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奥数专题:简单的抽屉原理(鸽笼原理),利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题


奥数专题:简单的抽屉原理
把 3 个苹果任意放到两个抽屉里,可以有哪些放置的方法呢?一个抽屉放一个,另一个抽 屉放两个;或 3 个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同,但是总有一个共同的 规律:至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把 5 个苹果任意放到 4 个抽屉里,放 置的方法更多了,但仍有这样的结果.由此我们可以想到,只要苹果的个数多于抽屉的个数,

就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单:如果每个抽屉里的苹 果都不到两个(也就是至多有 1 个) ,那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到: 抽屉原理:把多于 n 个的苹果放进 n 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上 的苹果。 如果把苹果换成了鸽子,把抽屉换成了笼子,同样有类似的结论,所以有时也把抽屉原理 叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理” ,利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如,我们从街上随便找来 13 人,就可以断定他们中至少有两个人属相(指鼠、牛、虎、 兔、?等十二种生肖)相同.怎样证明这个结论是正确的呢?只要利用抽屉原理就很容易把道 理讲清楚.事实上,由于人数(13)比属相数(12)多,因此至少有两个人属相相同(在这里, 把 13 人看成 13 个“苹果” ,把 12 种属相看成 12 个“抽屉”。 ) 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果” ,苹果的数目一定要大于抽屉的个数。 例 1 有 5 个小朋友, 每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明, 这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 分析与解答 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况,可以有:3 黑,2 黑 1 白,1 黑 2 白,3 白共 4 种配组情况,看作 4 个抽屉.把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果, 因此共有 5 个苹果.把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果, 比抽屉个数多,所以根据抽屉原理,至少有两个苹果在同一个抽屉里,也就是他们所拿棋子的 颜色配组是一样的。 例 2 一副扑克牌(去掉两张王牌) ,每人随意摸两张牌,至少有多少人才能保证他们当 中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的? 分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色,2 张牌的花色可以有:2 张 方块,2 张梅花,2 张红桃,2 张黑桃,1 张方块 1 张梅花,1 张方块 1 张黑桃,1 张方块 1 张 红桃,1 张梅花 1 张黑桃,1 张梅花 1 张红桃,1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况.把这 10 种花 色配组看作 10 个抽屉, 只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果.所以至
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少有 11 个人。 例 3 证明:任取 8 个自然数,必有两个数的差是 7 的倍数。 分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数 a、b,它们除以自然数 m 的余数相同,那么它们的差 a-b 是 m 的倍数.根据这个性质,本题只需证明这 8 个自然数中 有 2 个自然数,它们除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余 数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数,根据抽屉原理,必有两 个数在同一个抽屉中,也就是它们除以 7 的余数相同,因此这两个数的差一定是 7 的倍数。 把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类,叫做 m 的剩余类或同余类,用[0], [1], [2], [m-1]表示.每一个类含有无穷多个数, ?, 例如[1]中含有 1, m+1, 2m+1, 3m+1, ?. 在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意 n+1 个自 然数中,总有两个自然数的差是 n 的倍数。 在有些问题中, “抽屉”和“苹果”不是很明显的,需要精心制造“抽屉”和“苹果”. 如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的,一方面需要认真地分析题目中的条件和问题, 另一方面需要多做一些题积累经验。 例 4 从 2、4、6、?、30 这 15 个偶数中,任取 9 个数,证明其中一定有两个数之和是 34。 分析与解答 我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉:

凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是 34。 现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数,由抽屉原理(因为抽屉只有 8 个) ,必有两个数在 同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点,这两个数的和是 34。 例 5 从 1、2、3、4、?、19、20 这 20 个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中 一定包括两个数,它们的差是 12。分析与解答在这 20 个自然数中,差是 12 的有以下 8 对: {20,8}{19,7}{18,6}{17,5}{16,4}{15,3}{14,2}{13,1} , , , , , , , 。 另外还有 4 个不能配对的数{9}{10}{11}{12} , , , ,共制成 12 个抽屉(每个括号看成 一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于 12,根据抽屉原理至少任选 13 个数,即可办到(取 12 个数:从 12 个抽屉中各取一个数(例如取 1,2,3,?,12) ,那 么这 12 个数中任意两个数的差必不等于 12) 。 例 6 从 1 到 20 这 20 个数中, 任取 11 个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。 分析与解答 根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关
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系的原则制造抽屉.把这 20 个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成 10 个抽屉(显然,它们 具有上述性质) : {1,2,4,8,16}{3,6,12}{5,10,20}{7,14}{9,18}{11}{13}{15} , , , , , , , , {17}{19} , 。 从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉. 由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数 的倍数。 例 7 证明:在任取的 5 个自然数中,必有 3 个数,它们的和是 3 的倍数。 分析与解答 按照被 3 除所得的余数,把全体自然数分成 3 个剩余类,即构成 3 个抽屉. 如果任选的 5 个自然数中,至少有 3 个数在同一个抽屉,那么这 3 个数除以 3 得到相同的余数 r,所以它们的和一定是 3 的倍数(3r 被 3 整除) 。 如果每个抽屉至多有 2 个选定的数,那么 5 个数在 3 个抽屉中的分配必为 1 个,2 个,2 个,即 3 个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取 1 个数,那么这 3 个数除以 3 得到的余数 分别为 0、1、2.因此,它们的和也一定能被 3 整除(0+1+2 被 3 整除) 。 例 8 某校校庆,来了 n 位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这 n 个 校友中至少有两人握手的次数一样多。 分析与解答 共有 n 位校友,每个人握手的次数最少是 0 次,即这个人与其他校友都没有 握过手;最多有 n-1 次,即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况 (0,1,2,?,n-1)数都是 n,还无法用抽屉原理。 然而,如果有一个校友握手的次数是 0 次,那么握手次数最多的不能多于 n-2 次;如果有 一个校友握手的次数是 n-1 次,那么握手次数最少的不能少于 1 次.不管是前一种状态 0、1、 2、?、n-2,还是后一种状态 1、2、3、?、n-1,握手次数都只有 n-1 种情况.把这 n-1 种情 况看成 n-1 个抽屉,到会的 n 个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉” ,根据抽屉原 理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。

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