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高二数学1-2章节训练题(2)


高二数学 1-2 章节训练题(2)
[课时达标检测] 一、选择题 1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 041,?,则 72 013 的末两位数字为( A.01 C.07
1 2 3 4

)

B.43 D.49

解析:选 C 因为 7 =7,7 =49,7 =343,7 =2 4

01,75=16 807,76=117 649,?, 所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期 T=4. 又 2 013=4×503+1, 所以 72 013 的末两位数字与 71 的末两位数字相同,为 07. 2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an} 的类似结论为( ) B.a1+a2+?+a9=29 D.a1+a2+?+a9=2×9

A.a1a2a3?a9=29 C.a1a2?a9=2×9 解析:选 D
9

等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有 a1+a2+?+a9

=2+2+?+ 2 =2×9. 个 3.定义 A*B,B*C,C*D,D*B 依次对应下列 4 个图形:

那么下列 4 个图形中,

可以表示 A*D,A*C 的分别是( A.(1),(2) C.(2),(4)

) B.(1),(3) D.(1),(4)

解析:选 C 解析:由①②③④可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母 A 代表竖 线,字母 B 代表大矩形,字母 C 代表横线,字母 D 代表小矩形,∴A*D 是(2),A*C 是(4). 4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图(1)中的 1,3,6,10, ?, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数; 类似地,称图(2)中的 1,4,9,16,?这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形 数的是( A.289 C.1 225 ) B.1 024 D.1 378

解析:选 C 记三角形数构成的数列为{an},则 a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3, a4=10=1+2+3+4,可得通项公式为 an=1+2+3+?+n= 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为 bn=n2. 将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得 n 都为正整数的只有 1 225. 5.将正整数排成下表: 1 2 5 10 ?? 则在表中数字 2 013 出现在( A.第 44 行第 78 列 C.第 44 行第 77 列 ) B.第 45 行第 78 列 D.第 45 行第 77 列 3 6 11 4 7 12 8 13 9 14 15 16 n?n+1? . 2

解析:选 D 第 n 行有 2n-1 个数字,前 n 行的数字个数为 1+3+5+?+(2n-1)= n2.∵442=1 936,452=2 025,且 1 936<2 013<2 025,∴2 013 在第 45 行. 又 2 025-2 013=12, 且第 45 行有 2×45-1=89 个数字, 013 在第 89-12=77 列. ∴2 二、填空题 6.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= x (x>0),观察: x+2

x , x+2 x , 3x+4

f2(x)=f(f1(x))=

f3(x)=f(f2(x))= f4(x)=f(f3(x))= ?

x , 7x+8 x , 15x+16

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析:由已知可归纳如下: f1(x)= f3(x)= x x ,f (x)= 2 , ?21-1?x+21 2 ?2 -1?x+22 x x , 3,f4(x)= 4 ?2 -1?x+2 ?2 -1?x+24
3

?,fn(x)= 答案:

x . ?2n-1?x+2n

x ?2 -1?x+2n
n

7.在平面直角坐标系 xOy 中,二元一次方程 Ax+By=0(A,B 不同时为 0)表示过原点 的直线.类似地:在空间直角坐标系 O - xyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示____________________. 解析:由方程的特点可知: 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点” 类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系 O - xyz 中,三元一次方程 Ax+By +Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示过原点的平面. 答案:过原点的平面 8.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝,第二件 首饰由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图①所示的六边形,第三件首饰由 15 颗珠宝构 成如图②所示的六边形,第四件首饰由 28 颗珠宝构成如图③所示的六边形,第五件首饰由 45 颗珠宝构成如图④所示的六边形,以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数 量的珠宝,使其构成更大的六边形,依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝,第 n 件 首饰上应有________颗珠宝(结果用 n 表示).

解析:设第 n 件首饰上所用珠宝数为 an 颗,据题意可知,a1=1,a2=6,a3=15,a4 =28,a5=45,即 a2-a1=5,a3-a2=9,a4-a3=13,a5-a4=17,所以 a6-a5=21,即 a6 =66,同理 an-an-1=4n-3(n≥2,n∈N*),所以 an=1+5+9+?+4n-3=2n2-n. 答案:66 2n2-n

三、解答题 9.如图所示,在△ABC 中,a=b· C+c· B,其中 a,b,c 分别为角 cos cos A,B,C 的对边,写出对空间四面体性质的猜想. 解:如图所示,在四面体 PABC 中,S1,S2,S3,S 分别表示△PAB, △PBC,△PCA,△ABC 的面积, α,β,γ 依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的 大小. 猜想 S=S1· α+S2· β+S3· γ. cos cos cos 10.如图所示为 m 行 m+1 列的士兵方阵(m∈N*,m≥2).

