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三角函数的图像与性质知识点及习题


三角函数的图象与性质 基础梳理 1. “五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)

?π ? ? ,1? ?2 ?

(π,0)

?3 ? π ,- 1 ? ? ?2 ?

(2π,0)

(2)y=cos x 的图象在[0,2π

]上的五个关键点的坐标为

?π ? ?3π ? (0,1),? ,0?,(π,-1),? ,0?,(2π,1) ?2 ? ?2 ?
2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域

y=sin x

y=cos x

y=tan x

R

R

π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

图象

值域 对称性

[-1,1]

[-1,1]

R

对称轴:__ x=k 对称轴:

?kπ ? 对称中心: _ ? ,0? (k ∈ ?2 ?

π π+ (k∈Z)__ 2 _; 对称中心: _ (kπ,0)(k∈ Z)__ _ 周期 2π_ 单调增区间 _[2k

x=kπ(k∈
Z)___; 对称中心: π _(kπ+ ,0) (k∈ 2 Z)__ 2π

Z) __

π

单 调 增 区 间 [2k π π- π 2 , 2k π + -π,2kπ] (k∈Z) ____; 单调减区间[2kπ, π 单调增区间_(kπ- ,kπ+ 2 π )(k∈Z)___ 2

单调性

π ](k∈Z)___; 2

单调减区间[2kπ 2k π + π ](k ∈ + , 2kπ+ ] 2 2 (k∈Z) __ 奇偶性 奇函数 偶函数 π 3π Z)______

奇函数

对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常数.如果只有个别的 x 值

满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都 不能说 T 是函数 f(x)的周期. 函 数 y = Asin( ω x + φ ) 和 y = Acos( ω x + φ ) 的 最 小 正 周 期 为 2π |ω | , π |ω |

y=tan(ω x+φ )的最小正周期为

.

4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x ≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 叫做 y=sin x,y=cos x 的最大值,-1 叫做 y=sin x,y=cos x 的最小值 . (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析ω x+ φ 的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;含参数的最值问题, 要讨论参数对最值的影响. (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的 值域(最值)问题.

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如: y=sin2x- 4sin x+5,令 t=sin x(|t|≤1),则 y=(t-2)2+1≥1,解法错误. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y=Asin(ω x+φ ) (ω >0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间. 应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区 间不同 ;利用换元法求复合函数的单调区间 ( 要注意 x 系数的正负号 ) π? ? ?π ? (1)y=sin?2x- ?;(2)y=sin? -2x?. 4? ? ?4 ? 热身练习:

? π? 1.函数 y=cos?x+ ?,x∈R( ? 3?
A.是奇函数 C.是偶函数

).

B.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ).

?π ? 2.函数 y=tan? -x?的定义域为( ?4 ?

?? π A.?x?x≠kπ- 4 ? ? ?? π C.?x?x≠kπ+ 4 ? ?

? ,k∈Z? ? ? ,k∈Z? ?

?? ? π B.?x?x≠2kπ- ,k∈Z ? 4 ? ? ? ?? π D.?x?x≠2kπ+ 4 ? ? ? ,k∈Z? ?

π 3.函数 y=sin(2x+ )的图象的对称轴方程可能是( 3 π A.x=- 6 B.x=- 12 π π C.x= 6

) π

D.x= 12

π π kπ π 【解析】令 2x+ =kπ+ ,则 x= + (k∈Z) 3 2 2 12 π ∴当 k=0 时,x= ,选 D. 12 4.y=sin?x-

? ?

π? ?的图象的一个对称中心是( 4?

).

A.(-π,0)

? 3π ? B.?- ,0? ? 4 ?

?3π ? C.? ,0? ?2 ?

?π ? D.? ,0? ?2 ?
π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x- =kπ(k∈Z), 4 π 3 ? π? x=kπ+ (k∈Z),由 k=-1,x=- π得 y=sin?x- ?的一个对称中 4 4 ? 4?

? 3π ? 心是?- ,0?. ? 4 ?
答案 B 5.下列区间是函数 y=2|cos x|的单调递减区间的是 ( )

A.(0,π) π? ? D.?-π,- ? 2? ?

? π ? B.?- ,0? ? 2 ?

?3π ? C.? ,2π? ?2 ?

π 6.已知函数 f(x)=sin(2x+φ ),其中φ 为实数,若 f(x)≤|f( )|对任意 x 6 π ∈R 恒成立,且 f( )>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( 2 π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π 2π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 )

π B.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π D.[kπ- ,kπ](k∈Z) 2

π π π 【解析】当 x∈R 时,f(x)≤|f( )|恒成立,∴f( )=sin( +φ )=±1 6 6 3 π 5π 可得φ =2kπ+ 或φ =2kπ- ,k∈Z 6 6 π ∵f( )=sin(π+φ )=-sinφ >f(π)=sin(2π+φ )=sinφ 2 ∴sinφ <0 5π ∴φ =2kπ- 6 π 2π 得 x∈[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z), 6 3

π 5π π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ 2 6 2 选 C.

? x π? 7.函数 f(x)= 3cos? - ?x∈R 的最小正周期为___4π_____. ?2 4 ?

