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空间角与距离的计算(4)


2008年湖北黄冈中学 年湖北黄冈中学

空间角 与距离的计算 与证明

第一课时: 第一课时:

空间角

第一课时: 第一课时:

空间角

[课前导引] 课前导引]

第一课时: 第一课时:

空间角

>
[课前导引] 课前导引]
1. 四面体 四面体ABCD中,AB、CD所 中 、 所 成的角为60° 分别为BC、 成的角为 °,E、F、G分别为 、 、 、 分别为 AC、AD中点,若AB=CD=2,则EG= 中点, 、 中点 , ______.

第一课时: 第一课时:

空间角

[课前导引] 课前导引]
1. 四面体 四面体ABCD中,AB、CD所 中 、 所 成的角为60° 分别为BC、 成的角为 °,E、F、G分别为 、 、 、 分别为 AC、AD中点,若AB=CD=2,则EG= 中点, 、 中点 , ______. [解析] △EFG中,∠EFG=60° 解析] 中 ° 或120°,则EG=2或 2 3. ° 或

2. 两异面直线 b所成角为 °, 两异面直线a, 所成角为 所成角为60° 过空间一点P作与 、 都成 都成25° 过空间一点 作与a、b都成 °(或 作与 30°或40°或60°或80°或90°)的 ° ° ° ° ° 直线,分别可作 直线,分别可作_______________条. 条

2. 两异面直线 b所成角为 °, 两异面直线a, 所成角为 所成角为60° 过空间一点P作与 、 都成 都成25° 过空间一点 作与a、b都成 °(或 作与 30°或40°或60°或80°或90°)的 ° ° ° ° ° 直线,分别可作 直线,分别可作_______________条. 条 答案: 、 、 、 、 、 答案:0、1、2、3、4、1.

[考点搜索] 考点搜索]

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1. 掌握空间两异面直线所成的角、 掌握空间两异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、二面角等概念; 直线与平面所成的角、二面角等概念; 2. 能熟练地在图形中找出相关的角 并证明; 并证明; 3. 能用向量方法和非向量方法进行 计算; 计算;

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全国卷) [例1](2004全国卷)已知球 的半 1]( 全国卷 已知球O的半 径为1, 、 、 三点都在球面上 三点都在球面上, 径为 ,A、B、C三点都在球面上,且 每两点间的球面距离均为 O到平面 到平面ABC的距离为 ( 到平面 的距离为

π

2 )

,则球心

1 A. 3

3 B. 3

2 C. 3

6 D. 3

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全国卷) [例1](2004全国卷)已知球 的半 1]( 全国卷 已知球O的半 径为1, 、 、 三点都在球面上 三点都在球面上, 径为 ,A、B、C三点都在球面上,且
2 O到平面 到平面ABC的距离为 ( B ) 到平面 的距离为

每两点间的球面距离均为

π

,则球心

1 A. 3

3 B. 3

2 C. 3

6 D. 3

年天津卷) [例1](2007年天津卷)在棱长为 的 1]( 年天津卷 在棱长为2的 正方体中 ABCD A B1C1D 中,O是底 是底 1 1 的中心, 、 分别是 面ABCD的中心,E、F分别是 CC1、AD 的中心 的中点. 那么异面直线OE和 的中点 那么异面直线 和 FD 所成的 1 ) 角的余弦值等于 ( D1 C

1

10 A. 5 4 C. 5

15 B. 5 2 D. 3

A1

B1

E

D F A O B

C

年天津卷) [例1](2007年天津卷)在棱长为 的 1]( 年天津卷 在棱长为2的 正方体中 ABCD A B1C1D 中,O是底 是底 1 1 的中心, 、 分别是 面ABCD的中心,E、F分别是 CC1、AD 的中心 的中点. 那么异面直线OE和 的中点 那么异面直线 和 FD 所成的 1 ) 角的余弦值等于 ( D1 C