(1)写出一个数列,用它表示当 m 分别是 2,3,4,5,?时,方阵中士兵的人数; (2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式; (3)求 a10,并说明 a10 表示的实际意义; (4)已知 an=9 900,问 an 是数列第几项? 解:(1)当 m=2 时,表示一个 2 行 3 列的士兵方阵,共有 6 人,依次可以得到当 m= 3,4,5,?时的士兵人数分别为 12,20,30,?.故所求数列为 6,12,20,30,?. (2)因为 a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,?,所以猜想 an=(n+1)(n+2),n∈N*. (3)a10=11×12=132.a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132. (4)令(n+1)(n+2)=9 900,所以 n=98,即 an 是数列的第 98 项,此时方阵为 99 行 100 列. [课时达标检测] 一、选择题 1.给出下面一段演绎推理: 有理数是真分数,????大前提 整数是有理数,????小前提 整数是真分数.??????结论 结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 ) B.小前提错误 D.非以上错误

解析:选 A 推理形式没有错误,小前提也没有错误,大前提错误.举反例,如 2 是 有理数,但不是真分数. 2.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理方法属于( )

A.演绎推理 C.合情推理

B.类比推理 D.归纳推理

解析:选 A 是由一般到特殊的推理,故是演绎推理. 3.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠ A+∠B=180° B.某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由此得高三所有班人数超过 50 人 C.由三角形的性质,推测四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+a ?(n≥2),由此归纳出 an 的通项公式 2? n-1? 解析:选 A B 项是归纳推理,C 项是类比推理,D 项是归纳推理. 4.“所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P),某奇数(S)是 9 的倍数(M),故该奇数(S)是 3 的倍数(P).”上述推理是( A.小前提错误 C.正确的 答案:C 5.有一段演绎推理是这样的:直线平行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知 直线 b?平面 α,直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a.结论显然是错误的,这 是因为( ) B.小前提错误 D.非以上错误 ) B.结论错误 D.大前提错误

A.大前提错误 C.推理形式错误 解析:选 A

大前提是错误的,直线平行于平面,则不一定平行于平面内所有直线,

还有异面直线的情况. 二、填空题 6.已知结论“函数 y=2x+5 的图像是一条直线”,若将其恢复成完整的三段论后, 大前提是________. 解析:大前提:一次函数的图像是一条直线 小前提:函数 y=2x+5 是一次函数 结论:函数 y=2x+5 的图像是一条直线 答案:一次函数的图像是一条直线 7.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三角形”.若 将其恢复成完整的三段论,则大前提是____________________. 解析:大前提:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形;

小前提:△ABC 的三边长依次为 3,4,5 满足 32+42=52; 结论:△ABC 是直角三角形. 答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形 8.若不等式 ax2+2ax+2<0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围为________. 解析:①a=0 时,有 2<0,显然此不等式解集为?.
? ? ? ?a>0, ?a>0, ?a>0, ②a≠0 时需有? ?? 2 ?? ?Δ≤0, ?4a -8a≤0, ?0≤a≤2, ? ? ?

所以 0<a≤2. 综上可知实数 a 的取值范围是[0,2]. 答案:[0,2] 三、解答题 9.如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE∥FA,求证: ED=AF.

证明:同位角相等,两条直线平行,大前提 ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,小前提 所以 DF∥EA.结论 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提 DE∥FA,且 DF∥EA,小前提 所以四边形 AFDE 为平行四边形.结论 平行四边形的对边相等,大前提 ED 和 AF 为平行四边形的一组对边,小前提 所以 ED=AF.结论 10.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) =-2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:因为 x,y∈R 时,f(x+y)=f(x)+f(y), 所以令 x=y=0 得,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以 f(0)=0. 令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, 所以 f(-x)=-f(x),

所以 f(x)为奇函数. (2)设 x1,x2∈R 且 x1<x2, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), 因为 x>0 时,f(x)<0,所以 f(x2-x1)<0, 即 f(x2)-f(x1)<0, 所以 f(x)为减函数, 所以 f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3). 因为 f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6, 所以函数 f(x)在[-3,3]上的最大值为 6,最小值为-6. [课时达标检测] 一、选择题 1.在证明命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的过程:“cos4 θ-sin4 θ=(cos2 θ+sin2 θ)(cos2 θ-sin2 θ)=cos2 θ-sin2 θ=cos 2θ”中应用了( A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 解析:选 B 符合综合法的证明思路. 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)” 的是( ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) )

