当前位置:首页 >> 数学 >> 2014届高三数学辅导精讲精练65

2014届高三数学辅导精讲精练65


2014 届高三数学辅导精讲精练 65
x2 2 1.已知 F1、F2 是双曲线 2 -y =1 的左、右焦点,P、Q 为右支上的两点, 直线 PQ 过 F2 且倾斜角为 α,则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为 A.8 C.4 2 答案 解析 C 由双曲线定义知: B.2 2 D.随 α 的大小而变化 ( )

|PF1|+|QF1|-|PQ| =|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|) =(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|-|QF2|) =4a=4 2. x2 y2 2.与双曲线 9 -16=1 有共同的渐近线且经过点 A(-3,3 2)的双曲线的一 个焦点到它的一条渐近线的距离是 A. 2 C.1 答案 解析 B x2 y2 设此双曲线方程为9m-16m=1, B. 3 2 4 ( )

D.4

1 代入点 A(-3,3 2)得 m=-8. y2 x2 ∴方程为 2 - 9 =1. 8 ∵焦点到渐近线的距离为 b, ∴d=b= 9 3 2 8= 4 . )

3.双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为 8,则半焦距的取值范围是( A.[4 2-4,4] C.(4 2-4,2) B.[4 2-4,2] D.[4 2-4,2)

答案 解析

D x2 y2 设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),

其中 a2+b2=c2. ∵2a+2b+2c=8,∴a+b+c=4. ∵(a+b)2≤2(a2+b2), ∴(4-c)2≤2c2?c2+8c-16≥0?c≥4 2-4 或 c≤-4 2-4(负根舍去). 又∵a2+b2=c2,∴a+b>c. 而 a+b+c=4,∴c<2,即 4 2-4≤c<2. x2 y2 4.设 F1 和 F2 为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1、F2、P(0,2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率 3 A.2 5 C.2 答案 解析 B 设 F1(-c,0),F2(c,0). B.2 D.3 ( )

由△PF1F2 为正三角形得 2c= c2+4b2. ∴3c2=4b2=4(c2-a2). ∴c2=4a2,e2=4,e=2. 5.△ABC 的顶点为 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上, 则顶点 C 的轨迹方程是 x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x>3) 答案 解析 C 设△ABC 的内切圆与 x 轴相切于 D 点,则 D(3,0).由于 AC、BC 都 x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D.16- 9 =1(x>4) ( )

为圆的切线. 故有|CA|-|CB|=|AD|-|BD|=8-2=6. x2 y2 再由双曲线第一定义知所求轨迹为 9 -16=1(x>3).

故选 C. x2 y2 6.已知点 F1、F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段 F1F2 为一边的等边三角形 PF1F2 与双曲线的两交点 M、N 恰为等边三角形 PF1F2 两边的中点,则该双曲线的离心率 e= A. 3+1 C. 3 答案 解析 A 设点 M、 分别是△PF1F2 的边 PF1、 2 的中点, N PF 连接 MF2.因为|F1F2| B. 3+2 D. 2+1 ( )

=2c,△PF1F2 为等边三角形,所以|MF1|=c,所以|MF2|=2a+c.又易知|MF1|2+ |MF2|2=|F1F2|2,所以 c2+(2a+c)2=4c2,化简得 e2-2e-2=0,得 e=1± 3,因 为 e>1,故取 e= 3+1.故选 A. x2 y2 7.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0),点 F 是其左焦点,点 E 是其右顶点, → → 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若AE· =0,则该双曲线 BE 的离心率为 A.2 C.4 答案 解析 A B.3 D.5 ( )

→ → 根据题意画出如图所示的简图.由AE· =0,可知∠AEB 为直角.由双曲 BE b2 线的几何性质可知∠AEF=45° AF= a ,EF=a+c,三角形 AEF 为等腰直角 .又 b2 三角形,所以 =a+c,整理得 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0,解得 e=2 或 a e=-1(舍去). 8.

x2 y2 8. (2012· 浙江)如图,F1、F2 分别是双曲线 C:a2-b2=1(a,b>0)的左、右焦 点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A. 2 3 3 B. 6 2 ( )

C. 2 答案 解析 B

D. 3

b 不妨设 c=1,则直线 PQ:y=bx+b,两渐近线为 y=± x. a a b a b , ),Q( , ),设 PQ 的中点为 N,则点 N a+1 a+1 1-a 1-a

因此有交点 P(-

a2 b 的坐标为( ). 2, 1-a 1-a2 因为线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M,|MF2|=|F1F2|,所以点 M 的坐 标为(3,0). b -0 1-a2 1 因此有 kMN= a2 =-b,所以 3-4a2=b2=1-a2. -3 1-a2 2 6 所以 a2=3,所以 e= 2 . x2 y2 9.已知圆 C 过双曲线 9 -16=1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲 线上,则圆心到双曲线中心的距离是______. 答案 解析 16 3 由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点,所