1

10 15 A. B. 5 5 4 2 C. D. 5 3 解析] [解析] 利用空 间向量求解较简便. 间向量求解较简便

A1

B1

E

D F A O B

C

年天津卷) [例1](2007年天津卷)在棱长为 的 1]( 年天津卷 在棱长为2的 正方体中 ABCD A B1C1D 中,O是底 是底 1 1 的中心, 、 分别是 面ABCD的中心,E、F分别是 CC1、AD 的中心 的中点. 那么异面直线OE和 的中点 那么异面直线 和 FD 所成的 1 角的余弦值等于 ( B ) D1 C1 10 15 B1 A. B. A1 E 5 5 4 2 C. D. D C 5 3 F O 解析] [解析] 利用空 A B 间向量求解较简便. 间向量求解较简便

湖南卷) [例2] (2006湖南卷)已知 湖南卷 已知ABCD 是上、下底边长分别为 和 , 是上、下底边长分别为2和6,高为 3 的等腰梯形,将它沿对称轴OO 的等腰梯形,将它沿对称轴 1折成直 二面角, 二面角,

(Ⅰ) 证明:AC⊥BO1; Ⅰ 证明: ⊥ (Ⅱ) 求二面角O-AC-O1的大小. Ⅱ 求二面角 - - 的大小

[法一] (1) 证明:由题设知: OA ⊥ OO , 法一] 1 OB ⊥ OO ,∴∠AOB是所折成的直二面 1 , 角的平面角即OA ⊥ OB. O , 故可以 为原点 OA、OB、OO 所 1 x 在直线分别为 轴、 y轴、 轴建立空间 z , 直角坐标系如图:

: 则相关各点的坐标是 A(3,0,0)、

B(0,3,0), C(0,1, 3), O1(0,0, 3)
从而AC = (3,1, 3) BO1 = (0,3, 3) AC BO1 = 3 + 3 3 = 0, AC 所以 ⊥ BO1 .

(II )∵BO OC = 3 + 3 3 = 0 1 ( ∴BO1 ⊥ OC. 由 I )AC ⊥ BO1 , OAC, BO1是平面 OAC ∴BO1 ⊥ 平面 . 的一个法向量 设 n = ( x, y, z)是平面 O1 AC的一个法向量 n AC = 0 由 n OC1 = 0

3x + y + 3z = 0 , y = 0 取z = 3得: n = (1,0, 3)
设二面角 AC O

θ O1的大小为 ,
n BO 由 、 1的方向 可知:θ =< n, BO > 1

∴cosθ = cos < n, BO > 1 3 = = 4 n BO 1 即二面角 AC O O1的大小是 3 arccos . 4 n BO1

[法二] (I) 证明:由题设知: O ⊥ OO , 法二] 1
OB ⊥ OO , 所以 AOB是所折成的 ∠ 1 ,即 直二面角的平面角 OA ⊥ OB. 从而 ⊥ 平面 AO OBCO , OC是AC在面 1 OBCO内的射影 . 1 OB ∵tan ∠OO B = = 3 1 OO 1

3 O1C tan ∠O1OC = = 3 OO 1 ∴∠OO B = 60°, 1
∠O1OC = 30°, OC ⊥ BO1 , 从而 : 由三垂线定理得 AC ⊥ BO1 .

(II)由 I)AC ⊥ BO1 , OC ⊥ BO1 ( AOC.设OC ∩O1B = E, 知: BO1 ⊥ 平面 E 过点 作EF ⊥ AC于 F, 连结 1F(如图 O ), 则EF是O1F在平 , 面AOC内的射影 : 由三垂线定理得 O1F ⊥ AC.

