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数学人教A版必修1全套教案:1.3.1《函数的最大(小)值》


§1.3.1 函数的最大(小)值
一.教学目标 1.知识与技能: 理解函数的最大(小)值及其几何意义. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.过程与方法: 通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵 坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识. 3.情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大(

小)值,解决日常生活中的实际问题,激发学 生学习的积极性. 二.教学重点和难点 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 三.学法与教学用具 1.学法:学生通过画图、观察、思考、讨论,从而归纳出求函数的最大(小)值的方法 和步骤. 2.教学用具:多媒体手段 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题. 画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ① f ( x) ? ? x ? 3 ③ f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

② f ( x) ? ? x ? 3
2

x ?[?1, 2]

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 x ?[?2, 2]

(二)研探新知 1.函数最大(小)值定义 最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数 y ? f ( x) 的最小值的定义. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x ? I ,都有

f ( x) ? M ( f ( x)? m) .
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2.利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法. ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 (三)质疑答辩,排难解惑. 例 1. (教材 P36 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解(略) 例 2.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 解 :设 利润为 y 元 , 每个售 价为 x 元 ,则 每个 涨( x - 50) 元, 从而销 售量减 少

10( x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个)
∴ y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)2 ? 9000 (50 ? x <100)
∴ x ? 70时

ymax ? 9000
2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元. 例 3.求函数 y ? 解: (略) 例 4.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值. 解:令 t ? 1 ? x ? 0 有x ? ?t 2 ? 1则

1 5 y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ?t ? 0 2 4 1 2 ? ? t ? ) ?0 ( 2 1 5 5 ??(t ? ) 2 ? ? 2 4 4 5 ? 原函数的最大值为 . 4
(四)巩固深化,反馈矫正. (1)P38 练习 4 (2)求函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 1| 的最大值和最小值. (3)如图,把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x ,面积 为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得截面面积最 大?

25

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(五)归纳小结 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取 值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. (六)设置问题,留下悬念. 1.课本 P45(A 组) 6.7.8 2.求函数 y ? x ? 2x ?1 的最小值. 3.求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ? x ? 0 ② 0? x?3 ③ x ? (??, ??)

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