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2013—2014高三数学(文科)模拟试题


2013—2014 高三数学(文科)模拟试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.复数 ( A.2

1? i 2 ) = i

B.-2 C.-2 i D.2 i

2.若 a , b ∈R,则“ a b ≥2”是“ a 2 + b 2 ≥4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 A.

6 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

4.要得到函数 y ? 2 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 的图像,只需将函数 y ? 2 sin 2 x 的图像 A.向右平移 C.向右平移

?
?
12 6

个单位

B.向左平移

?
12

个单位 个单位

个单位

D.向左平移

?

6

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 5.若 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ?1 ? x ? y ?1 ? 0 ?
A.[1,

3 ] 2

B .[

1 ,1] 2

C.[1,2]

D.[

1 ,2] 2

6.一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内异于 O 的一个定点.M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD.若 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,准线为, 过抛物线 C 上一点 A 作准线的垂线, 垂足为
2

M,若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3:1,则点 A 的坐标为 A. (1, ? 2) B. (

8.已知平面向量 a,b(a≠b)满足| a |=1,且 a 与 b-a 的夹角为 150? ,若 c=(1-t)a+t b (t∈R) ,则|c|的最小值为

1 ,? 2

2)

C. (4, ? 1)

D. (2, ? 2 2 )

A.1

B.
2

1 4

C.

1 2

D.

3 2

9.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? c ,记 f 1 ( x) ? f ( x), f n ?1 ( x) ? f ( f n ( x)) ( n ∈N*) ,若函数

y ? f n ( x) ? x 不存在零点,则 c 的取值范围是
A. c <

1 4

B. c ≥

3 4

C. c >

9 4

D. c ≤

9 4

10.若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥,则△ABC A.一定是等边三角形 B.一定是锐角三角形 C.可以是直角三角形 D.可以是钝角三角形 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知 ? ∈( ?

?
2

,0) ,且 sin(? ?

?
4

)??

2 ,则 cos ? = 10

12.已知两个非零向量 e1、e2 不共线,若 ke1+e2 与 e1+ke2 也不共线,则实数 k 满足的条件是 13.如图是一个几何体的三视图,则该 几何体的表面积为 14.已知双曲线

5 6
正视图

5

5 6
侧视图

5

x y ? 2 ? 1 ( a >0, b >0) 2 a b
6

2

2

的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F2 作双曲线 一条渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2H 的中点 在双曲线上,则双曲线的离心率为 15.P 是△ABC 内一点,若△ABC 三条边上的

6
俯视图

高分别为 h A , hB , hC ,P 到这三条边的距离依次为 d a , d b , d c ,则有

da db dc ? ? =1;类 h A hB hC

比到空间,设 P 为四面体 ABCD 内一点,若四面体 ABCD 四个面上的高分别为

h A , hB , hC , hD ,P 到这四个面的距离依次为 d a , d b , d c , d d ,则有
16.已知数列 {a n } 、 {bn } 满足 a1 ?

b 1 , a n ? bn ? 1, bn ?1 ? n 2 ,则 b2013 = 2 1 ? an

17.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 f(

?
2

? x) ? f (

?
2

对于函数 y ? f ( x) , ? x) ,

给出以下几个结论: ① y ? f ( x) 是周期函数; ② x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称

轴;③ (?? ,0) 是 y ? f ( x) 图像的一个对称中心; ④当 x ?

?
2

时, y ? f ( x) 一定取得最

大值.其中正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都填上) 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,已知 4 cos C sin 2 (1)求角 C; (2)若 3ab ? 25 ? c 2 ,且 sin A ? ( 3 ? 1) sin B ,求边 a, b, c

C ? cos 2C ? 0 2

19.(本题满分 14 分) 在数列 {a n } 中, a1 ? a ,且 a n ?1 ? 2a n ? 2 n ?1 (1)若 a1 , a 2 , a3 成等差数列,则 {a n } 是否成等差数列?并说明理由; (2)若 a1 , a 2 , a3 成等比数列,则 {a n } 是否成等比数列?并说明理由.

20.(本题满分 15 分) 如图,平面 ABC⊥平面 DBC,已知 AB=AC,BC=6,∠BAC=∠DBC=90?, ∠BDC=60? (1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求二面角 A-CD-B 的平面角的余弦值; (3)记经过直线 AD 且与 BC 平行的平面为 C

A

B

D

? ,求点 B 到平面 ? 的距离

21.(本题满分 15 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 5 ,且椭圆 C 短轴端点到左焦点 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 5 a b

的距离为 5 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若点 Q 在 x 轴上并使 得 QF 为∠AQB 的平分线,求点 Q 的坐标; (3)在满足(2)的条件下,记△AQF 与△BQF 的面积之比为 ? ,求 ? 的取值范围 y A Q

F

o

x

B

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 2
2

(1)判断曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个零点,求 a 的值; (3)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x 2 ? x1 ? ln 2 ,求 a 的取值范围

2013—2014 高三数学(文科)模拟试题

参考答案

一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分。 11

3 ; 5

12

k ? ?1 ;

13

48 ? 12 2 ;
2013 ; 2014

14

2;

15

da db dc dd ? ? ? ? 1; h A hB hC hD

16

17 ① ③

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) (1)由已知得 2 cos C (1 ? cos C ) ? 2 cos C ? 1 ? 0
2

(2 分) (5 分) (8 分) (10 分)

∴ cos C ?