所以 O1FE是二面角 AC O1 O ∠ . 的平面角 : 由题设知 OA = 3, OO = 3, O1C = 1 1

∴O1 A = OA2 + OO2 = 2 3 1

AC = O1 A + O1C = 13
2 2

O1 A O1C 2 3 O 从而 1F = = AC 13 又O1E = OO sin30° 1 3 ,∴sin∠O1FE = 2 O1E 13 . = = O1F 4

3 O . 即二面角 AC O1的大小是arcsin 4

全国卷一) [例3](2005全国卷一)已知四棱锥 3]( 全国卷一 P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC, 的底面为直角梯形, ∥ , 的底面为直角梯形 底面ABCD,且PA , ∠DAB = 90°, PA ⊥底面 1 =AD=DC= AB=1,M是PB的中点 的中点. , 是 的中点 2 (Ⅰ) 证明: Ⅰ 证明: 面PAD⊥面PCD; ⊥ ; (Ⅱ) 求AC与 Ⅱ 与 PB所成的角; 所成的角; 所成的角

(Ⅲ) 求面 Ⅲ 求面AMC与面 与面BMC所成二面 与面 所成二面 角的大小. 角的大小

(Ⅲ) 求面 Ⅲ 求面AMC与面 与面BMC所成二面 与面 所成二面 角的大小. 角的大小

: 由三垂线定理得 [法一] (I) 证明: ∵ 法一] CD ⊥ PD. 因而, CD与面 PAD内 两条相交直线 AD、PD都垂直 , ∴CD ⊥ 面PAD. 又CD 面PCD,∴面PAD ⊥ 面PCD.

(II) 过点 作BE // CA, 且BE = CA, B , AE 则∠PBE是AC与PB所成的角连结 , 可知: AC = CB = BE = AE = 2, , ACBE为正方形 又AB = 2, 所以四边形 由PA ⊥ 面ABCD得: ∠PEB = 90°, 在RtPEB中: BE = 2, PB = 5

BE 10 , ∴cos ∠PBE = = PB 5 10 . arccos ∴AC与PB所成的角为 5

BE 10 , ∴cos ∠PBE = = PB 5 10 . arccos ∴AC与PB所成的角为 5
(III) 作AN ⊥ CM, N 垂足为 , ∠ANB为所 . 求二面角的平面角 AM 在等腰三角形 C中:

AC AN M = CM C AC , 2
2

2

3 × 2 ∴AN = 2 5 2 6 = . 5 ∴AB = 2,

AN + BN AB ∴cos ∠ANB = 2× AN × BN 2 = 3 故所求的二面角
2 2

2

2 为arccos( ). 3

[法二] 如图建立空间直角坐标系 法二] 如图建立空间直角坐标系,

(I) 证明:因 = (0,0,1), DC = 证明: AP (0,1,0), 所以 ⊥ DC, 且AP与AD AP 是平面 PAD内的两条相交直线 , 由此得: DC 由此得: ⊥ 面PAD. PCD上, 又DC在面 PAD ⊥ 面PCD. 故面

(II) AC = (1,1,0), PB = (0,2,1), 故AC = 2, PB = 5, AC PB = 2, ∴cos < AC, PB >= 10 . = 5 | AC | | PB | AC PB

(III) 在MC上取一点 上取一点N(x,y,z), 则 上取一点 , , 存在λ∈R使 NC = λ M , 使 C

NC = (1 x,1 y,z),

1 M = (1,0, ), C 2 ∴x = 1 λ, y = 1, 1 z = λ. 2

AN ⊥ M , 只需AN M = 0 C C 1 4 即x z = 0, 解得 = . λ 2 5 4 λ 可知当 = 时, 5 1 2 N点坐标为 ,1, ), ( 5 5 C 能使AN M = 0.

1 2 1 2 , 此时 AN = ( ,1, ), BN = ( ,1, ), 5 5 5 5 有BN M = 0 C
由AN M = 0, C BN M = 0得: C AN ⊥ M , C BN ⊥ M . C 所以 ANB为所求二面角的平面角 ∠ .

