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高二数学1-2章节训练题(2)


高二数学 1-2 章节训练题(2)
[课时达标检测] 一、选择题 1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 041,?,则 72 013 的末两位数字为( A.01 C.07
1 2 3 4

)

B.43 D.49

解析:选 C 因为 7 =7,7 =49,7 =343,7 =2 4

01,75=16 807,76=117 649,?, 所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期 T=4. 又 2 013=4×503+1, 所以 72 013 的末两位数字与 71 的末两位数字相同,为 07. 2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an} 的类似结论为( ) B.a1+a2+?+a9=29 D.a1+a2+?+a9=2×9

A.a1a2a3?a9=29 C.a1a2?a9=2×9 解析:选 D
9

等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有 a1+a2+?+a9

=2+2+?+ 2 =2×9. 个 3.定义 A*B,B*C,C*D,D*B 依次对应下列 4 个图形:

那么下列 4 个图形中,

可以表示 A*D,A*C 的分别是( A.(1),(2) C.(2),(4)

) B.(1),(3) D.(1),(4)

解析:选 C 解析:由①②③④可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母 A 代表竖 线,字母 B 代表大矩形,字母 C 代表横线,字母 D 代表小矩形,∴A*D 是(2),A*C 是(4). 4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图(1)中的 1,3,6,10, ?, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数; 类似地,称图(2)中的 1,4,9,16,?这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形 数的是( A.289 C.1 225 ) B.1 024 D.1 378

解析:选 C 记三角形数构成的数列为{an},则 a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3, a4=10=1+2+3+4,可得通项公式为 an=1+2+3+?+n= 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为 bn=n2. 将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得 n 都为正整数的只有 1 225. 5.将正整数排成下表: 1 2 5 10 ?? 则在表中数字 2 013 出现在( A.第 44 行第 78 列 C.第 44 行第 77 列 ) B.第 45 行第 78 列 D.第 45 行第 77 列 3 6 11 4 7 12 8 13 9 14 15 16 n?n+1? . 2

解析:选 D 第 n 行有 2n-1 个数字,前 n 行的数字个数为 1+3+5+?+(2n-1)= n2.∵442=1 936,452=2 025,且 1 936<2 013<2 025,∴2 013 在第 45 行. 又 2 025-2 013=12, 且第 45 行有 2×45-1=89 个数字, 013 在第 89-12=77 列. ∴2 二、填空题 6.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= x (x>0),观察: x+2

x , x+2 x , 3x+4

f2(x)=f(f1(x))=

f3(x)=f(f2(x))= f4(x)=f(f3(x))= ?

x , 7x+8 x , 15x+16

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析:由已知可归纳如下: f1(x)= f3(x)= x x ,f (x)= 2 , ?21-1?x+21 2 ?2 -1?x+22 x x , 3,f4(x)= 4 ?2 -1?x+2 ?2 -1?x+24
3

?,fn(x)= 答案:

x . ?2n-1?x+2n

x ?2 -1?x+2n
n

7.在平面直角坐标系 xOy 中,二元一次方程 Ax+By=0(A,B 不同时为 0)表示过原点 的直线.类似地:在空间直角坐标系 O - xyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示____________________. 解析:由方程的特点可知: 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点” 类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系 O - xyz 中,三元一次方程 Ax+By +Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示过原点的平面. 答案:过原点的平面 8.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝,第二件 首饰由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图①所示的六边形,第三件首饰由 15 颗珠宝构 成如图②所示的六边形,第四件首饰由 28 颗珠宝构成如图③所示的六边形,第五件首饰由 45 颗珠宝构成如图④所示的六边形,以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数 量的珠宝,使其构成更大的六边形,依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝,第 n 件 首饰上应有________颗珠宝(结果用 n 表示).