1 ? ,∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? 2 3

(2)由余弦定理及 3ab ? 25 ? c 2 得到 a ? b ? 5 又由 sin A ? ( 3 ? 1) sin B 得到 a ? ( 3 ? 1)b



a ? 5?

5 3 5 3 ,b ? 3 3

(12 分)



c ?5 2? 3

(14 分)

19.(本题满分 14 分)

(1)由已知得 a 2 ? 4 ? 2a, a3 ? 4a

(1 分) (4 分)

8 9 8 20 32 80 44 此时, a1 ? , a 2 ? ,但 a 4 ? ≠ , , a3 ? 9 9 9 9 9
由 a1 , a 2 , a3 成等差数列得 a ? 所以 {a n } 是不成等差数列 (2)由 a1 , a 2 , a3 成等比数列得 a ? 1 由 a n ?1 ? 2a n ? 2 n ?1 得

(7 分) (8 分)

a n ?1 a n ? ?1 2 n ?1 2 n

(10 分)

令 bn ?

an 1 1 1 ,所以 bn ?1 ? ? ?(bn ? ) ,当 a ? 1 时, b1 ? ? 0 , n 2 2 2 2
1 ?0 2
(12 分)

因此, bn ?

所以 a n ? 2 n ?1 ,即有

a n ?1 ? 2 ,因此 a ? 1 时 {a n } 成等比数列 an

(14 分)

20.(本题满分 15 分) (1)证明 CA⊥AB、CA⊥BD 由 CA ? 平面 ACD,平面 ABD⊥平面 ACD (2) (3 分) (5 分)

5 (算出平面 ACD 的法向量 3 分,写出平面 BCD 的法向量 1 分,结果 1 分;或 5
(10 分)

作出并证明二面角的平面角 3 分,算出结果 2 分) (3)

6 7 (算出平面 ? 的法向量 3 分,算出结果 2 分;或作出并证明点 B 到平面 ? 的 6
(15 分)

距离 3 分,算出结果 2 分)

21. (本题满分 15 分)

x2 y2 (1)椭圆 C 的方程为 ? ?1 5 4
(2)设直线 AB 方程为 x ? ty ? 1 代入 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 设 Q ( x 0 ,0) ,有已知得

(3 分)

x2 y2 ? ? 1 得 (4t 2 ? 5) y 2 ? 8ty ? 16 ? 0 5 4
8t ? 16 , y1 y 2 ? 2 4t ? 5 4t ? 5
2

(5 分)

y1 y2 ? ? 0 即 x 2 y1 ? x1 y 2 ? x0 ( y1 ? y 2 ) ? 0 (7 分) x1 ? x0 x 2 ? x0 2ty1 y 2 ?1 y1 ? y 2
(8 分)

所以 (ty 2 ? 1) y1 ? (ty1 ? 1) y 2 ? x 0 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ? x 0 ? 所以, x 0 ? ?5 ,即 Q(-5,0) (3)由已知得 ? = ?

(9 分)

y1 ?1 y2

(10 分)

因为

( y1 ? y 2 ) 2 y y 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? ? ? 2 y1 y 2 y 2 y1 ?

(12 分)

所以 ? ? ?

1

?

?2?

? 4t 2 1 5 ∈(0,1) ? ?? ? ? 3 ? 2 2 ? 4t ? 5 4t ? 5

(14 分)

因此,

3? 5 3? 5 且? ? 1 ??? 2 2

(15 分)

22. (本题满分 14 分)

(1)由已知得曲线在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 代入 y ? ? x 2 ? ax ? 2 得 x 2 ? (1 ? a ) x ? 1 ? 0

(1 分)

所以,当 a ? ?1 或 a ? 3 时,有两个公共点;当 a ? ?1 或 a ? 3 时,有一个公共点; 当 ? 1 ? a ? 3 时,没有公共点 (4 分) (2) y ? f ( x) ? g ( x) = x 2 ? ax ? 2 ? x ln x ,由 y ? 0 得 a ? x ? 令 h( x ) ? x ?

2 ( x ? 1)( x ? 2) ? ln x , ? h / ( x) ? x x2

2 ? ln x x

(5 分) (6 分) (7 分) (8 分)

所以, h( x) 在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增 因此, hmin ( x) ? h(1) ? 3 ? a ? 3

(3) y ? f ( x) ? g ( x) = ? x 2 ? ax ? 2 ? x ln x ,令 ? ( x) = ? x 2 ? ax ? 2 ? x ln x
/ ∴ ? ( x) ? ?2 x ? a ? 1 ? ln x ,即 a ? 2 x ? 1 ? ln x 有两个不同的零点 x1 , x 2 , (10 分)

令 ? ( x) = 2 x ? 1 ? ln x ? ? / ( x) ?

2x ? 1 1 ? ? min ( x) ? ? ( ) ? ln 2 且 当 a ? ln 2 时 , x 2

? a ? 2 x1 ? 1 ? ln x1 ( x 2 ? x1 ) 随 a 的增大而增大;当 x 2 ? x1 ? ln 2 时, ? ? x 2 ? 4 x1 ?a ? 2 x 2 ? 1 ? ln x 2
ln 2 4 ln 2 2 ln 2 ln 2 ,此时 a ? , x2 ? ? 1 ? ln( ) 3 3 3 3 2 ln 2 ln 2 即 x 2 ? x1 ? ln 2 时, a ? ? 1 ? ln( ) 3 3
所以, x1 ? (13 分) (14 分)


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