30 30 | ,| BN |= , ∵ AN |= 5 5 4 AN BN = . 5 ∴cos(AN, BN) = 2 = . 3 | AN | | BN | 2 arccos( ). 故所求的二面角为 3 AN BN

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1. 两条异面直线所成的角: 两条异面直线所成的角: ①平移其中一条直线或者两条直线, 平移其中一条直线或者两条直线, 找出两异面直线所成的角,然后解三角形; 找出两异面直线所成的角,然后解三角形; 如果求出的是钝角,则取其补角; 如果求出的是钝角,则取其补角; ②先求两条异面直线的方向向量所成 的角,但如果求出的是钝角,要注意转化 的角,但如果求出的是钝角, 成相应的锐角. 或者说, 成相应的锐角 或者说,若cosα=x,则这 , 两条异面直线所成的角为α =arccos|x|.

2. 直线和平面所成的角: 直线和平面所成的角: ①“一找二证三求”,三步都必须 一找二证三求” 要清楚地写出来. 要清楚地写出来 ②向量法,先求直线的方向向量与 向量法, 平面的法向量所成的角α 平面的法向量所成的角α ,而所要求的

π π 角为 α α或 .
2 2

3. 平面与平面所成的角 平面与平面所成的角: ①“一找二证三求”. 一找:找出这 一找二证三求” 一找: 个二面角的平面角;二证: 个二面角的平面角;二证:证明所找角 即为二面角的平面角;三求:解三角形 即为二面角的平面角;三求: 求角. 求角 射影面积法: ② 射影面积法: cosα = 要注意所求角为α 或 π α ;

S射影 S原

.

向量法: ③ 向量法 先求两个平面的法向量 所成的角为α ,那么这两个平面所成的 二面角的平面角为α或πα . 或者先求出 二面角的平面角的两边的方向向量所成 的角α ,而二面角的大小为α 或π α .

注意: 在求角时, 注意:(1) 在求角时,若比较容易建 立坐标系,找出各点的坐标, 立坐标系,找出各点的坐标,则用向量 方法比较好;否则, 方法比较好;否则,用非向量方法比较 简便. 简便 (2) 用非向量方法求角时,要做到 用非向量方法求角时, 一找二证三求” “一找二证三求”,在解题过程中一定 要出现形如“ 就是所要求的角” 要出现形如“∠α 就是所要求的角”的 句子. 句子

[长郡演练] 长郡演练]

B组 组

[长郡演练] 长郡演练]
, 1 三角形 ∠A AB = 45°, ∠A AC = 60°, 1 B 1 求二面角 A A . C的大小

B组 组

5.三棱柱 ABC A B1C1中 底面是正 , 1

AB [解析] 在射线 、AC、AA 上分别 解析] 1 i、k, BE 截取单位向量 j、 并作 ⊥ A A于 1 E, CF ⊥ A A于F. 设底面边长为 . 2 1 则EB = 2k + 2i, FC = k + 2 j, 则EB = 2 + 4 4 2k i 2 = 64 2 × = 2 2

FC = 1+ 4 4k j = 5 2 = 3 EB FC = 2 + 4i j 2i k 2 2k j = 2 + 2 2 2 = 2 2, 2 2 6 3 所以cos EB, FC = = 3 2× 3 所以二面角 A A C的大小为 B 1 6 3 arccos . 3

第二课时: 第二课时:

空间距离

第二课时: 第二课时:

空间距离

[课前导引] 课前导引]

第二课时: 第二课时:

空间距离

[课前导引] 课前导引]
1. Rt△ABC两直角边 两直角边BC=3,AC=4, △ 两直角边 , , 9 PC⊥面ABC,且PC= ,则点 到斜边 则点P到斜边 ⊥ , 5 AB的距离为 的距离为______. 的距离为

第二课时: 第二课时:

空间距离

[课前导引] 课前导引]
1. Rt△ABC两直角边 两直角边BC=3,AC=4, △ 两直角边 , , 9 PC⊥面ABC,且PC= ,则点 到斜边 则点P到斜边 ⊥ , 5 AB的距离为 的距离为______. 的距离为 [简评] 先利用三垂线定理找出点 到 简评] 先利用三垂线定理找出点P到 AB的垂线段 的垂线段. 的垂线段