1 A.f(x)=x C.f(x)=ex

1 解析:选 A 本题就是找哪一个函数在(0,+∞)上是减函数,A 项中,f′(x)=?x?′ ? ? 1 1 =- 2<0,∴f(x)=x在(0,+∞)上为减函数. x 1 1 3.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则a+b的最小值为( A.8 C.1 解析:选 B 0,所以 ab≤ B.4 1 D. 4 3是 3a 与 3b 的等比中项?3a·b=3?3a b=3?a+b=1,因为 a>0,b> 3


)

a+b 1 1 1 1 a+b 1 1 = ?ab≤ ,所以a+b= ab =ab≥ =4. 2 2 4 1 4

4.已知 f(x)=ax

+1,

0<a<1,若 x1,x2∈R,且 x1≠x2,则(

)

f?x1?+f?x2? ?x1+x2? A. ≤f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? B. =f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? C. ≥f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? D. >f 2 ? 2 ? 解析: D 因为 x1≠x2, 选 所以 +1 f?x1?+f?x2? ?x1+x2? x1+x2? =f? ,所以 >f 2 ? 2 ? ? 2 ?. 5.A,B 为△ABC 的内角,A>B 是 sin A>sin B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 若 A>B,则 a>b, 又 a b = ,∴sin A>sin B; sin A sin B ) f?x1?+f?x2? ax1+1+ax2+1 = > 2 2 x1+x2 ax1+1· 2+1=a ax 2

若 sin A>sin B,则由正弦定理得 a>b, ∴A>B. 二、填空题 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x- xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是 增函数”应用了________的证明方法. 解析:该证明过程符合综合法的特点. 答案:综合法 7.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是________. 解析:a a+b b>a b+b a ?a a-a b>b a-b b ?a( a- b)>b( a- b) ?(a-b)( a- b)>0 ?( a+ b)( a- b)2>0, 故只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b

1 π 3π 8.已知 sin θ+cos θ= 且 ≤θ≤ ,则 cos 2θ=________. 5 2 4 1 1 24 π 3π 解析:因为 sin θ+cos θ= ,所以 1+sin 2θ= ,所以 sin 2θ=- .因为 ≤θ≤ , 5 25 25 2 4 3π 所以 π≤2θ≤ . 2 所以 cos 2θ=- 1-sin22θ=- 7 答案:- 25 三、解答题 1 1 9.设 x>0,y>0,证明不等式(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 证明: 法一: (分析法)证明原不等式成立, 即证(x2+y2)3>(x3+y3)2, 即证 x6+y6+3x2y2(x2 2 +y2)>x6+y6+2x3y3, 即证 3x2y2(x2+y2)>2x3y3, 因为 x>0,y>0, 所以只需证 x2+y2> xy. 3 2 1 1 又因为 x>0,y>0,所以 x2+y2≥2xy> xy.所以(x2+y2) >(x3+y3) . 3 2 3 法二:(综合法)因为 x>0,y>0,所以(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3 1 1 >x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2,所以(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 10.设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 (2)当 1<x<3 时,f(x)< 9?x-1? . x+5 7 . 25

3 1 1 3 证明:(1)记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1),则当 x>1 时,g′(x)=x+ - <0. 2 2 x 2 3 又 g(1)=0,故 g(x)<0,即 f(x)< (x-1). 2 (2)记 h(x)=f(x)- 9?x-1? , x+5

2+ x x+5 ?x+5?3-216x 1 1 54 54 54 则 h′(x)= + - - - . 2= 2< 2= x 2 x ?x+5? 2x 4x ?x+5? ?x+5? 4x?x+5?2 令 p(x)=(x+5)3-216x,则当 1<x<3 时,p′(x)=3(x+5)2-216<0,因此 p(x)在(1,3) 内单调递减,又 p(1)=0,则 p(x)<0,故 h′(x)<0. 因此 h(x)在(1,3)内单调递减,又 h(1)=0, 则 h(x)<0,故当 1<x<3 时,f(x)< 9?x-1? . x+5

[课时达标检测]

