,在 (1, e) 为增函数 ?? 10 分 e 1 1 3 ? h( ) ? ?2 ? ? 3e, h(e) ? 2 ? e ? e e e 3 ? a ? h( x) max ? h(e) ? 2 ? e ? ?? 12 分 e
21.满分 12 分。 (1)设 C(x,y),|CA|2-y2=4,即 x2=4y. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2=4y. ?? 4 分 1 1 t2 (2)C 的方程为 x2=4y,即y= x2,故y'= x,设 P(t, ) , 4 2 4 t2-4 t2 t t t2 PR 所在的直线方程为y- = (x-t),即y= x- ,则点 R 的横坐标xR= , 4 2 2 4 2t 4+t2(t2+4) t2 |PR|= 1+ |xR-t|= ; ?? 7 分 4 4|t| t2 2 2 t2 PQ 所在的直线方程为y- =- (x-t),即y=- x+2+ , 4 t t 4 2 2 t y=- x+2+ t 4 x2 2 t2 8 8 由 ,得 + x - 2 - =0,由xP+xQ=- 得点 Q 的横坐标为xQ=- -t, 1 2 4 t 4 t t y= x 4

? ? ?

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|PQ|=

4 1+ 2|xP-xQ|= t

2 t2+4(t2+4) 48 1+ 2| +2t|= ,?? 10 分 t t t2

(t2+4)3 t2+4 1 ∴S△PQR= |PQ||PR|= 2 ,不妨设t>0 ,记f(t)= ,(t>0),则当 t=2 时,f(t)min=4. 2 4t |t| t 1 由S△PQR= [f(t)]3,得△PQR 的面积的最小值为 16. ?? 12 分 4 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)证明: 因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB, 所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT. 又 AT 2=AB?AD,所以 AT 2=BT?AD.…4 分 (Ⅱ)取 BC 中点 M,连接 DM,TM. 由(Ⅰ)知 TC=TB,所以 TM⊥BC. 因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径. 所以∠ABT=∠DBT=90?. 所以∠A=∠ATB=45?.…10 分
[来源:Zxxk.Com]

T F E A B M

C

D

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: 2 (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0) ; l x y 2 0 …4 直线 的普通方程为 - - = . 分 (Ⅱ)将 直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t2-2(4+a) 2t+8(4+a)=0 (*) △=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 2 2 由题设得(t1-t2) =|t1t2|,即(t1+t2) -4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a)2-5(4+a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0,所以 a=1.…10 分 (2 4) (本小题满分 1 0 分)选修 4-5:不等式选讲 解: 4 (Ⅰ)由 m>0,有 f (x)=|x- |+|x+m| m 4 4 ≥|-(x- )+x+m|= +m≥4, m m 4 当且仅当 m =m,即 m=2 时取“=”.所以 f (x)≥4.…4 分 4 (Ⅱ)f (2)=|2- |+|2+m|. m 1+ 17 4 4 当 <2,即 m>2 时,f (2) =m- +4,由 f (2)>5,得 m> . m m 2 4 4 当 ≥2,即 0<m≤2 时,f (2)= +m,由 f (2)>5,0<m<1. m m 1+ 17 综上,m 的取值范围是(0,1)∪( ,+∞).…10 分 2

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