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2013北京东城高三二模数学(理)试题及答案


北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二)
数学 (理科) 2013.05 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1、 已知集合 A ? ?x | x ? x ? 1? ? 0 , ?R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2 ,x

?R? ,那么集合 A ? B 是( x A. ? B. ?x | 0 ? x ? 1,x ?R? C. ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ?R? )

D. ?x | ?2 ? x ? 1,x ?R?
频率 组距 0.054

2、 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图, 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : ? 40 , ? , ?50 , ? , ?60 , ? , 50 60 70
100 ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 , ? ,则图中 x 的值等于(


x 0.01 0.006 0

A. 0.754 B. 0.048 ? C. 0.018 D. 0.012 3、 已知圆的极坐标方程是 ? ? 2cos? ,那么该圆的直角坐标方程 是( )
2

成绩 40 50 60 70 80 90 100

A. ? x ? 1? ? y 2 ? 1

B. x2 ? ? y ? 1? ? 1
2

C. ? x ? 1? ? y 2 ? 1
2

D. x2 ? y 2 ? 2 新网

4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱 锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) 正(主)视图 A.1 B.2 开始 C.3 俯视图 D.4 输入x 5、 阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ? 25 时,输出 x 的值为 否 ( ) x >1 A. 1 是 x= x 1 B. 2 C. 3 D. 4
?π ? 3 6、 已知 sin ? ? x ? ? ,那么 sin 2x 的值为( ?4 ? 5
x =3x +1

侧(左)视图


输出 x

A.

3 25

B.

7 25

C.

9 25

D.

18 http://www .xkb1 .com 25

结束

7、 过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

0 8、 已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? ? ??, ? 时, f ? x ? ? xf ? ? x? ? 0 (其中 f ? ? x ? 是
1? ? f ? x ? 的导函数) ,若 a ? 30.3 ? f 30.3 , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? , c ? ? log 3 ? ? 9? ? ) c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

? ? ? ?

1? ? f ? log 3 ? ,则 a , b , 9? ?

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
1

? ? ? ? 9、 已知向量 a ? ? 2 , 3? , b ? ?1, ? ,若 a ∥ b ,则 ? ? ________. ? ?

10、 若复数

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值为________. 1? i

11、 各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2 , S4 ? 5S2 ,则 a1 的值为________, S4 的 值为________. 12、 如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A ,且过点 C 的割线
CMN 交 AB 的延长线于点 D ,若 CM ? MN ? ND , AC ? 2 2 ,
A O

B 则 CM ? ________, AD ? ________. D C M N 13、 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有 一名志愿者的方案共有________种. a a 14、 在数列 ?an ? 中,若对任意的 n ? N* ,都有 n ? 2 ? n ?1 ? t ( t 为常数) ,则称数列 ?an ? 为比等差数列, an ?1 an

t 称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;新 课 标 第 一 网 2n?1 1 ②若数列 ?an ? 满足 an ? 2 ,则数列 ?an ? 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 n ③若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ≥ 3 ) ,则该数列不是比等差数列;
④若 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则数列 ?anbn ? 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15、 (本小题共 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x

?

3 cos x ? sin x .

?

2π ? ? ⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期;⑵ 当 x ? ? 0 , ? 时,求 f ? x ? 的取值范围. 3 ? ?

16、 (本小题共 13 分)某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测 试结果如下表: (单位:人) 男 女 优秀 180
120

良好 70 a

合格 20
30

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中任选 2 人,记 X 为 抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.k B 1 . c o m 17、 (本小题共 14 分)如图, △ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90? ,将 △ BCD 沿 BD 折叠 到 △BC ?D 的位置,使得 AD ? C ?B . ⑴ 求证: AD ? AC ? ; ⑵ 若 M , N 分别是 BD , C ?B 的中点,求二面角 N ? AM ? B 的余弦值.

2

A

C

B

D
N A D M

C

B

18、

(本小题共 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ⑴ 求 f ? x ? 的单调区间;

a (a ? 0) . x

1 ⑵ 如果 P ? x0 ,y0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 上的任意一点,若以 P ? x0 ,y0 ? 为切点的切线的斜率 k ≤ 恒成 2 立,求实数 a 的最小值; x 3 ? 2 ? bx ? a ? 1 ? 的实根情况. ⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x ? ? 2x 2

19、 (本小题共 13 分)新|课
2 2

|标| 第 |一| 网

已知椭圆 C : 距离是

3 x y ,原点到过点 A ? a , ? , B ? 0 , b ? 的直线的 0 ? ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b

4 5 . 5 ⑴ 求椭圆 C 的方程;

⑵ 若椭圆 C 上一动点 P ? x0 ,y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ? x1 ,y1 ? ,求 x12 ? y12 的取值范围. 1 ⑶ 如果直线 y ? kx ? 1 ( k ? 0 )交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆心的圆上, 求 k 的值.