一、选择题 1.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60° ”时,假设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至少有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° 解析:选 B “至少有一个”即“全部中最少有一个”. 2.用反证法证明:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( A.a,b,c 都是偶数 B.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析:选 D 自然数 a,b,c 的奇偶性共有四种情形:3 个都是奇数,1 个偶数 2 个奇 数,2 个偶数 1 个奇数,3 个都是偶数,所以否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正 确的反设为“a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数.” 3 3 3.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的内容应是( 3 3 A. a= b成立 3 3 3 3 C. a= b或 a< b成立 3 3 B. a< b成立 3 3 3 3 D. a= b且 a< b成立 ) )

解析:选 C “大于”的否定为“小于或等于”. 4.(1)已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2, (2)已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1.用反证 法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是 ( ) A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确;(2)的假设错误 D.(1)的假设错误;(2)的假设正确 解析:选 D (1)的假设应为 p+q>2;(2)的假设正确.

5.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为 an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数),且 a> b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.无穷多个

解析:选 A 假设存在序号和数值均相等的项,即存在 n 使得 an=bn,由题意 a>b,n ∈N*,则恒有 an>bn,从而 an+2>bn+1 恒成立,∴不存在 n 使 an=bn. 二、填空题 6.△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP< ∠CAP,用反证法证明时的假设为________. 解析:反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP 7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90° +90° +∠C>180° ,这与三角形内角和为 180° 矛盾,故假设错 误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A=90° ,∠B=90° .上述步骤的正确顺序为 ________. 解析:由反证法证明数学命题的步骤可知,上述步骤的顺序应为③①②. 答案:③①② 8.完成反证法证题的全过程. 题目:设 a1,a2,?,a7 是由数字 1,2,?,7 任意排成的一个数列,求证:乘积 p=(a1 -1)(a2-2)?(a7-7)为偶数. 证明:假设 p 为奇数,则________均为奇数.① 因 7 个奇数之和为奇数,故有 (a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7)为______.② 而(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) =(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)=______.③ ②与③矛盾,故 p 为偶数. 解析:由假设 p 为奇数可知(a1-1),(a2-2),?,(a7-7)均为奇数, 故(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) =(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)=0 为奇数, 这与 0 为偶数矛盾. 答案:①a1-1,a2-2,?,a7-7 ②奇数 ③0 三、解答题 9.设 a,b 是异面直线,在 a 上任取两点 A1,A2,在 b 上任取两点 B1,B2,试证:A1B1 与 A2B2 也是异面直线. 证明:假设 A1B1 与 A2B2 不是异面直线,则 A1B1 与 A2B2 可以确定一个平面 α,点 A1,

A2,B1,B2 都在平面 α 内,于是 A1A2?α,B1B2?α,即 a?α,b?α,这与已知 a,b 是异 面直线矛盾,所以假设错误.因此 A1B1 与 A2B2 也是异面直线. x-2 10.已知 f(x)=ax+ (a>1),证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1 证明:假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, x0-2 则 x0<0 且 x0≠-1 且 ax0=- , x0+1 由 0<ax0<1?0<- x0-2 <1, x0+1

1 解得 <x0<2,这与 x0<0 矛盾,所以假设不成立, 2 故方程 f(x)=0 没有负数根.

阶段质量检测
(时间 90 分钟

推理与证明
满分 120 分)

综合迁移—反馈所学—评估知能—查漏补缺 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) -2 2 6 5 3 7 1 10 1. 观察下列各等式: + =2, + =2, + =2, + 2-4 6-4 5-4 3-4 7-4 1-4 10-4 -2-4 =2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( 8-n n A. + =2 n-4 ?8-n?-4 n+1 ?n+1?+5 B. + =2 ?n+1?-4 ?n+1?-4 n+4 n C. + =2 n-4 ?n+4?-4 n+1 n+5 D. + =2 ?n+1?-4 ?n+5?-4 解析:选 A 观察分子中 2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8. 2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ①y=cos x(x∈R)是三角函数; ②三角函数是周期函数; ③y=cos x(x∈R)是周期函数. A.①②③ C.②③① B.②①③ D.③②① ) )

解析:选 B 按三段论的模式,排列顺序正确的是②①③. 3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四

个面________.”(

) B.各正三角形的某高线上的点 D.各正三角形外的某点

A.各正三角形内一点 C.各正三角形的中心 解析:选 C 的中心.