16 ? 4 7? 以圆 C 的圆心的横坐标为 4, 故圆心坐标为?4,± ?, 易求它到中心的距离为 3 . 3 ? ? 10.双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为_______;若双曲线 C 的右顶点为

→ → A,过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P,Q 两点,且PA=2AQ,则直 线 l 的斜率为_______. 答案 解析 x± y=0 ± 3

双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为 x2-y2=0,即 y=± x;双曲线 C

?x=my+1, 的右顶点 A(1,0), l: 设 x=my+1, 联立方程, ? 2 2 得 消去 x 得(m2-1)y2 ?x -y =0, → → +2my+1=0(*),方程(*)的根为 P、Q 两点的纵坐标,设 P(xP,yP),∵PA=2AQ, ∴yP=-2yQ. 2m ?yP+yQ=1-m2, ? 又? 1 ?yPyQ=m2-1, ?

1 1 解得 m=± ,直线 l 的斜率为m,即为 3 或-3. 3

11.求两条渐近线为 x+2y=0 和 x-2y=0 且截直线 x-y-3=0 所得的弦 8 3 长为 3 的双曲线的方程. 解析 1 渐近线方程为 y=± x, 2
2 2

2 y2 ?x ? - =1, x y 可设双曲线方程为4m- m=1,则?4m m ?x-y-3=0. ?

可得 3x2-24x+36+4m=0, 36+4m ∴x1+x2=8,x1x2= 3 . 由弦长公式|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2,得 |AB|= 2· 48-16m . 3

8 3 又∵|AB|= 3 ,∴m=1. x2 2 ∴双曲线方程为 4 -y =1. x2 y2 12.(2011· 江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)上一点,

1 M,N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为5. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标 → → → 原点,C 为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值. 解析 x2 y2 (1)点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线a2-b2=1 上,

x2 y2 0 0 有a2-b2=1. 由题意又有 y0 y0 1 c 30 · =5,可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 e=a= 5 . x0-a x0+a

2 2 2 ?x -5y =5b , (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c,

?x1+x2=5c, ? 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? 35b2 x1x2= 4 . ? ?



→ → → → ?x3=λx1+x2, 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,即? ?y3=λy1+y2. 因为 C 为双曲线上一点,所以 x2-5y2=5b2, 3 3 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 化简得 λ2(x1-5y2)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.② 1 2

因为 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 所以 x1-5y2=5b2,x2-5y2=5b2. 1 2 2

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2= 10b2, 由②式得 λ2+4λ=0,解出 λ=0 或 λ=-4. y2 13.(2013· 上海徐汇高三模拟)已知点 F1,F2 为双曲线 C:x2-b2=1(b>0)的 左、 右焦点, F2 作垂直于 x 轴的直线, x 轴上方交双曲线于点 M, 过 在 且∠MF1F2 =30° ,圆 O 的方程为 x2+y2=b2; (1)求双曲线 C 的方程;

(2)过圆 O 上任意一点 Q(x0,y0)作切线 l 交双曲线 C 于 A,B 两个不同点, AB 中点为 N,求证:|AB|=2|ON|; → → (3)过双曲线 C 上一点 P 作两条渐近线的垂线, 垂足分别是 P1 和 P2, 求PP1· 2 PP 的值. 解析 (1)设 F2,M 的坐标分别为( 1+b2,0),( 1+b2,y0)(y0>0),

y2 0 因为点 M 在双曲线 C 上,所以 1+b2-b2=1,即 y0=b2. 所以|MF2|=b2. 在 Rt△MF2F1 中,∠MF1F2=30° ,|MF2|=b2,所以|MF1|=2b2. 由双曲线的定义可知|MF1|-|MF2|=b2=2, y2 故双曲线 C 的方程为 x2- 2 =1. (2)证明 ①当切线 l 的斜率存在时,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),切线 l 的方程为 y=kx+n(k≠± 2), 代入双曲线 C 中,化简得(2-k2)x2-2knx-(n2+2)=0. 所以|AB|= 1+k2· 1-x2| |x = 1+k2· 8n2-8k2+16 . ?2-k2?2 |n| = 2 , 代 入 上 式 , 得 |AB| = 1+k2

因为直线 l 与圆 O 相切,所以 2 2 1+k2 2 · k +4. |2-k2| 设点 N 的坐标为(xN,yN), 则 xN=

x1+x2 kn 2n = . 2,yn=kxN+n= 2 2-k 2-k2 2· 1+k2 2 kn 2 2n 2 ? ? +? ?= · k +4, 2-k2 2-k2 |2-k2|

所以 ON=

即|AB|=2|ON|成立. ②当切线 l 的斜率不存在时,A( 2,- 2),B( 2, 2)或 A(- 2,- 2), B(- 2, 2),此时|AB|=2 2,|ON|= 2,即|AB|=2|ON|成立. (3)由条件可知:两条渐近线分别为 l1: 2x-y=0;l2: 2x+y=0.

