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2014-2015学年高中数学 综合学习与测试(一)北师大版选修2-1


综合学习与测试(一)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可 在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列语句中是命题的是( ) (A)语文和数学 (B)sin45°=1 2 (C)x +2x-1 (D)集合与

元素 2.下列语句中的简单命题是( ) (A) 3 不是有理数 (B) ? ABC 是等腰直角三角形

(C)3X+2<0 (D)负数的平方是正数 3.已知下列三个命题 2 ① 方程 x -x+2=0 的判别式小于或等于零;②矩形的对角线互相垂直且平分;③2 是质数,其 中真命题是( ) (A)①和② (B)①和③ (C)②和③ (D)只有① 4.命题:“方程 X -2=0 的解是 X= ?
2

2 ”中使用逻辑联系词的情况是(



(A)没有使用逻辑联结词 (C)使用了逻辑联结词“或” 5.语句 x ? 3 或 x ? 5 的否定是( (A) x ? 3或 x ? 5 (C) x ? 3且 x ? 5

(B)使用了逻辑联结词“且” (D)使用了逻辑联结词“非” )

(B) x ? 3或 x ? 5 (D) x ? 3且 x ? 5

6.使四边形为菱形的充分条件是( ) (A)对角线相等 (B)对角线互相垂直 (C)对角线互相平分 (D)对角线垂直平分 7.若 b>0,则 x ? b是x ? b的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 8.一个整数的末位数字是 2,是这个数能被 2 整除的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k, 则5a与3b 的数量积等于 A.-15 A (1,7,5) B.-5 B (1,-7,5) C.-3 ) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6) D.-1 ( )

10.与向量 a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(

第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
-1-

11.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是____________________________. 12.命题“a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 13.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n= 14.A:x1,x2 是方程 ax +bx+c=0(a ? 0)的两实数根;B:x1+x2=2

。 .

b , a

则A是B的 条件。 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 10 分 )将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出其逆命题、否命题、 逆否命题。 (1) 正数 a 的平方根不等于 0; (2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形。

16. (本小题满分 10 分 )求证:关于 x 的一元二次不等式 ax -ax+1>0 对于一切实数 x 都成立 的充要条件是 0<a<4

2

-2-

17.(本小题满分 10 分 )已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b , 求实数 x , y 的值
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

18.(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x -x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

2

2

2

-3-

19.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程(1-a)x +(a+2)x-4=0,a∈R,求: (1)方程有两个正根的充要条件; (2)方程至少有一正根的充要条件.

2

参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 1、B 2、D 3、B 4、C 5、D 6、D 7、B 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 11. 所有的三角形都有外接圆 12. a+b 不是偶数,则 a、b 不都是奇数 13. 0 14. 充分而不必要条件 8、A 9、A 10、C

15. (1)“若 a 是正数,则 a 的平方根不等于 0”逆命题是:“若 a 的平方根不等于 0,则 a 是正数”,否命题是“若 a 不是正数,则它的平方根等于 0,”逆否命题:“若 a 的平方根等 于 0,则 a 不是正数”。 (2)“若平行四边形的两条对角线不相等,则它不是矩形”,逆命题是:“若平行四边形不 是矩形,则它的两条对角线不相等”,否命题是“若平行四边形的两条对角线相等,则它是 矩形逆否命题是:“若平行四边形是矩形,则它的两条对角线相等。” 16.(1)必要性:若 ax -ax+1>0 对 x ? 恒成立,由二次函数性质有: ?
2

?a ? 0 ?? ? 0,

即?

?a ? 0
2 ?a ? 4a ? 0

∴0<a<4

-4-

(2) 充 分 性 : 若 0<a<4, 对 函 数 y=ax +ax+1, 其 中 ? ? a 2 ? 4a ? a(a ? 4) ? 0 且 a>0
2

∴ax -ax+1>0(X ? R)恒成立。 由(1) (2)命题得证。
2

17. 解:∵ a // b

?

?

∴ 3m ? 2n ? 4 p ? ?[( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp]

?

?

?

?

?

?

∴ ? ( x ? 1) ? 3,8? ? ?2, 2 y? ? ?4 ∴ x ? ?13, y ? 8 18.分析:将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出 a 所满足的不等式去求解. 2 2 解法一:设 A={x|x -4ax+3a <0,a<0}={x|3a<x<a,a<0}, B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0}={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件, ∴ ? q ? ? p,且 ? p ? q, 即{x| ? q} {x| ? p}. 而{x| ? q}=
R

B={x|-4≤x<-2},{x| ? p}=

R

A={x|x≤3a 或 x≥a,a<0},

∴{x|-4≤x<-2} {x|x≤3a 或 x≥a,a<0}.

?3a ? ?2, ?a ? ?4, 则? 或? ?a ? 0 ?a ? 0,
即-

2 ≤a<0 或 a≤-4. 3

解法二:本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化. 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,转化成它的逆否命题 q 是 p 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充 分不必要条件,也就是 p ? q 且 q p. 化简条件 p 得,A={x|3a<x<a,a<0},化简条件 q 得,B={x|x<-4 或 x≥-2}.

?a ? ?4, ?3a ? ?2, 由 A B,得 ? 或? ?a ? 0 ?a ? 0,
解得 a≤-4 或-

2 ≤a<0. 3

19.解:方程有两个实根的充要条件是

?1 ? a ? 0, ?a ? 1 即? ? 2 ?? ? 0, ?(a ? 2) ? 16(1 ? a) ? 0

?a ? 1, 即 a≥10 或 a≤2 且 a≠1. ?? ?a ? 2或a ? 10,
(1)设此方程的两个实数根为 x1、x2,则方程有两个正根

-5-

?a ? 1, ? ?a ? 1 ?a ? 2或a ? 10, ? ?a ? 2或a ? 10 ? ?? ? ? a ? 2 ? 0, ? x1 ? x 2 ? 0 ? a ?1 ? ? 4 x x ? 0 ? 1 2 ? 0. ? ?a ?1
解得 1<a≤2 或 a≥10. ∴1<a≤2 或 a≥10 是方程有两个正根的充要条件. (2)①由(1)可知,当 a≥10 或 1<a≤2 时,方程有两个正根; ②方程有一正根一负根的充要条件是

x1x2<0 ?

4 <0,即 a<1. a ?1 4 . 3

③当 a=1 时,方程可化为 3x-4=0,有一正根 x=
2

综上①②③,可知方程(1-a)x +(a+2)x-4=0 至少有一正根的充要条件是 a≤2 或 a≥10. (后注:期中测试的考察范围:第一章和第二章前三节。)

-6-


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