3 ? π? x + 8..y=2-3cos? ?的最大值为___5_____,此时 x=_____ π+2kπ, 4 ? 4?

k∈Z _________.
9.函数 y=(sinx-a)2+1,当 sinx=1 时,y 取最大值;当 sinx=a 时,y 取最小值,则实数 -1≤a≤0. 10 . 函 数 f(x 是 . ) = sin2 π π

x+

3 sinxcosx 在 区 间 [ , ] 上 的 最 大 值 4 2

1-cos2x 3 3 1 1 【解析】∵f(x)= + sin2x= sin2x- cos2x+ 2 2 2 2 2 π 1 =sin(2x- )+ , 6 2 π π π π 5π 又 ≤x≤ ,∴ ≤2x- ≤ . 4 2 3 6 6 3 值 . 2 π π π ∴当 2x- = 即 x= 时,f(x)取最大 6 2 3

题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域: (2)y= sin x-cos x.

(1)y=lgsin(cos x); 解

(1)要使函数有意义,必须使 sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1. 利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0<OM≤1,

∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为 π π {x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 2 2

(2)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的 图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余 4 4 弦函数的周期是 2π,
? ? 5π ? π ? 所以定义域为?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. ? ? 4 ? 4 ?

变式训练 1 (1)求函数 y ?

lg(2sin x ? 1) ? ? tan x ? 1 的定义域; x ? cos( ? ) 2 8



(1)要使函数有意义,则

? ?-tan x-1≥0 ? x π ? ?cos? ? + ? ≠0 ? ?2 8?
2sin x-1>0

1 ? ?sin x>2, ? ? ?tan x≤-1, ?x π π + ≠kπ+ . ? 2 ?2 8

图①

如图①利用单位圆得:

?2kπ+π<x<2kπ+5π, ? 6 6 ? π 3π ?kπ+2<x≤kπ+ 4 , ? ?x≠2kπ+3π? k∈Z? . 4 ?
3π <x<2kπ+ ,k∈Z}. 4

∴函数的定义域为{x|2kπ+

π 2

(2)求函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的定义域.
2

要使函数有意义

?2+log1x≥0, 2 ? ?x>0, 则? tan x≥0, ? ?x≠kπ+π,k∈Z 2 ?

?0<x≤4, ? ?kπ≤x<kπ+π ? 2 ?

k∈Z? .

利用数轴可得图② 图② π ∴函数的定义域是{x|0<x< 或π≤x≤4}. 2

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 π 例 2 已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 6 (1)用五点法作出 f(x)在一个周期内的简图; (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与 伸缩变换得到? π 【解析】(1)y=f(x)=4cosxsin(x+ )-1 6 1 =4cosx( sinx+ cosx)-1= 3sin2x+2cos2x-1 2 2 = π 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ) 6 π 2x+ 6 0 - π 12 π 2 2π 12 2 π 5π 12 0 3π 2 8π 12 -2 2π 11π 12 0 3

x y

0 π

11π ∴函数 y=f(x)在[- , ]上的图象如图所示. 12 12

【点评】 “五点法作图”应抓住四条:①化为 y=Asin(ω x+φ )(A >0,ω >0)或 y=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0)的形式; 2π ②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一个周期内的五个特 ω 殊点.当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间的特殊点.

题型三 三角函数图象与解析式的相互转化

π 例 3 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(x∈R,A>0,ω >0,0<φ < )的部分 2 图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式; π (2)设 g(x)=[f(x- )]2,求函数 g(x)在 12

x∈[- , ]上的最大值,并确定此时 x 的值.
6 3

π π

2π π 【解析】(1)由图可知 A=2, = ,则 =4× 4 3 ω 3 π 3 π π 又 f(- )=2sin[ ×(- )+φ ]=2sin(- +φ )=0 6 2 6 4

T π

3 ∴ω = . 2

π ∴sin(φ - )=0 4 π π π π π π ∵0<φ < ,∴- <φ - < ∴φ - =0,即φ = 2 4 4 4 4 4 3 π ∴f(x)=2sin( x+ ). 2 4 π 3 π π 3 π (2)由(1)可得 f(x- )=2sin[ (x- )+ ]=2sin( x+ ) 12 2 12 4 2 8 π π 1-cos? 3x+ ? 4 2 π =2-2cos(3x+ ) 4

∴g(x)=[f(x- 12 π π ∵x∈[- , ] 6 3

)]2=4×

π π 5π ∴- ≤3x+ ≤ , 4 4 4

π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4 【点评】根据 y=Asin(ω x+φ )+K 的图象求其解析式的问题,主要从 以下四个方面来考虑: 最高点-最低点 ①A 的确定: 根据图象的最高点和最低点, 即 A= ; 2 最高点+最低点 ②K 的确定: 根据图象的最高点和最低点, 即 K= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期,然后由 T= (ω >0)来确定 ω ω; ④φ 的确定: 由函数 y=Asin(ω x+φ )+K 最开始与 x 轴的交点(最 φ φ 靠近原点)的横坐标为- (即令ω x+φ =0,x=- )确定φ . ω ω 例 4 若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数根 x1,

x2,求 a 的取值范围,并求此时 x1+x2 的值.
π 【解析】∵ 3sinx+cosx=2sin(x+ ),x∈[0,2π], 6 π 作出 y=2sin(x+ )在[0,2π]内的图象如图. 6

由图象可知,当 1<a<2 或-2<a<1 时, π 直线 y=a 与 y=2sin(x+ )有两个交点, 6 故 a 的取值范围为 a∈(-2,1)∪(1,2). π π 2π 当 1<a<2 时,x1+ +x2+ =π.∴x1+x2= . 6 6 3 π π 8π 当-2<a<1 时,x1+ +x2+ =3π,∴x1+x2= . 6 6 3 【点评】利用三角函数图象形象直观,可使有些问题得到顺利、 简捷的解决,因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征. 例 4 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0 π π <φ < )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图 2 2 2π 象上一个最低点为 M( ,-2). 3 (1)求 f(x)的解析式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将所得图象上各点 12 1 的横坐标缩小到原来的 ,纵坐标不变,得到 y=g(x)的图象,求函数 2

y=g(x)的解析式,并求满足 g(x)≥ 2且 x∈[0,π]的实数 x 的取值范
围.