正三角形的边对应正四面体的面,边的中点对应正四面体的面正三角形

a 1 4 27 4.已知 a∈(0,+∞),不等式 x+x≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+xn≥n x x +1,则 a 的值为( A.2n C.22(n
-1)

) B.n2 D.nn

解析:选 D 将四个答案分别用 n=1,2,3 检验即可,故选 D. 5.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足[f(x)]y=f(xy)”的 是( ) A.指数函数 C.一次函数 B.对数函数 D.余弦函数

解析:选 A 当函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)时,对任意的 x>0,y>0,有[f(x)]y=(ax)y=axy =f(xy),即指数函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)满足[f(x)]y=f(xy),可以检验,B,C,D 选项均不 满足要求. 6.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( A.6n-2 C.6n+2 解析:选 C B.8n-2 D.8n+2

)

归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”

多了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首 项为 8,公差是 6 的等差数列,通项公式为 an=6n+2. 7.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,易得下列结论:( ①a· b=b· a; ②(a· c=a· c); b)· (b· ③a· (b+c)=a· b+a· c; ④由 a· b=a· ≠0)可得 b=c. c(a 则正确的结论有( ) )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

解析:选 B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故①③正 确,②错误;由 a· b=a· ≠0)得 a· c(a (b-c)=0,从而 b-c=0 或 a⊥(b-c),故④错误. 8.观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数 解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x|+|y|=20 的不同 整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 ) B.80 D.92

解析:选 B 通过观察可以发现|x|+|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整数解的个 数为 4,8,12,可推出当|x|+|y|=n 时,对应的不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|= 20 的不同整数解(x,y)的个数为 80. 9.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=( A.28 C.123 ) B.76 D.199

解析: C 记 an+bn=f(n), f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4; 选 则 f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4) +f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+ f(9)=123. 所以 a10+b10=123. 1 1 10.数列{an}满足 a1= ,an+1=1-a ,则 a2 013 等于( 2 n 1 A. 2 C.2 1 1 解析:选 C ∵a1= ,an+1=1- , an 2 1 ∴a2=1- =-1, a1 1 a3=1- =2, a2 1 1 a4=1- = , a3 2 1 a5=1- =-1, a4 B.-1 D.3 )

1 a6=1- =2, a5 ∴an+3k=an(n∈N*,k∈N*) ∴a2 013=a3+3×670=a3=2. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知圆的方程是 x2+y2=r2,则经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2. x2 y2 类比上述性质,可以得到椭圆 2+ 2=1 类似的性质为________________. a b 解析:圆的性质中,经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 x2 y2 x2 y 分别用 M(x0, 0)的横坐标与纵坐标替换. y 故可得椭圆 2+ 2=1 类似的性质为: 过椭圆 2+ a b a y2 x0x y0y =1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 2 + 2 =1. b2 a b x2 y2 x0x y0y 答案:经过椭圆 2+ 2=1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 2 + 2 =1 a b a b 12.已知 =6 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4+ 4 =4 15 4 ,?,若 15 a 6+ b

a b(a,b 均为实数),请推测 a=________,b=________. 解析:由前面三个等式,推测归纳被平方数的整数与分数的关系,发现规律,由三个

等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减 1,由此推测 a=6,b=62-1=35,即 a=6,b=35. 答案:6 35

a 6+ 中: b

1 13.若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1,x2,?,xn,总满足n[f(x1) x1+x2+?+xn? +f(x2)+…+f(xn)]≤f? n ? ?,称函数 f(x)为 D 上的凸函数;现已知 f(x)=sin x 在 (0,π)上是凸函数,则△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 解析:因为 f(x)=sin x 在(0,π)上是凸函数(小前提), A+B+C 1 所以 (sin A+sin B+sin C)≤sin (结论), 3 3 π 3 3 即 sin A+sin B+sin C≤3sin = . 3 2 3 3 因此,sin A+sin B+sin C 的最大值是 . 2 答案: 3 3 2

14.观察下图:

1 2 3 4 6 7 7 8 9 10

3 4 5 4 5 6 ??

