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2014届数学7.2一元二次不等式及其解法


河北饶阳中学 2014 一轮复习题

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A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) x-3 1. 不等式 <0 的解集为 x+2 A.{x|-2<x<3} C.{x|x<-2,或 x>3} 答案 A x-3 解析

不等式 <0 可转化为(x+2)(x-3)<0, x+2 解得-2<x<3. 1 1 2 - ,- ?, 2. 已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? 3? 则不等式 x -bx-a<0 的解集是( ? 2 A.(2,3) 1 1? C.? ?3,2? 答案 A 1 1 1 解析 由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由根与系数的关系得- + 2 3 2 1 ? 1? 1 ?-1?=b, b=5, 不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0, ? 3? a -2×?-3?=-a.解得 a=-6, 解集为(2,3). 3. 若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 答案 D 解析 由题意知 a=0 时,满足条件.
?a>0 ? a≠0 时,由? 得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 2 ?Δ=a -4a≤0 ?

( B.{x|x<-2} D.{x|x>3}

)

)

B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? D.? ?-∞,3?∪?2,+∞?

(

)

B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

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4. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c,不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1},则函数 y=f(-x) 的图象可以为 ( )

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

答案 B 解析 由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图象与 x 轴交点为(-3,0), (1,0),∴f(-x)图象开口向下,与 x 轴交点为(3,0),(-1,0). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) ax-1 1 ? 5. 已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? ?-2,+∞?,则 a=________. x+1 答案 -2 解析 ax-1 1 1 - ,+∞?,故- 应是 ax-1=0 由于不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? ? 2 ? 2 x+1

的根,∴a=-2. x2-9 6. (2012· 江西)不等式 >0 的解集是________. x-2 答案 {x|-3<x<2 或 x>3}

解析 利用“穿根法”求解. 不等式可化为 ?x-3??x+3? >0,即(x-3)(x+3)(x-2)>0,利用数轴穿根法可知,不等式 x-2

的解集为{x|-3<x<2 或 x>3}. 7. 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 答案 2 解析 根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2=0 的一个根,即 a2+a- 6=0,解得 a=2 或 a=-3,当 a=2 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2),符合要 求;当 a=-3 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要 求,舍去.故 m=2. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)求不等式 12x2-ax>a2 (a∈R)的解集. 解 原不等式可化为(3x-a)(4x+a)>0.
? ?
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a a? ? 当 a>0 时,不等式的解集为?x|x<-4或x>3?;

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a 当 a<0 时,不等式的解集为{x|x< 或 x>- }. 3 4 9. (12 分)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成 8 (1 成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围. 解 x? 8 ? (1)依题意,y=100? 100? ?1-10?· ?1+50x?.

x? 又售价不能低于成本价,所以 100? ?1-10?-80≥0. 所以 y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为 x∈[0,2]. (2)由题意得 40(10-x)(25+4x)≥10 260, 1 13 化简得 8x2-30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 2 4 1 ? 所以 x 的取值范围是? ?2,2?. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1<x<2},那么不等式 a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax 的解 集为 A.{x|0<x<3} C.{x|-2<x<1} 答案 A B.{x|x<0,或 x>3} D.{x|x<-2,或 x>1} ( )

解析

?-a=1 由题意知 a<0 且-1,2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,∴? c ?a=-2
2
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b

,∴b=-a,

c=-2a, ∴不等式 a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax, 即为 a(x2+1)-a(x-1)-2a>2ax, ∴x2-3x<0,∴0<x<3. 2. 若不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 at2+2t-3<1 的解 集为 ( )

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

A.(-3,1) C.? 答案 B

B.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(0,1)

解析 不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立, 则 Δ=(-2a)2-4a<0, 即 a2-a<0, 解得 0<a<1, 所以不等式 at2+2t-3<1 转化为 t2+2t-3>0,解得 t<-3 或 t>1,故选 B.
2 ? ?x -2x-3≤0, ? 3. 若不等式组 2 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 ? ?x +4x-?1+a?≤0

(

)

A.(-∞,-4] C.[-4,20] 答案 B

B.[-4,+∞) D.[-40,20)

解析 设 f(x)=x2+4x-(1+a),根据已知可转化为存在 x0∈[-1,3]使 f(x0)≤0.易知函数 f(x)在区间[-1,3]上为增函数,故只需 f(-1)=-4-a≤0 即可,解得 a≥-4. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
?x+1 ?x<0?, ? 4. 已知 f(x)=? 则不等式 x+(x+1)f(x-1)≤3 的解集是________. ?-x-1 ?x≥0?, ?

答案

{x|x≥-3}

? ?x, x<1 解析 ∵f(x-1)=? , ?-x, x≥1 ?

∴x+(x+1)f(x-1)≤3 等价于
? ?x<1 ?x≥1 ? ? 或? , ?x+?x+1?x≤3 ? ? ?x+?x+1??-x?≤3

解得-3≤x<1 或 x≥1,即 x≥-3.

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5. 设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 答案 10 100 解析 由不等式 x2-x<2nx (n∈N*),可得其解集为(0,2n+1),其中整数解有 2n 个,即 an=2n, 100×?2+200? ∴S100= =10 100. 2 6. 若关于 x 的不等式 4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立, 则实数 a 的取值范围为__________.


答案

(-∞,0]


解析 ∵4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立, ∴4x-2x 1≥a 在[1,2]上恒成立.


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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

令 y=4x-2x 1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.


∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4. 由二次函数的性质可知:当 2x=2,即 x=1 时,y 有最小值 0.∴a 的取值范围为(-∞, 0]. 三、解答题 7. (13 分)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值. 解 (1)∵f(1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0,

即 a2-6a+3-b<0. Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b. ①当 Δ≤0,即 b≤-6 时,原不等式的解集为?. ②当 Δ>0,即 b>-6 时,
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方程 a2-6a+3-b=0 有两根 a1=3- 6+b, a2=3+ 6+b, ∴不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). 综上所述:当 b≤-6 时,原不等式的解集为?; 当 b>-6 时,原不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). (2)由 f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0, 即 3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3), ∴-1 与 3 是方程 3x2-a(6-a)x-b=0 的两根. a? , ?-1+3=a?6- 3 ∴? b ?-1×3=-3,

?a=3- 3, ?a=3+ 3, 解得? 或? ?b=9 ?b=9.

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