解析:设第 n 件首饰上所用珠宝数为 an 颗,据题意可知,a1=1,a2=6,a3=15,a4 =28,a5=45,即 a2-a1=5,a3-a2=9,a4-a3=13,a5-a4=17,所以 a6-a5=21,即 a6 =66,同理 an-an-1=4n-3(n≥2,n∈N*),所以 an=1+5+9+?+4n-3=2n2-n. 答案:66 2n2-n

三、解答题 9.如图所示,在△ABC 中,a=b· C+c· B,其中 a,b,c 分别为角 cos cos A,B,C 的对边,写出对空间四面体性质的猜想. 解:如图所示,在四面体 PABC 中,S1,S2,S3,S 分别表示△PAB, △PBC,△PCA,△ABC 的面积, α,β,γ 依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的 大小. 猜想 S=S1· α+S2· β+S3· γ. cos cos cos 10.如图所示为 m 行 m+1 列的士兵方阵(m∈N*,m≥2).

(1)写出一个数列,用它表示当 m 分别是 2,3,4,5,?时,方阵中士兵的人数; (2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式; (3)求 a10,并说明 a10 表示的实际意义; (4)已知 an=9 900,问 an 是数列第几项? 解:(1)当 m=2 时,表示一个 2 行 3 列的士兵方阵,共有 6 人,依次可以得到当 m= 3,4,5,?时的士兵人数分别为 12,20,30,?.故所求数列为 6,12,20,30,?. (2)因为 a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,?,所以猜想 an=(n+1)(n+2),n∈N*. (3)a10=11×12=132.a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132. (4)令(n+1)(n+2)=9 900,所以 n=98,即 an 是数列的第 98 项,此时方阵为 99 行 100 列. [课时达标检测] 一、选择题 1.给出下面一段演绎推理: 有理数是真分数,????大前提 整数是有理数,????小前提 整数是真分数.??????结论 结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 ) B.小前提错误 D.非以上错误

解析:选 A 推理形式没有错误,小前提也没有错误,大前提错误.举反例,如 2 是 有理数,但不是真分数. 2.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理方法属于( )

A.演绎推理 C.合情推理

B.类比推理 D.归纳推理

解析:选 A 是由一般到特殊的推理,故是演绎推理. 3.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠ A+∠B=180° B.某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由此得高三所有班人数超过 50 人 C.由三角形的性质,推测四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+a ?(n≥2),由此归纳出 an 的通项公式 2? n-1? 解析:选 A B 项是归纳推理,C 项是类比推理,D 项是归纳推理. 4.“所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P),某奇数(S)是 9 的倍数(M),故该奇数(S)是 3 的倍数(P).”上述推理是( A.小前提错误 C.正确的 答案:C 5.有一段演绎推理是这样的:直线平行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知 直线 b?平面 α,直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a.结论显然是错误的,这 是因为( ) B.小前提错误 D.非以上错误 ) B.结论错误 D.大前提错误

A.大前提错误 C.推理形式错误 解析:选 A

大前提是错误的,直线平行于平面,则不一定平行于平面内所有直线,

还有异面直线的情况. 二、填空题 6.已知结论“函数 y=2x+5 的图像是一条直线”,若将其恢复成完整的三段论后, 大前提是________. 解析:大前提:一次函数的图像是一条直线 小前提:函数 y=2x+5 是一次函数 结论:函数 y=2x+5 的图像是一条直线 答案:一次函数的图像是一条直线 7.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三角形”.若 将其恢复成完整的三段论,则大前提是____________________. 解析:大前提:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形;

小前提:△ABC 的三边长依次为 3,4,5 满足 32+42=52; 结论:△ABC 是直角三角形. 答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形 8.若不等式 ax2+2ax+2<0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围为________. 解析:①a=0 时,有 2<0,显然此不等式解集为?.
? ? ? ?a>0, ?a>0, ?a>0, ②a≠0 时需有? ?? 2 ?? ?Δ≤0, ?4a -8a≤0, ?0≤a≤2, ? ? ?

所以 0<a≤2. 综上可知实数 a 的取值范围是[0,2]. 答案:[0,2] 三、解答题 9.如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE∥FA,求证: ED=AF.