2π 【解析】(1)由函数图象的最低点为 M( ,-2),得 A=2, 3 π T π 由 x 轴上相邻两个交点间的距离为 ,得 = ,即 T=π, 2 2 2 ∴ω = 2, 4π 即 sin( +φ )=-1, 3 故 4π π 11π +φ =2kπ- ,k∈Z,∴φ =2kπ- , 3 2 6 2π 2π 2π =2.又点 M( ,-2)在图象上,得 2sin(2× +φ )=- π 3 3

π π π 又φ ∈(0, ),∴φ = .综上可得 f(x)=2sin(2x+ ). 2 6 6 π π (2)将 f(x)=2sin(2x+ )的图象向右平移 个单位, 6 12 得到 f1(x)=2sin[2(x- π )+ ],即 f1(x)=2sin2x 的图象, 12 6 π

1 然后将 f1(x)=2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的 ,纵坐 2 标不变,得到 g(x)=2sin(2·2x),即 g(x)=2sin4x. 0≤x≤π ? ? 得? 2 sin4x≥ ? 2 ?

由?

?0≤x≤π ?g? x? =2sin4x≥ 2

.



?0≤x≤π ?2kπ+π≤4x≤2kπ+3π? 4 4 ?

k∈Z?



?0≤x≤π ?kπ+ π ≤x≤kπ+3π? ? 2 16 2 16
π

k∈Z?

.

3π 9π 11π 故 ≤x≤ 或 ≤x≤ . 16 16 16 16 题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 π 例 1 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ),其中ω >0,|φ |< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ -sin sinφ =0,求φ 的值; 4 4 (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距 π 离等于 ,求函数 f(x)的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的 3 图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数. π 3π π 【解析】(1)由 cos cosφ -sin sinφ =0 得 cos( +φ )=0. 4 4 4 π π ∵|φ |< ,∴φ = . 2 4

T π 2π (2)由已知得 = ,∴T= ,ω =3 2 3 3

π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4

设函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x),

π π 则 g(x)=sin[3(x+m)+ ]=sin(3x+3m+ ) 4 4 π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z) 4 2 即 m=


3



(k∈Z) 12

π

∴最小正实数 m=

. 12

π

题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期:

π? ? (1)y=sin?-2x+ ?;(2)y=|tan x|. 3? ? π? ? 解 (1)y= ? sin?2x- ?, 3? ? π? π? ? ? 2 x - 2 x - 它的增区间是 y=sin? 它的减区间是 y=sin? ?的减区间, ? 3? 3? ? ? 的增区间. π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈ 2 3 2 12 12 Z. π π 3π 5π 11π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k 2 3 2 12 12 ∈Z.

π 5π? ? 故所给函数的减区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z; 12 12 ? ? 5π 11π? 2π ? 增区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z.最小正周期 T= =π. 12 12 ? 2 ? π? ? (2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间是?kπ,kπ+ ?,k∈Z,减区 2? ? 间是 π ? ? ?kπ- ,kπ?,k∈Z.最小正周期:T=π. 2 ? ?

探究提高 (1)求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ ) (其中 A≠ 0,ω >0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答. 列不等式的原则是: ①把 “ω x+φ (ω >0)” 视为一个 “整体” ; ②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单 调区间对应的不等式方向相同(反). (2)对于 y=Atan(ω x+φ ) (A、ω 、φ 为常数),其周期 T= π |ω | ,单调

π π? ? k π - , k π + 区间利用ω x+φ ∈? ?,解出 x 的取值范围,即为其单 2 2? ?

调区间. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结 合图象判定. π? ?π ? ? 变式训练 2 (1)求函数 y=sin? +4x?+cos?4x- ?的周期、单调区 6? ?3 ? ? 间及最大、最小值;

? π? (2)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+ ?-1. ? 6?
①求 f(x)的最小正周期; 最小值. 解 :

? π π? ②求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和 ? 6 4?

y



sin

?π ? ? +4x? ?3 ?



cos

π? ? ?4x- ? 6? ?

?

3 1 3 1 cos 4 x ? sin 4 x ? cos 4 x ? sin 4 x 2 2 2 2

? sin 4 x ? 3 cos 4 x ? 2sin(4 x ? ) 3

?

π (1)周期为 T= 2

?

?
2

? 2 k? ? 4 x ?

?
3

?

?
2

? 2 k? , k ? Z

? 5π kπ π kπ? 函数的递增区间为?- + , + ? (k∈Z); ? 24 2 24 2 ?
?
2 ? 2 k? ? 4 x ?

?
3

?

? ? 3? + ?(k ? 2k? , k ? Z 函数的递减区间为? + , 2 ?24 2 24 2 ?
π

kπ 7π kπ

∈Z)

ymax=2;

ymin=-2

(2) f(x)=4cos xsin?x+ 1 ? 4cos x(

? ?

π? ?- 6?

3 1 sin x ? cos x) ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ?1 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)

? π π? ? ? 2? x ??- , ?, 2 x ? ? [? , ] 6 6 3 ? 6 4?

最大值为 2;最小值为-1

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用 例 2 已知向量 m =( = m ? n ,x∈R. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.
?? ?
??

3sin2x-1,cosx), n =(1,2cosx),设函数 f(x)

?