则第________行的各数之和等于 2 0132. 解析:观察知,图中的第 n 行各数构成一个首项为 n,公差为 1,共 2n-1 项的等差数 列,其各项和为 ?2n-1??2n-2? Sn=(2n-1)n+ =(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2, 2 令(2n-1)2=2 0132,得 2n-1=2 013,解得 n=1 007. 答案:1 007 三、 解答题(本大题共 4 小题, 50 分. 共 解答时应写出文字说明, 证明过程或运算步骤. ) 3 15.(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分)观察①sin210° +cos240° +sin 10°cos 40° ; · = 4 3 ②sin26° +cos236° +sin 6° 36° . cos = 4 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想. 3 解:猜想:sin2α+cos2(30° +α)+sin αcos(30° +α)= . 4 证明如下:sin2α+cos2(30° +α)+sin αcos(30° +α) = 1-cos 2α 1+cos?60° +2α? 1 + + [sin(30° +2α)+sin(-30° )] 2 2 2

cos?60° +2α?-cos 2α 1 1 =1+ + sin(2α+30° )- 2 2 4 3 1 1 = + [cos 60°cos 2α-sin 60° 2α-cos 2α]+ sin(2α+30° · sin ) 4 2 2 3 1 ?1 3 ? 1 = - · cos 2α+ sin 2α + sin(2α+30° ) 4 2 ?2 2 ? 2 3 1 1 3 = - sin(2α+30° sin(2α+30° , )+ )= 4 2 2 4 3 即 sin2α+cos2(30° +α)+sin α· cos(30° +α)= . 4 16.(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且其 1 1 1 中任意两边长均不相等,若a,b,c 成等差数列. (1)比较 b a与 c b的大小,并证明你的结论;

(2)求证:角 B 不可能是钝角.

解:(1) 要证

b a< b < a

c b.证明如下: c b c ,只需证 < . b a b

∵a,b,c>0,∴只需证 b2<ac. 1 1 1 ∵a,b,c 成等差数列, 2 1 1 ∴b=a+c ≥2 1 2 ac,∴b ≤ac.

又 a,b,c 均不相等,∴b2<ac. 故所得大小关系正确. (2)证明:法一:假设角 B 是钝角,则 cos B<0. 由余弦定理得, cos B= a2+c2-b2 2ac-b2 ac-b2 ≥ > >0, 2ac 2ac 2ac

这与 cos B<0 矛盾,故假设不成立. 所以角 B 不可能是钝角. 1 1 1 法二:假设角 B 是钝角,则角 B 的对边 b 为最大边,即 b>a,b>c,所以a>b>0,c 1 1 1 1 1 2 1 1 2 >b>0,则a+c >b+b=b,这与a+c =b矛盾,故假设不成立. 所以角 B 不可能是钝角. 17.(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分)我们已经学过了等比数列,你有没有想到是 否也有等积数列呢? (1)类比“等比数列”,请你给出“等积数列”的定义. (2)若{an}是等积数列, 且首项 a1=2, 公积为 6, 试写出{an}的通项公式及前 n 项和公式. 解:(1)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个 数列叫做等积数列,其中,这个常数叫做公积. (2)由于{an}是等积数列,且首项 a1=2,公积为 6,所以 a2=3,a3=2,a4=3,a5=2, a6=3,?,即{an}的所有奇数项都等于 2,偶数项都等于 3,因此{an}的通项公式为
? ?2,n为奇数, an=? ?3,n为偶数. ?

其前 n 项和公式

? 2 ,n为偶数, S =? 5?n-1? 5n-1 ? 2 +2= 2 ,n为奇数.
5n
n

18. (本小题满分 14 分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下 数表: a1 a2 a4 a7 a3 a5 a6 a8 a9 ? 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且满足 2bn 2 =1(n≥2). bnSn-Sn
?
n?

a10

?1? (1)证明数列?S ?成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

(2)上面数表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且 公比为同一个正数.当 a81=- 4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项的和. 91 2bn 2 =1, bnSn-Sn

解:(1)由已知,当 n≥2 时, 又 Sn=b1+b2+?+bn, 所以 即 2?Sn-Sn-1? =1, ?Sn-Sn-1?Sn-S2 n

2?Sn-Sn-1? =1, -Sn-1Sn

1 1 1 所以 - = , S n S n- 1 2 又 S1=b1=a1=1.
?1? 1 所以数列?S ?是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? n?

n+1 1 1 由上可知S =1+ (n-1)= , 2 2 n 即 Sn= 2 . n+1 2 2 2 -n=- . n+1 n?n+1?

所以当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1= n=1, ?1, ? 因此 bn=? 2 ?-n?n+1?,n≥2. ?

(2)设数表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 因为 1+2+?+12= 12×13 =78, 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列, 因此 a81=b13·2=- q 又 b13=- 2 , 13×14 4 . 91

所以 q=2. 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, bk?1-qk? ?1-2k? 2 则 S= =- · 1-q k?k+1? 1-2 = 2 (1-2k)(k≥3). k?k+1?


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