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数学数列解题技巧


高考数列题速解技巧

数列是历年高考的重点,在试题中的比重约占总分的 8%-10%,现就近几年高考数列题的速解技巧归纳如下,供同 学们参考: 一、紧扣定义 例1 (95 年·全国·文)设{a }是由正数组成的等

比数列,S 是其前 n 项和,证明: S . 证明 由等比数列的定义有

>log

=

=?=

=

=q(公比)

由等比定理有

=

=> =>S =>S

= =S S >S S +a (S . -S )



>log

S

.

说明 从定义入手,简洁自然,避免了对公比 q 的分类 讨论,证法别具一格.

二、巧用性质 例 2 (89 年·广东)设{a }是公差为-2 的等差数列, 如果 a +a +a +?+a =50,那么,a +a +a +?+a = A.-182 C.-148 解 B.-78 D.-82

由等差数列的性质:a -a =(n-m)d 有

a -a =a -a =?=a -a =2d, ∴a +a +a +?+a =(a +a +a +?+a )+66d=-82. 选 D. 例 3 (93 年·全国) 在各项均为正数的等比数列{a } 中,若 a a =9,则 log a +log a +?+log a = A.12 C.8 解 由等比数列的性质 B.10 D.2+log 5

m+n=p+q<=>a ·a =a ·a , 有 a a =a a =?=a a =9, ∴log a +log a +?+log a =log 9 =10. 选 B. 三、逆用公式 例4 等差数列{a }, {b }的前 n 项和分别为 S 与 T ,



=

,则

(

)等于

A.1

B.

C.

D.



=

=

=

=

=



∴ 选 C.

(

)=

= .

说明 本题通过逆用等差数列求和公式, 快速沟通了结 论与题设之间的关系,达到了快速求解的目的. 四、巧取特例 例 5 (全国·理)已知{a}是公差不为零的等差数列,

如果 S是{a}的前 n 项和,那么 解

(

)=______.

构造一个符合题设条件的特殊数列 a=n,则 S

=

,从而

(

)=

=2.

说明 巧取特例是“小题巧做”的一种极为有效的途 径,运用得当,往往运算简捷,判断迅速. 五、整体构想 例 6 (90 年·广东)已知等比数列的公比是 2,且前 四项之和为 1,那么前八项之和为 A.15 B.17

C.19 解

D.21 将前 4 项之和 a+a+a +a 看作一个整体, 则 a+a+a

+a ,a +a +a +a ,?是以 a+a+a +a =1 为首项,2 为公 比的等比数列, ∴a+a+a +a +a +a +a +a =1+1×2 =17. 选 B. 说明 从整体着眼,巧妙的绕过了许多计算环节,简捷 明快,事半功倍. 六、数形结合 例7 设等差数列{a}的前 n 项和为 S,已知 a =12,

S >0,S <0,指出 S,S,?,S 中哪一个值最大,并说 明理由. 解 ∵a =S -S <0,10d=a -a <0.

∴d<0,{a}是递减等差数列. ∵S= + 是 n 的二次函数,开口向下.

设顶点横坐标为 n ,则抛物线与 n 轴正半轴的交点为 (2n , 0).由题意可知 12<2n <13 则 6<n <6.5, 最接近顶点 的自然数为 6.∴S 最大.

说明 简解.

本题通过数形结合,化抽象为具体,实现了繁题

七、以题攻题 例8 (90 年·上海)设 2 =3,2 =6,2 =12,则数

列 a,b,c A.是等差数列,但不是等比数列 B.是等比数列,但不是等差数列 C.既是等比数列,又是等差数列 D.既不是等差数列,又不是等比数列 解 {a}成等差数列的充要条件是:{C }成等比数列

(c>0,c≠1).利用这一结论. ∵3,6,12 成等比数列, ∴a,b,c 成等差数列,又显然不是等比数列.



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