第二课时: 第二课时:

空间距离

[课前导引] 课前导引]
1. Rt△ABC两直角边 两直角边BC=3,AC=4, △ 两直角边 , , 9 PC⊥面ABC,且PC= ,则点 到斜边 则点P到斜边 ⊥ , 5 AB的距离为 3 的距离为______. 的距离为 [简评] 先利用三垂线定理找出点 到 简评] 先利用三垂线定理找出点P到 AB的垂线段 的垂线段. 的垂线段

2. 正四面体 正四面体ABCD棱长为 ,动点 棱长为a, 棱长为 P、Q分别在线段 、CD上,则|PQ|的 、 分别在线段 分别在线段AB、 上 的 最小值是_______. 最小值是

2. 正四面体 正四面体ABCD棱长为 ,动点 棱长为a, 棱长为 P、Q分别在线段 、CD上,则|PQ|的 、 分别在线段 分别在线段AB、 上 的 最小值是_______. 最小值是 [简评] 线段 、CD的中点连线即 简评] 线段AB、 的中点连线即 为其公垂线段, 为其公垂线段,而|PQ|的最小值就是异 的最小值就是异 面直线AB、 的距离 的距离. 面直线 、CD的距离

2. 正四面体 正四面体ABCD棱长为 ,动点 棱长为a, 棱长为 P、Q分别在线段 、CD上,则|PQ|的 、 分别在线段 分别在线段AB、 上 的

2 a 最小值是_______. 最小值是 2
[简评] 线段 、CD的中点连线即 简评] 线段AB、 的中点连线即 为其公垂线段, 为其公垂线段,而|PQ|的最小值就是异 的最小值就是异 面直线AB、 的距离 的距离. 面直线 、CD的距离

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年全国卷) [例1](2004年全国卷)已知球 1]( 年全国卷 已知球O 的半径为1, 、 、 三点都在球面上 三点都在球面上, 的半径为 ,A、B、C三点都在球面上 且每两点间的球面距离均为 到平面ABC的距离为 的距离为( 心O到平面 到平面 的距离为
1 A. 3 3 B. 3 2 C. 3

π
2 )

,则球

6 D. 3

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年全国卷) [例1](2004年全国卷)已知球 1]( 年全国卷 已知球O 的半径为1, 、 、 三点都在球面上 三点都在球面上, 的半径为 ,A、B、C三点都在球面上 且每两点间的球面距离均为

π

2 到平面ABC的距离为 B ) 的距离为( 心O到平面 到平面 的距离为
1 A. 3 3 B. 3 2 C. 3

,则球

6 D. 3

全国卷二) [例2](2007全国卷二)不共面的 2]( 全国卷二 四个定点到平面的距离都相等, 四个定点到平面的距离都相等,这样的 平面共有 ( A. 3个 个 ) B. 4个 C. 6个 个 个 D. 7个 个

全国卷二) [例2](2005全国卷二)不共面的 2]( 全国卷二 四个定点到平面的距离都相等, 四个定点到平面的距离都相等,这样的 平面共有 ( D ) A. 3个 个 B. 4个 C. 6个 个 个 D. 7个 个

年江苏卷) [例2](2006年江苏卷) 在棱长为 2]( 年江苏卷 在棱长为4 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方 的正方体 是正方 A1B1C1D1的中心,点P在棱 1上,且 的中心, 在棱CC 在棱 CC1=4CP. (I) 求直线 与 求直线AP与 平面BCC1B1所成的 平面 角的大小(结果用反 角的大小 结果用反 三角函数值表示); 三角函数值表示 ; (II) 设O点在平面D1AP上的射影是 上的射影是H, 上的射影是 求证: 求证:D1H⊥AP; ⊥ ; (III) 求点 到平面 求点P到平面 到平面ABD1的距离 的距离.