【解析】 (1)f(x)=m·n= 3sin2x-1+2cos2x= π 2sin(2x+ ) 6

3sin2x+cos2x=

π π kπ π ∴对称轴方程为:2x+ =kπ+ ,即 x= + (k∈Z). 6 2 2 6 π π π π π (2)由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ得- +kπ≤x≤kπ+ 2 6 2 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 【点评】对于 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0):

π ①若求 y=f(x)的对称轴,只需令ω x+φ =kπ+ (k∈Z),求出 x; 2 若求 y=f(x)的对称中心的横坐标, 只零令ω x+φ =kπ(k∈Z), 求出 x; π π ②若求 y=f(x)的单调增区间,只需令 2kπ- ≤ω x+φ ≤2kπ+ ,求 2 2 出 x; π 3π 若求 y=f(x)的单调减区间, 只需令 2kπ+ ≤ω x+φ ≤2kπ+ ,求出 2 2

x.

题型七 三角函数的对称性与奇偶性 例3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R), 函数 y=f(x+φ ) ?|φ |≤

? ?

π? 2?

?

的图象关于直线 x=0 对称,则φ 的值为________.

?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? ,0?中心对称,那么| ?3 ?
φ |的最小值为( A. π 6 ) π B. 4 π C. 3 π D. 2

π (1) 6
f (x)=2sin ( x ? π ) , 3

y=f(x+φ )=2sin ( x ? ? ? ? ) 图象关于 x=0 对
3

称,

π π 即 f(x+φ )为偶函数.∴ +φ = +kπ,k∈Z, 3 2 π π 即φ =kπ+ ,k∈Z,所以当 k=0 时,φ = . 6 6 (2)A 3cos (2 ? 4? ? ? ) =3cos ( 2π ? ? ? 2π) =3cos ( 2? ? ? ) ? 0,
3 3 3

2π π π ∴ +φ =kπ+ ,k∈Z,∴φ =kπ- ,k∈Z, 3 2 6 π 取 k=0,得|φ |的最小值为 .故选 6 探究提高 若 f(x)=Asin(ω x+φ )为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得 最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ω x+φ )为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令ω x+φ = +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令ω x+φ =kπ (k∈Z)即可. 变式训练 3 (1)已知函数 f(x)=sinx+acos x 的图象的一条对称轴是 ( 2 D. ) 6 3

5π x= ,则函数 g(x)=asin x+cos x 的最大值是 3 2 A. 2 3 2 B. 3 3 4 C. 3 3 a - . 2 2

由题意得 f(0)=f ( 10? ) ,∴a=-
3

3 2 3 ∴a=- , g(x)=- sin x+cos x= sin ( x ? 2? ) , 3 3 3 3 2 ∴g(x)max= 3 3 .

3

(2)若函数 f(x)=asin ω x+bcos ω x (0<ω <5,ab≠0)的图象的一条 π ?π ? 对称轴方程是 x= ,函数 f′(x)的图象的一个对称中心是? ,0?,则 4ω ?8 ?

f(x)的最小正周期是________.
(1)B (2)π 由题设,有 f ( π ) =± 4? 得到 a=b. 又 f ?( ? ) ? 0 ,所以 aω (cos ?? ? sin ?? ) =0,
8 8 8

a

2+

b

2,即

2 2

(a+b)=±

a2+b2,由此

ωπ ωπ π 从而 tan =1, =kπ+ ,k∈Z,即ω =8k+2,k∈Z,而 8 8 4 0<ω <5,所以ω =2, 于是 f(x)=a(sin 2x+cos 2x)= 故 f(x)的最小正周期是π. 题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用 2asin (2 x ? ? )
4

2sinxcos2x 例 3(1)求函数 y= 的值域; 1+sinx (2)求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最值;

(3)若函数 f(x)= 定常数 a 的值.
() 1 y= 【解析】

-asin ·cos(π- )的最大值为 2, 试确 ? 2 2 4sin( ? x)
2

1 ? cos 2 x

x

x

2sin x(1 ? sin 2 x) 1 ? sin x

1 1 =2sinx(1-sinx)=2sinx-2sin2x=-2(sinx- )2+ . 2 2 1 ∵1+sinx≠0,∴-1<sinx≤1.∴-4<y≤ . 2 2sinxcos2x 1 故函数 y= 的值域为(-4, ]. 1+sinx 2 (2)令 t=sinx+cosx,则 sinxcosx= 1 1 2 ∴y= (t -1)+t= (t+1)2-1, 2 2 1 ∴当 t=-1 时,ymin=-1;当 t= 2时,ymax= 2+ . 2 2cos2x x x 1 a (3)f(x)= +asin cos = cosx+ sinx 4cosx 2 2 2 2 = 1 a2 1 + sin(x+φ ),(其中 tanφ = ) 4 4 a 1 a2 + =2,解得 a=± 4 4 15.

t2-1
2

,且|t|≤

2.

由已知得

【点评】求三角函数的最值问题,主要有以下几种题型及对应解 法. (1)y = asinx + bcosx 型,可引用辅角化为 y =

a2+b2 sin(x +

φ )(其中 tanφ = ).

b a

(2)y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 型,可通过降次整理化为 y=

Asin2x+Bcos2x+C.
(3)y=asin2x+bcosx+c 型,可换元转化为二次函数. (4)sinxcosx 与 sinx±cosx 同时存在型,可换元转化. (5)y=

asinx+b csinx+d

(或 y=

acosx+b ccosx+d

)型,可用分离常数法或由|sinx|

≤1(或|cosx|≤1)来解决,也可化为真分式去求解. (6)y=

asinx+b

ccosx+d

型,可用斜率公式来解决.