证明:同位角相等,两条直线平行,大前提 ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,小前提 所以 DF∥EA.结论 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提 DE∥FA,且 DF∥EA,小前提 所以四边形 AFDE 为平行四边形.结论 平行四边形的对边相等,大前提 ED 和 AF 为平行四边形的一组对边,小前提 所以 ED=AF.结论 10.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) =-2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:因为 x,y∈R 时,f(x+y)=f(x)+f(y), 所以令 x=y=0 得,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以 f(0)=0. 令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, 所以 f(-x)=-f(x),

所以 f(x)为奇函数. (2)设 x1,x2∈R 且 x1<x2, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), 因为 x>0 时,f(x)<0,所以 f(x2-x1)<0, 即 f(x2)-f(x1)<0, 所以 f(x)为减函数, 所以 f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3). 因为 f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6, 所以函数 f(x)在[-3,3]上的最大值为 6,最小值为-6. [课时达标检测] 一、选择题 1.在证明命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的过程:“cos4 θ-sin4 θ=(cos2 θ+sin2 θ)(cos2 θ-sin2 θ)=cos2 θ-sin2 θ=cos 2θ”中应用了( A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 解析:选 B 符合综合法的证明思路. 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)” 的是( ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) )

1 A.f(x)=x C.f(x)=ex

1 解析:选 A 本题就是找哪一个函数在(0,+∞)上是减函数,A 项中,f′(x)=?x?′ ? ? 1 1 =- 2<0,∴f(x)=x在(0,+∞)上为减函数. x 1 1 3.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则a+b的最小值为( A.8 C.1 解析:选 B 0,所以 ab≤ B.4 1 D. 4 3是 3a 与 3b 的等比中项?3a·b=3?3a b=3?a+b=1,因为 a>0,b> 3


)

a+b 1 1 1 1 a+b 1 1 = ?ab≤ ,所以a+b= ab =ab≥ =4. 2 2 4 1 4

4.已知 f(x)=ax

+1,

0<a<1,若 x1,x2∈R,且 x1≠x2,则(

)

f?x1?+f?x2? ?x1+x2? A. ≤f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? B. =f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? C. ≥f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? D. >f 2 ? 2 ? 解析: D 因为 x1≠x2, 选 所以 +1 f?x1?+f?x2? ?x1+x2? x1+x2? =f? ,所以 >f 2 ? 2 ? ? 2 ?. 5.A,B 为△ABC 的内角,A>B 是 sin A>sin B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 若 A>B,则 a>b, 又 a b = ,∴sin A>sin B; sin A sin B ) f?x1?+f?x2? ax1+1+ax2+1 = > 2 2 x1+x2 ax1+1· 2+1=a ax 2

若 sin A>sin B,则由正弦定理得 a>b, ∴A>B. 二、填空题 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x- xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是 增函数”应用了________的证明方法. 解析:该证明过程符合综合法的特点. 答案:综合法 7.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是________. 解析:a a+b b>a b+b a ?a a-a b>b a-b b ?a( a- b)>b( a- b) ?(a-b)( a- b)>0 ?( a+ b)( a- b)2>0, 故只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b

1 π 3π 8.已知 sin θ+cos θ= 且 ≤θ≤ ,则 cos 2θ=________. 5 2 4 1 1 24 π 3π 解析:因为 sin θ+cos θ= ,所以 1+sin 2θ= ,所以 sin 2θ=- .因为 ≤θ≤ , 5 25 25 2 4 3π 所以 π≤2θ≤ . 2 所以 cos 2θ=- 1-sin22θ=- 7 答案:- 25 三、解答题 1 1 9.设 x>0,y>0,证明不等式(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 证明: 法一: (分析法)证明原不等式成立, 即证(x2+y2)3>(x3+y3)2, 即证 x6+y6+3x2y2(x2 2 +y2)>x6+y6+2x3y3, 即证 3x2y2(x2+y2)>2x3y3, 因为 x>0,y>0, 所以只需证 x2+y2> xy. 3 2 1 1 又因为 x>0,y>0,所以 x2+y2≥2xy> xy.所以(x2+y2) >(x3+y3) . 3 2 3 法二:(综合法)因为 x>0,y>0,所以(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3 1 1 >x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2,所以(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 10.设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 (2)当 1<x<3 时,f(x)< 9?x-1? . x+5 7 . 25

3 1 1 3 证明:(1)记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1),则当 x>1 时,g′(x)=x+ - <0. 2 2 x 2 3 又 g(1)=0,故 g(x)<0,即 f(x)< (x-1). 2 (2)记 h(x)=f(x)- 9?x-1? , x+5

2+ x x+5 ?x+5?3-