BP BCC1B1 , [解析] (1)连结 ,∵AB ⊥ 平面 解析] BCC1B1所成角就是 APB, ∴AP与平面 ∠ ∵CC1 = 4CP, CC1 = 4,∴CP = 1, 在Rt AP PBC中 ∠ABP为直角tan ∠APB = , , BP 4 17 4 17 ,∴∠APB = arctan ,即直线 = 17 17 4 17 AP与平面 BCC1B1所成角为 arctan . 17

(2) 连结 1C1B1D1 ,四边形 1B1C1D1 A A , 是正方形∴D1O ⊥ A C1 , 又AA ⊥ 平面 1 1 A B1C1D1 ,∴AA ⊥ D1O,∵AA ∩ A C1 = 1 1 1 1 A ,∴D1O ⊥ 平面 1 APC1 ,由于 平 A AP 1 面A APC1 ,∴D1O ⊥ AP, 又平面 1 AP的 D 1 D D 斜线 1O在这个平面内的射影是 1H, ∴D1H ⊥ AP.

(3) 连结 1 , 在平面 BC BCC1B1中 过点 , P Q BCC1B1 , PQ 作PQ ⊥ BC1于点 , AB ⊥ 平面 BCC1B1 ,∴PQ ⊥ AB,∴PQ ⊥ 平面 平面 ABC1D1 , PQ就是点 到平面 P ABD的距离 , 1 在RtC1PQ中 ∠C1QP = 90°, ∠PC1Q = 45°, , 3 2,即点 到平面 PC1 = 3,∴PQ = P ABD的 1 2 3 距离为 2. 2

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1. (高中数学教材第二册下 第51页) 高中数学教材第二册下B第 页 高中数学教材第二册下 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为 , 的棱长为1, 已知正方体 的棱长为 求直线DA'与AC的距离 与 的距离 的距离. 求直线

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1. (高中数学教材第二册下 第51页) 高中数学教材第二册下B第 页 高中数学教材第二册下 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为 , 的棱长为1, 已知正方体 的棱长为 求直线DA'与AC的距离 与 的距离 的距离. 求直线 分析:如果能找到 分析:如果能找到DA'与AC的公垂 与 的公垂 线段,则用非向量方法也可, 线段,则用非向量方法也可,只需解直 角三角形. 下面提供向量的两种解法. 角三角形 下面提供向量的两种解法

的公垂线段, [法一] 设PQ为AC与DA'的公垂线段 法一] 为 与 的公垂线段 D C 且AP=x,A'Q=y,则 , ,
PQ = (PA+ AA + A Q)
/ / 2

A
2

P

Q D'

B C' B'

= x + 1 + y xy 2 y
2 2

A' y 2 3 2 = ( x ) + y 2 y +1 2 4 y 2 3 2 2 2 1 ) + = (x ) + ( y 2 4 3 3

2 2 1 3 , x = 时,| PQ |min = , ∴当y = 3 3 3 DA 即直线 '与AC 3 的距离为 . 3
A' D A P Q D' B' B C' C

[法二] 如图建立直 法二] 角坐标系. 角坐标系 设PQ为AC 为 的公垂线段, 与DA'的公垂线段,点 的公垂线段 P和Q坐标分别为,则 和 坐标分别为 坐标分别为,
2 2 1

D z A P Q D'(O) B

C

C' y B'

PQ = 2x 2( x2 +1)x1 + 2x +1 x2 + 1 2 3 12 1 ) + ( x2 ) + = 2( x1 2 2 3 3 1 2 3 x . 所以当 2 = , x1 = 时, PQ = min 3 3 3
2 2

A' x

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重点是点到平面的距离, 重点是点到平面的距离,直线到 平面的距离和两个平面的距离可以转 化成点到平面的距离, 化成点到平面的距离,一个点到平面 的距离也可以转化成另外一个点到这 个平面的距离. 个平面的距离 1. 两点的距离: 两点的距离: (1) 通常构造直角三角形解决; 通常构造直角三角形解决;