π 例 4 已知函数 f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a 为常数),且 是函数 4

y=f(x)的一个零点.
(1)求 a 的值,并求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时, 求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2 π 【解析】(1)由 是 y=f(x)的零点得 4 求解 a=-2, π 则 f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1= 2sin(2x- )-1, 4 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =π. 2 π π π 3π 2 π (2)由 x∈[0, ]得 2x- ∈[- , ],则- ≤sin(2x- )≤1, 2 4 4 4 2 4 π 因此-2≤ 2sin(2x- )-1≤ 2-1,故当 x=0 时,f(x)取最小 4 π π π 2 f( )=sin +acos =0, 4 2 4

值-2, 当 x= 3π 时,f(x)取最大值 8 2-1.

π π 设 a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2( -x)满足 f(- )=f(0),求 2 3 π 11π 函数 f(x)在[ , ]上的最大值和最小值. 4 24 【解析】f(x)=asinxcosx -cos2

x

+sin2

x= sin2x-cos2x
2 3.

a

π 3a 1 由 f(- )=f(0)得- · + =-1,解得 a=2 3 2 2 2 π ∴f(x)= 3sin2x-cos2x=2sin(2x- ) 6

π π π π π 当 x∈[ , ]时,2x- ∈[ , ],f(x)为增函数. 4 3 6 3 2 π 11π π π 3π 当 x∈[ , ]时,2x- ∈[ , ],f(x)为减函数. 3 24 6 2 4 π 11π π ∴f(x)在[ , ]上的最大值为 f( )=2 4 24 3 = 2 π 11π 11π ∴f(x)在[ , ]上的最小值为 f( )= 4 24 24 2. π 11π 又∵f( )= 3, f( ) 4 24

题型九

分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

π? ? ? π? 例题:已知函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b 的定义域为?0, ?, 6? ? ? 2? 函数的最大值为 1,最小值为-5,(1)求 a 和 b 的值. (2)若

? π? a>0,设 g(x)=f ?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? 2?

π π 点评 ①求出 2x+ 的范围,求出 sin(2x+ )的值域.②系数 a 的正、 6 6 负影响着 f(x)的值, 因而要分 a>0, a<0 两类讨论.③根据 a>0 或 a<0 求 f(x)的最值,列方程组求解. π? ? 1 π ?π 7π? ? π? ? ? 解 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?.∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 6 ?6 6 ? ? 2? ? ? π? ? 2 x + ∴-2asin? ?∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b], 6? ? 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得 a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f ?x+

? ?

π? 7π? π? ? ? ?=-4sin?2x+ ?-1=4sin?2x+ ?-1, 2? 6? 6? ? ?

π? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1,∴4sin?2x+ ?-1>1, 6? ?

π? 1 π π 5π ? 2 x + ∴sin? ?> ,∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6? 2 6 6 6 ? π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ< 6 6 2

x≤kπ+ ,k∈Z,
6 π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+ ?,k∈Z. 6? ? π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ 2 6 6 π π + <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3

π

三角函数的图象与性质练习一 一、选择题 1.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项正确的是( π π A.f(x)在( , )上是递增的 4 2 C.f(x)的最小正周期为 2π 【解析】f(x)=sin2x π π f(x)在( , )上是递减的,A 错; f(x)的最小正周期为π,C 错; 4 2 )

B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)的最大值为 2

f(x)的最大值为 1,D 错;选 B.

π π 2.若α 、β∈(- , ),那么“α <β”是“tanα <tanβ”的( 2 2 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

)

π π 【解析】α 、β∈(- , ),tanx 在此区间上单调递增. 2 2 当α <β时,tanα <tanβ;当 tanα <tanβ时,α <β.故选 C. π 3.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的最小正周期为π,将该 2 π 函数的图象向左平移 个单位后,得到的图象对应的函数为奇函数,则 6

f(x)的图象(

) 5π B.关于直线 x= 对称 12 D.关于直线 x= 对称 12 π

π A.关于点( ,0)对称 12 5π C.关于点( ,0)对称 12

【解析】由已知得ω =2,则 f(x)=sin(2x+φ ) π π 设平移后的函数为 g(x),则 g(x)=sin(2x+ +φ )(|φ |< )且为奇函数 3 2 π π ∴φ =- ,f(x)=sin(2x- ) 3 3 5π ∴图象关于直线 x= 对称,选 B. 12 π 4.已知 f(x)=sinx,x∈R,g(x)的图象与 f(x)的图象关于点( ,0)对称, 4 则在区间[0,2π]上满足 f(x)≤g(x)的 x 的取值范围是( π 3π A.[ , ] 4 4 3π 7π B.[ , ] 4 4 ) π 3π C.[ , ] 2 2

3π 3π D.[ , ] 4 2

π 【解析】设(x,y)为 g(x)的图象上任意一点,则其关于点( ,0)对称的 4 π 点为( -x,-y), 2 π 由题意知该点必在 f(x)的图象上.∴-y=sin( -x), 2 π 即 g(x)=-sin( -x)=-cosx,由已知得 sinx≤-cosx? sinx+cosx 2 π = 2sin(x+ )≤0 又 x∈[0,2π] 4 3π 7π ∴ ≤x≤ . 4 4

5. 已知函数 f(x)=3sin(ω x+φ ), g(x)=3cos(ω x+φ ), 若对任意 x∈R, π π π 都有 f( +x)=f( -x),则 g( )=____. 3 3 3 π π π π 【解析】 由 f( +x)=f( -x), 知 y=f(x)关于直线 x= 对称, ∴sin(ω · 3 3 3 3 +φ )=±1. π π ∴g( )=3cos(ω · +φ )=3 3 3 1-sin2? π ω · +φ ? 3 =0.