设双曲线 C 上的点 P(x0,y0), 则点 P 到两条渐近线的距离分别为 → | 2x0-y0| → | 2x0+y0| |PP1|= ,|PP2|= . 3 3 → → | 2x0-y0| | 2x0+y0| |2x2-y2| 0 0 所以|PP1|· 2|= |PP · = 3 . 3 3 y2 2 因为 P(x0,y0)在双曲线 C:x - 2 =1 上,所以 2x2-y0=2. 0
2

→ → |2x2-y2| 2 0 0 故|PP1|· 2|= 3 =3. |PP → → 设PF1和PF2的夹角为 θ, 则 cosθ= | 2· 2+1· ?-1?| 1 =3. 3· 3

→ → → → 21 2 所以PF1· 2=|PF1|· 2|· PF |PF cosθ=3·=9. 3

x2 1.设双曲线 C:a2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA=12PB,求 a 的值. 解析
2 2 2 2 ?x -a y -a =0, (1)联立? 消y得 ?x+y=1,

x2-a2(1-x)2-a2=0, (1-a2)x2+2a2x-2a2=0.

?x1+x2=-2a2, ? 1-a 得? -2a2 ?x1x2=1-a2. ?
2

∵与双曲线交于两点 A、B,

2 ?1-a ≠0, ∴? 4 ?0<a2<2 且 a2≠1. 2 2 ?4a +8a ?1-a ?>0

6 ∴e 的取值范围为( 2 , 2)∪( 2,+∞).

?x1+x2=-2a2, ? 1-a (2)由(1)得? -2a2 ?x1x2=1-a2. ?
2

→ 5→ 5 ∵PA= PB,∴x1= x2. 12 12 -2a2 17 则12x2= ,① 1-a2
2 5 2 -2a 12x2=1-a2.②

①2 289 得,a2=169. ② 17 结合 a>0,则 a=13. 2.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F? 若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整

理得(k2-2)x2+2kx+2=0.① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,

?Δ=?2k? -8?k -2?>0, ? 2k 故?- >0, k -2 ? 2 >0, ?k -2
2 2 2 2

k2-2≠0,

解得 k 的取值范围为-2<k<- 2. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

2k ?x1+x2=2-k2, ? 则由①式得? 2 ?x1·2=k2-2 ? x

.②

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0), 则由 FA⊥FB 得 (x1-c)(x2-c)+y1y2=0. 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③ 6 把②式及 c= 2 代入③式化简得 5k2+2 6k-6=0. 解得 k=- 可知 k=- 6+ 6 6- 6 或 k= 5 ?(-2,- 2)(舍去). 5 6+ 6 5 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.


更多相关文档:

2014届高三数学辅导精讲精练63

2014 届高三数学辅导精讲精练 63 x2 y2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 4 =1 的位置关系为 A.相交 C.相离 答案 解析 A ∵直线方程可化为 y-1=k(...

2014届高三数学辅导精讲精练66

2014 届高三数学辅导精讲精练 66 1.抛物线 y=2x2 的准线方程为 1 A.y=-8 1 C.y=-2 答案 解析 A 1 1 由 y=2x2,得 x2=2y,故抛物线 y=2x2 的...

2014届高三数学辅导精讲精练61

2014 届高三数学辅导精讲精练 61 1.直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没有公共点的充要条件是 A.k∈(- 2, 2) B.k∈(- 3, 3) C.k∈(-∞,- 2)...

2014届高三数学辅导精讲精练6

2014 届高三数学辅导精讲精练 6 1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是 A.y=1-x2 C.y=--x 答案 D B.y=x2+x D.y= x x-1 ( ) 2.若...

2014届高三数学辅导精讲精练56

2014 届高三数学辅导精讲精练 56 1. 如右图所示, 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 是底面 ABCD O 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么...

2014届高三数学辅导精讲精练测试6

2014 届高三数学辅导精讲精练测试 6 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1.若{an}为等差数列,且 a7...

2014届高三数学辅导精讲精练86

2014 届高三数学辅导精讲精练 86 1.某单位有职工 160 人,其中业务人员 120 ...本科生与研究生这三类学生中 分别抽取 A.65 人,150 人,65 人 C.93 人,...

2014届高三数学辅导精讲精练54

2014 届高三数学辅导精讲精练 54 1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则 A.l∥α C.l?α 答案 解析 B ∵...

2014届高三数学辅导精讲精练26

2014 届高三数学辅导精讲精练 26 ππ 1.函数 y=cos(x+6),x∈[0,2]的值域是 3 1 A.(- 2 ,2] 1 3 C.[2, 2 ] 答案 解析 B πππ 2 1 ...

2014届高三数学辅导精讲精练59

2014 届高三数学辅导精讲精练 59 1.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程是( A.3x-4y+4=0 B.3x-4y+4=0 或 3x-4y-2=0 C.3x...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com