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江苏省海门中学高三数学周末测试 2012.03.11


高三数学试题 数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1.已知 A ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,若实数 a ? A ,则 a 的取值范围是 ▲ . 2.若复数 (1 ? 2i)(1 ? ai) 是纯虚数,则实数 a 的值是 ▲ . 3.如果数据 x1 , x2 ,

x3 ,.. xn 的平均数是 10,则数据 6 x1 ? 2 ,6 x2 ? 2 ,6 x3 ? 2 ,.,6 xn ? 2 . .. 的平均数为 ▲ . 4.盒中装有形状、大小完全相同的 3 个球,其中红色球 2 个,黄色球 1 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 ▲ . 开始 5.右图是某程序的流程图,则其输出结果为 ▲ . 6.已知 tan(? ? ? ) ?

?

?

S ?0
k ?1
k ?8
N Y

1 1 , tan ? ? ? ,则 tan? = ▲ . 2 3

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到一条渐近线的 a 2 b2 距离等于实轴长,那么该双曲线的离心率为 ▲ .

S?S?

1 k (k ? 1)
输出 S

8.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c 的值域是 [0, ??) ,则

k ? k ?1
结束

1 9 ? 的最小值是 ▲ . a c

(第 5 题)

9.已知圆锥的侧面展开图恰为一个半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积是 ▲ . 10. 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 , 若不等式 f (3 ? 2sin ? ) ? m 对任意 ? ? R 恒成立, 则实数 m 的 取值范围为 ▲ .

??? 1 ? ??? ? ???? 11. ?ABC 中,AB 边上的中线 CO ? 2 , 在 若动点 P 满足 AP ? sin 2 ? ? AB ? cos2 ? ? AC (? ? R) , 2 ??? ??? ??? ? ? ? 则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是 ▲ . 1 3 5 12.将所有的奇数排列如右表,其中第 i 行第 j 个数表示为 aij ,例如 7 9 11 a32 ? 9 .若 aij ? 445 ,则 i ? j ? ▲ . ??
13.若实数 a , b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点 N (3,3) ,则线段 MN 长度的最大值是 ▲ . (第 12 题)

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14.下图展示了一个由区间 (0, k ) ( k 为一正实数)到实数集 R 上的映射过程:区间 (0, k ) 中的实 数 m 对应线段 AB 上的点 M ,如图①;将线段 AB 围成一个离心率为

3 的椭圆,使两端 2

点 A 、 B 恰好重合于椭圆的一个短轴端点,如图②;再将这个椭圆放在平面直角坐标系中, 使其中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,已知此时点 A 的坐标为 (0,1) ,如图③,在图形变化 过程中,图①中线段 AM 的长度对应于图③中的椭圆弧 ADM 的长度.图③中直线 AM 与 直线 y ? ?2 交于点 N (n, ?2) ,则与实数 m 对应的就是实数 n ,记作 f (m) ? n . y A(B) A(B) D D B M A x M m M N(n,-2) 图① 图② 图③

k 现给出下列命题:① f ( ) ? 6 ;② f ( x) 是奇函数;③ f ( x) 在定义域上单调递增;④ f ( x) 的图 4 k 象关于点 ( , 0) 对称;⑤ f (m) ? 3 3 时 AM 过椭圆右焦点。则所有真命题的序号是 ▲ .(填 2 出所有真命题的序号)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a , b, c ,且 2a cos B ? c cos B ? b cos C . (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m ? (cos A,cos2 A) , n ? (12, ?5) ,求当 m ? n 取最大值时, tan C 的值.
2

??

?

?? ?

0

16. (本小题满分 14 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? 2AD , CD ? AD . (1)求证: B1C ? AC ; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 既与平面 BCB1 平行,又与平面 ACB1 平行?并证 明你的结论. A1 B
0 7 0 3 1 6

1

D1 A
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C1

B C

D

17. (本小题满分 14 分)南京市某商场对 A 品牌的商品进行了市场调查,预计 2012 年从 1 月 起 前 x 个 月 顾 客 对 A 品 牌 的 商 品 的 需 求 总 量 P(x) 件 与 月 份 x 的 近 似 关 系 是 :

1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x)( x ≤12 且 x ? N *). 2 (1)写出第 x 月的需求量 f (x) 的表达式; P( x) ?
? f ( x) ? 21x,1 ? x ? 7且x ? N *, (2)若第 x 月的销售量 g ( x) ? ? x 2 1 ? 2 ? x ( x ? 10x ? 96),7 ? x ? 12且x ? N * ?e 3

10e x (单位:件) ,每件利润 q(x) 元与月份 x 的近似关系为: q( x ) ? ,求该商场销售 x 该商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少? (e6 ? 403)

18. (本小题满分 16 分) 如图, 已知中心在原点 O 、焦点在 x 轴上的椭圆 C ? 过点 M (2,1) ,离心率为 顶点在原点,对称轴为 x 轴且过点 M . (1)当直线 l0 经过椭圆 C ? 的左焦点且平行于 OM 时,求直线 l0 的方程; (2)斜率为 ?

3 .抛物线 C 2

1 的直线 l 不过 M 点,与抛物线 C 交于 A 、 B 两个不同的点,求证:直线 4 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形. l y
0

l

M
O

A B

x

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19. (本小题满分 16 分) 1 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 2ln x ,其中常数 a ? 0 . 2 (1)求 f ( x) 的单调区间; (2) 如果函数 f ( x), H ( x), g ( x) 在公共定义域 D 上, 满足 f ( x) ? H ( x) ? g ( x) , 那么就称 H ( x ) 为 f ( x) 与 g ( x) 的“和谐函数” .设 g ( x) ? x2 ? 4 x , H ( x) ? f ( x) ? (2 ? 2ln 2)? ( ? 为常 5 数,且 0 ? ? ? 1) ,求证:当 2 ? a ? 时,在区间 (0, 2] 上, H ( x) 是函数 f ( x) 与 g ( x) 的 2 “和谐函数” .

20. (本小题满分 16 分) 已知无穷数列 {an } 的各项均为正整数, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 S n ? ? S n ?3 成立,求数列 {an } 的通项
3

公式; (2)对任意正整数 n ,从集合 {a1 , a2 ,?, an } 中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加 减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数, 且这些正整数与 a1 , a2 ,?, an 一起恰好 是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合. (i)求 a1 , a2 的值; (ii)求数列 {an } 的通项公式.

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