πx π 6.设函数 f(x)=2sin( + ),若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2 5 恒成立,则|x2-x1|的最小值为____. 【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立” ,可得 f(x1)、f(x2)分别是 f(x)的最 小值、最大值.

2π ∴|x2-x1|的最小值为函数 f(x)的半周期,又 T= =4.∴|x2-x1|min=2. π 2 7.已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域. 2 【解析】(1)f′(x)=cosx-sinx=- ∴y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx =1+sin2x+cos2x=1+ π 2sin(2x+ ) 4 π 2 ∴sin(2x+ )∈[- ,1], 4 2 π 2sin(x- ) 4

π π π 5π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ] 2 4 4 4 ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2].

8.设函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数 f(x)的图象向左平移α 个单位,得到函数 y=g(x)的图象. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 0<α < ,且 g(x)是偶函数,求α 的值. 2

【解析】(1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1 π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ), 4 ∴f(x)的最小正周期 T= 2π =π. 2

(2)g(x)=f(x+α )=

π π 2sin[2(x+α )+ ]= 2sin(2x+2α + ), 4 4 π 2sin(2α + ), 4

g(x)是偶函数,则 g(0)=± 2=

π π kπ π ∴2α + =kπ+ ,k∈Z.α = + (k∈Z), 4 2 2 8 π π ∵ 0<α < ,∴α = . 2 8 三角函数的图象与性质练习二 π? ? 1.函数 f(x)=sin?2x+ ?图象的对称轴方程可以为 3? ? ( ) B.x= π 3 π C.x= 6 π D.x= 12

5π A.x= 12

π π kπ π 解析 令 2x+ =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z),令 k=0 得该 3 2 2 12 函数的一条对称轴为 x= .本题也可用代入验证法来解.答案 12 ( π D

? π? 2.y=sin?x- ?的图象的一个对称中心是 ? 4?
A.(-π,0) B.?-

)

? ?

3π ? ,0? 4 ?

?3π ? C.? ,0? ?2 ?

?π ? D.? ,0? ?2 ?
π 3.函数 y=3cos(x+φ )+2 的图象关于直线 x= 对称,则φ 的可能取值 4 是 3π A. 4 二、填空题 4.函数 y=lg(sin x)+ Z)_________. π 5.已知函数 f(x)=3sin(ω x- )(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象 6 的 对 称 轴 完 全 相 同 . 若 x ∈ [0 ,
? ____ ? ? ,3? ___________. ? ? 2 ? 3

(

) B.- 3π 4 π C. 4 π D. 2

1 ? cos x- 的定义域为____ (2k? , 2k? ? ] (k∈ 3 2

π 2

] , 则 f(x) 的 取 值 范 围 是

4.函数 f(x)=2sin 的最大值是

? π? ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上 ? 4?

3,那么ω 等于________.

解析 因为 f(x)=2sin

? π? ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间 ? 4?

π 上的最大值是 3,所以 2sin ω = 4 答案 4 3

π π 4 3,且 0< ω < ,因此ω = . 4 2 3

π? ? 6.关于函数 f(x)=4sin?2x+ ? (x∈R),有下列命题: 3? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可 π? ? 改写为 y=4cos?2x- ?; 6? ?

? π ? ③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 6 ? ?
π 对称. 6 其中正确命题的序号是___________.②③ 解析 π? ? 函数 f(x)=4sin?2x+ ?的最小正周期 T=π,由相邻两个零点的 3? ?

T π 横坐标间的距离是 = 知①错. 2 2
π? ? ?π ? 2 x + 利用诱导公式得 f(x)=4cos? -? ??= 3 ?? ?2 ? π? ?π ? ? 4cos? -2x?=4cos?2x- ?,知②正确. 6? ?6 ? ?

π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心, 将 x=- 代入得 f(x) 6

? ? π? π? =4sin?2×?- ?+ ?=4sin 0=0, ? ? 6? 3? ? π ? 因此点?- ,0?是 f(x)图象的一个对称中心,故命题③正确.曲线 f(x) ? 6 ?
π 的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=- 时 y 6 π ? π ? =0 , 点?- ,0?不是最高点也不是最低点, 故直线 x=- 不是图象的 6 ? 6 ? 对称轴,因此命题④不正确. 答案 ②③ 三、解答题
? 7.设函数 f(x)=sin? y=f(x)图象的一条对称轴是直 ?2x+φ ? (-π<φ <0),

π 线 x= . 8 (1)求φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 3π 解 (1)- 4 3 π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ?, 4? ?

π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 因此 y=f(x)的单调增区间为 5π ?π ? ? +kπ, +kπ?,k∈Z. 8 ?8 ?

π? π π ? 8.(1)求函数 y=2sin?2x+ ? (- <x< )的值域; 3? 6 6 ? (2)求函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域. π? π π π 2π ? 解 (1)∵- <x< ,∴0<2x+ < ,∴0<sin?2x+ ?≤1, 3? 6 6 3 3 ? π? ? ∴y=2sin?2x+ ?的值域为(0,2]. 3? ? (2)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin

x-2
5? 9 ? =-2?sin x- ?2+ . 4? 8 ? ∴当 sin x=1 时,ymax=1,当 sin x=-1 时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1].

三角函数的图象与性质练习三 一、选择题 1.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周

? π? 期是π,且当 x∈?0, ? ? 2?
1 A.- 2 1 B. 2

时,f(x)=sin x,则

?5π? f ? ?的值为 ?3?
3 D.