(2)向量法: 若知道AM, M , NB N 的模 AB , 和每两个向量所成的角 则可利用
2 2

N . = ( AM + M + NB) 求A、B两点的距离
(3)二面角两个面内两点的 距离公式: α θ 若二面角 l β大小为 , A∈α, B∈ β , A、B在棱 上的射影分别为 、D, 且AC l C = a, BD = b, CD = m, 则AB = a + b
2 2 2

2abcosθ + m .而异面直线上两点的距 离 . 公式则由此变形而来
2

2. 两条异面直线的距离 两条异面直线的距离: (1) 如果已经找到或者容易找到两 条异面直线的公垂线, 条异面直线的公垂线,则转化成求公 垂线段的长度; 垂线段的长度;
| n| (其中 、B分别为两条异面直线上的 其中A、 分别为两条异面直线上的 其中

(2) 向量法:利用公式 d = 向量法:

| ABn |

一点, 为这两条异面直线的法向量) 一点,n为这两条异面直线的法向量)

3. 点到平面的距离 点到平面的距离: (1)“一找二证三求”. 一找:找到经 “一找二证三求” 一找: 过这个点与平面垂直的线段;二证: 过这个点与平面垂直的线段;二证:证明 这条线段与平面垂直;三求: 这条线段与平面垂直;三求:一般通过解 直角三角形求出点到平面的距离. 直角三角形求出点到平面的距离 (2)等体积法 等体积法. 等体积法
| n| (其中 为已知点,B为这个平面内的任意 其中A为已知点 其中 为已知点, 为这个平面内的任意

(3) 向量法:利用公式 d = 向量法:

| ABn |

一点, 一点, n为这个平面的法向量 )

在求距离时, [注意] (1) 在求距离时,若比较容易 注意] 建立坐标系,找出各点的坐标, 建立坐标系,找出各点的坐标,或者比 较容易将其他向量用三个不共面向量来 表示,则用向量方法比较好;否则, 表示,则用向量方法比较好;否则,用 非向量方法比较简便. 非向量方法比较简便 (2) 用非向量方法求距离时,要做到 用非向量方法求距离时, 一找二证三求” “一找二证三求”,在解题过程中一定 要出现形如“线段OA的长度即为点 的长度即为点O到 要出现形如“线段 的长度即为点 到 平面的距离”的句子. 平面的距离”的句子

[长郡演练] 长郡演练]

B组 组

[长郡演练] 长郡演练]

B组 组

1. 在四棱锥 在四棱锥P-ABCD中,底面 中 底面ABCD 是矩形, ⊥底面ABCD,PA=AB=1, 是矩形,PA⊥底面 , , BC=2. 求证: 求证: (1) 平面 平面PDC⊥平面 ⊥平面PAD; ; (2) 若E是PD的中点,求异面直线AE 是 的中点,求异面直线 的中点 所成角的余弦; 与PC所成角的余弦; 所成角的余弦 (3) 在BC边上是否存在一点 ,使得 边上是否存在一点G, 边上是否存在一点 D点到平面 点到平面PAG的距离为 ,如果存在, 的距离为1,如果存在, 点到平面 的距离为 求出BG的值 如果不存在,说明理由. 的值, 求出 的值,如果不存在,说明理由

[解析] (1) 证CD⊥平面 解析] ⊥平面PAD; ; (2) 取CD中点 ,用余弦定理求得 中点F, 中点
30 , 则异面直线 与PC 则异面直线AE与 cos ∠AEF = 10 所成角的余弦为 30 . 10 (3) 若存在,设BG=x,利用 P-AGD 若存在, ,利用V

=VD-PAG,求得 x = 3 . 所以当 BG = 3 点到平面PAG的距离为 的距离为1. 时,D点到平面 点到平面 的距离为


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