( 3 2

)

C.-

2

2.已知函数 f(x)=2sin ω 的最小值等于( 2 A. 3 3 B. 2 )

? π π? ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2, 则 ? 3 4?

C.2

D.3

?5π ? 3.函数 f(x)=cos 2x+sin? +x?是 ?2 ?
( ) B.仅有最小值的奇函数 D.有最大值又有最小值的偶函数

A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数 二、填空题

π 4.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象 2 交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 2 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为____ _______. 3 5.函数 f(x)=2sin

? π? ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上的 ? 4?

4 最大值是 3,那么ω =____ _______. 3

? π? 解析 因为 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间 ? 4?
π 上的最大值是 3,所以 2sin ω = 4 案 4 3 π π 4 3,且 0< ω < ,因此ω = .答 4 2 3

6.给出下列命题:

?2 π? ①函数 y=cos? x+ ?是奇函数; ?3 2 ?
3 α= ; 2

②存在实数α ,使得 sin α +cos

π ③若α 、β是第一象限角且α <β,则 tan α <tan β;④x= 是函数 y= 8

5 π? π? ? ? sin ?2x+ ? 的一条对称轴; ⑤函数 y = sin ?2x+ ? 的图象关于点 4? 3? ? ?

?π ? ? ,0?成中心对称图形. ?12 ?
其中正确的序号为___________. 三、解答题 7.若函数 f(x)=sin2ax-sin ax·cos ax (a>0)的图象与直线 y=m 相切, π 并且切点的横坐标依次成公差为 的等差数列. (1)求 m 的值; 2

? π? (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 x0∈?0, ?,求点 A ? 2?
的坐标. 1 1 7.解 (1)f(x)= (1-cos 2ax)- sin 2ax 2 2 1 1 =- (sin 2ax+cos 2ax)+ 2 2 =- 2 2 π? 1 ? 2 ax + sin? ?+ . 4? 2 ?

∵y=f(x)的图象与 y=m 相切, ∴m 为 f(x)的最大值或最小值, 1+ 2 1- 2 即 m= 或 m= . 2 2

π π (2)∵切点的横坐标依次成公差为 的等差数列,∴f(x)的最小正周期为 . 2 2 π T= = ,a>0,∴a=2, |2a| 2 即 f(x)=- π? 1 ? sin?4x+ ?+ . 4? 2 2 ? 2 2π

π? π kπ π ? 由题意知 sin?4x0+ ?=0,则 4x0+ =kπ (k∈Z),∴x0= - (k 4? 4 4 16 ? ∈Z). 由 0≤


4



π π ≤ (k∈Z)得 k=1 或 2, 16 2 1? ? 7 1? ?3 π, ?,? π, ?. ?16 2? ?16 2? 三角函数的图象与性质练习四

因此点 A 的坐标为?

一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π的奇函数 C.最小正周期为π的奇函数 ). B.最小正周期为 2 π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数

解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数. 答案 C 2.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( ).

A . [ - 1,1] 5? ? D.?-1, ? 4? ?

? 5 ? B. ?- ,-1? ? 4 ?

? 5 ? C. ?- ,1? ? 4 ?

解析 (数形结合法)y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t- 1 1,t∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当 t=- 及 2

t=1 时,

? 5 ? 函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈?- ,1?. ? 4 ?
答案 C

? π? 3 .若函数 f(x) = sin ω x( ω > 0) 在区间 ?0, ? 上单调递增,在区间 ? 3? ?π π? ? , ?上单调递减,则ω =( ?3 2 ?
2 A. 3 3 B. 2 ).

C.2

D.3

π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为 x= , 和它相邻的一个对称中心为 3 4π 3 原点,则 f(x)的周期 T= ,从而ω = . 3 2 答案 B

4.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π 3π B. 2 C.π

). π D. 2

解析 依题意, 得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+ 2π. 答案 A

? ?

π? ?.故最小正周期为 6?

?π π? 5.下列函数中,周期为π,且在? , ?上为减函数的是( ?4 2?
π? ? A.y=sin?2x+ ? 2? ?

).

π? ? B.y=cos?2x+ ? 2? ?

? π? C.y=sin?x+ ? ? 2?

? π? D.y=cos?x+ ? ? 2?

?π π? 解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除 C、D,∵函数在? , ?上是减 ?4 2 ?
函数,∴排除 B. 答案 A

【点评】 本题采用了筛选法,体现了筛选法的方便、快捷、准确性, 在解选择题时应注意应用.

? π? 6.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( ? 2?
A. 函数 f(x)的最小正周期为 2π

).

? π? B. 函数 f(x)在区间?0, ?上 ? 2?

是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 解析 ∵y=sin?x- D.函数 f(x)是奇函数

? ?

π? ? π? =- cos x ,∴ T = 2 π ,在 ? ?0, ?上是增函数,图 2? ? 2?

象关于 y 轴对称,为偶函数. 答案 D

二、

填空题
4

7.y=-|sin (x+ π ) |的单调增区间为___ [kπ+ , kπ+
? 4?

π 4

3π ] (k∈Z) _____. 4

?? 8.要得到 y ? 3 cos? 可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象向左平 ? 2 x ? ? 的图象,

移_ __单位. 9. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两 点,则 MN 的最大值为____ 2 ____. 10 函数 f(x)=
sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是_____[-1,0]___ __. 3 ? 2 cos x ? 2sin x

? 8

?? ?? ?? ? ?? ? ?? 11.已知 f ( x) ? sin? , f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最 ? ? x ? ? (? ? 0) 6 3 3 6 3 ? ? ? ? ? ?
? ?

小值,无最大值,则 ? =__________.

14 3

12、给出下面的 3 个命题: (1)函数 y ?| sin( 2 x ? ) | 的最小正周期是 ; ( 2 )函数 y ? sin(x ? 3? ) 在区间 [? ,
2

?

5? y ? sin( 2x ? ) 的 图 象 的 一 条 对 称 轴 . 其 中 正 确 命 题 的 序 号 2

3? 5? ) 上单调递增; (3) x ? 是函数 2 4

3

? 2





?π ? 13.若函数 f(x)=cos ω xcos? -ω x?(ω >0)的最小正周期为π,则ω ?2 ?
的值为________. 解析 f(x)=cos

?π ? ω xcos? -ω x?=cos ?2 ?
答案 1

1 ω xsin ω x= sin 2ω x, 2

2π ∴T= =π.∴ω =1. 2ω

π? ? 14.函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是______. 4? ? π kπ π 解析 由 2x+ =kπ,k∈Z,得:x= - ,k∈Z, 4 2 8

?kπ π ? 故交点坐标为? - ,0?(k∈Z). ?2 8 ?
15.已知函数 f(x)=sin(x+θ )+ 数,则θ 的值为________. 解析

答案

?kπ π ? ? - ,0?(k∈Z) ?2 8 ?

? ? π π? ? 3cos(x+θ )?θ ∈?- , ??是偶函 ? ? 2 2 ??

π? ? (回顾检验法)据已知可得 f(x)=2sin?x+θ + ?,若函数为偶函 3? ?

π π π π ? π π? 数, 则必有θ + =kπ+ (k∈Z), 又由于θ ∈?- , ?, 故有θ + = , 3 2 3 2 ? 2 2? π π 解得θ = ,经代入检验符合题意.答案 6 6

三、解答题

?π ? 16.已知 f(x)=sin x+sin? -x?. ?2 ?
求 f(α )的值;

1 (1)若α ∈[0,π],且 sin 2α = , 3

(2)若 x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由题设知 f(α )=sin α +cos α . 1 ? π? ∵sin 2α = =2sin α ·cos α >0,α ∈[0,π],∴α ∈?0, ?,sin α + 3 ? 2? cos α >0. 4 2 由(sin α +cos α )2=1+2sin α ·cos α = ,得 sin α +cos α = 3 3 2 ∴f(α )= 3. 3 (2)由(1)知 f(x)= 3,

? π? 2sin?x+ ?,又 ? 4?

0≤x≤π,∴f(x)的单调递增区间为

? π? ?0, ?. ? 4?
17.设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π<φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴 π 是直线 x= . 8 (1)求φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

π π π 解 (1)令 2× +φ =kπ+ ,k∈Z,∴φ =kπ+ ,k∈Z, 8 2 4 5 1 3π 又-π<φ <0,则- <k<- ,k∈Z,∴k=-1,则φ =- . 4 4 4 3 π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ?, 4? ? π 3π π π 5π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k 2 4 2 8 8 ∈Z, 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为? +kπ, +kπ?,k∈Z. 8 ?8 ? 18、 设函数 f ( x) ? sin(
?x ? ?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . (1) 求 f ( x) 的最小正周期. 4 6 8
4 3

(2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时
y ? g ( x) 的最大值.

解: (Ⅰ) f ( x) = sin x cos ? cos x sin ? cos x
4 6 4 6 4

?

?

?

?

?

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin( x ? )
4 3

?

?

故 f ( x) 的最小正周期为 T = (Ⅱ)解法一:

2? =8 ? 4

在 y ? g ( x) 的 图 象 上 任 取 一 点 ( x , g ( x ) , ) 它 关 于 x ?1 的 对 称 点 . ( 2? x ,g (x ) ) 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3

?

?

4 3 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大 3 4 3 4 3 3

= 3 sin[ ? x ? ] = 3 cos( x ? )
2

?

?

?

?

?

值为
? 3 gm a? x 3 c o? s 3 2

解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的 图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最 大值 由(Ⅰ)知 f ( x) = 3 sin( x ? ) 当 ? x ? 2 时, ? ?
4 3 6 4 3 2 3 4 3 2 3

?

?

2 3

?

?
4

?

?
3

?

?
6

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 sin

4 3

?
6

?

3 . 2
f ( x)

x?R , ·b , cos 2 x) , 19、 设函数 f ( x) ? a 其中向量 a ? (m, 且y? b ? (1 ? sin 2 x, 1) ,

? 的图象经过点 ? 2? . ? , π ?4 ?

(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. (3)求函数的单调区间; (4)函数图象沿向量 c 平移得到 y ? 2 sin 2x 的图 象,求向量 c 。 19、 (1) m ? 1 (2) x ? k? ? (k ? Z)时, y min ? 1 ? 2
? (3) (增区间: ?k? ? ? 3? ?? ? 5? ? ? , k? ? ?, 减区间: k? ? , k? ? , (k ? Z )) ? 8 8? 8 8 ? ? ?
3? 8

(4) c ? ( ,?1)
8

?

? ?? 20、设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? ,给出下列三个论断:
? 2 2?

① f ? x ? 的图象关于直线 x ? ? 对称; ② f ? x ? 的周期为 ? ;
6

?

③ f ? x ? 的图象关于点 ? ?

? , 0 ? 对称. ? 12 ?

?

以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题,并对该命题加以证明.
①? ①? ②? ? ? ③ 或 ? ? ② , ? ? ① 证明略 ②? ③? ③?


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