20、 (本小题共 13 分) 已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4 n ?1 ? 1 ( n ? N* ) . ⑴求 a 4 , a 7 ; ⑵是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N* ,有 an?T ? an ; ⑶设 S ?

a a a1 a2 ? ? 3 ? ? ? nn ? ? ,问 S 是否为有理数,说明理由. 10 102 103 10

3

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二)
数学参考答案(理科)2013
一、 (1)B (4)D(5)D (6)B (7)D 3 1 15 2 7 二、 (9) ? (10) 1 (11) (12) 2 (13) 150 2 2 2 注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、 (15)解: )因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x (Ⅰ (2)C (3)A (8)C\ (14)① ③

1 1 1 ? 1 = (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 2 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ 因为 0 ? x ? )

2? ? ?. ?

2? ? ? 3? 3 1 , 所以 ? 2x ? ? . 所以 f ( x) 的取值范围是 (? , ] .…13 分 3 6 6 2 2 2 50 30 (16)解: )设该年级共 n 人,由题意得 (Ⅰ ,所以 n ? 500 . ? n 180 ? 120 则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 .
(Ⅱ )依题意, X 所有取值为 0,1, 2 . P( X ? 0) ?
2 C 1C 1 3 C2 3 C2 1 ? , P( X ? 1) ? 2 2 3 ? , P( X ? 2) ? 32 ? . C52 10 C5 5 C5 10

X 的分布列为: X
P
0

1 10

1 3 5

2 3 10

EX ? 0 ?

1 3 3 6 ?1 ? 2 ? ? ? . 10 5 10 5

………………………………………13 分 所以 AD ? AB , 所以 AD ? 平面 C ' AB , 又
z C

(17) )证明:因为 ?BAD ? 90? w (Ⅰ 因为 C ' B ? AD ,且 AB ? C ' B ? B ,

因为 AC ' ? 平面 C ' AB , 所以 AD ? AC ' . (Ⅱ )因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90? , 不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 2 , 又因为 M , N 分别为 BD , C ' B 的中点, 由此以 A 为原点, AB , AD , AC ' 所在直线为坐标轴建立空间直 角坐标系 A ? xyz . 则有 A(0, 0, 0), B(1,0,0) , D(0,1,0) , C ' (0,0,1) ,
x B N

A D M y

???? ? 1 1 ???? 1 1 1 1 1 1 M ( , ,0) , N ( ,0, ) .所以 AM ? ( , ,0) , AN ? ( ,0, ) . 2 2 2 2 2 2 2 2

???? ? ? AM ? m ? 0 , ? 设平面 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) .则 ????? ? AN ? m ? 0. ?

1 ?1 ? 2 x ? 2 y ? 0, ? 即? ? 1 x ? 1 z ? 0. ?2 ? 2

令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 .所以 m ? (1, ?1, ?1) . 又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0,0,1) . 所以 cos ? m, n ??
3 m ? n ?1 3 ? ?? .所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 . 3 m n 3 3
4

…14 分

(18)解:(Ⅰ f ( x) ? ln x ? )

a 1 a x?a ,定义域为 (0, ??) , 则 f | ( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x 因为 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) , 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) . x ?a 1 (Ⅱ )由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足 k ? f ?( x0 ) ? 0 2 ? x0 2

, ( x0 ? 0 )

1 1 1 1 所以 a ? ? x02 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立.又当 x0 ? 0 时, ? x02 ? x0 ? ,所以 a 的最小值为 . 2 2 2 2 1 1 x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 化简得 b ? ln x ? x2 + 2 2 2x 2 1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) 令 h( x) ? ln x ? x2 ? b ? ,则 h?( x) ? ? x ? . 2 2 x x 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减.
(Ⅲ )由题意,方程 f ( x) ?
x ? (0, ??)

1 1 所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为 h(1) ? ln1 ? ? 12 ? b ? ? ?b . 2 2
所以 当 ?b ? 0 , 即 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有两个实根, 2x 2

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有一个实根, 2x 2 3 x ? 2(bx ? a) 1 当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点,方程 f ( x) ? ? 无实根. 14 分 2x 2 c 3 (19)解: (Ⅰ )因为 ? , a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 a ? 2b . a 2
当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点,方程 f ( x) ? 因为原点到直线 AB :
ab 4 5 x y ? ,解得 a ? 4 , b ? 2 . ? ? 1 的距离 d ? 2 2 5 a b a ?b

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y ? ? 1. 16 4
? y1 ? 2 ? ?1, ? x1 ? y1 x ?x ? 2? 0 1 . 2 2

2

? y0 ?x ? (Ⅱ )因为点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ? x1 , y1 ? ,所以 ? 0 1 ? y0 ? ? 4 y ? 3x0 3 y ? 4x0 2 2 解得 x1 ? 0 , y1 ? 0 .所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 . 5 5

因为点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C :

x2 y 3x 2 ? ? 1 上,所以 x12 ? y12 ? x02 ? y02 ? 4 ? 0 . 4 16 4

2

因为 ?4 ? x0 ? 4 , 所以 4 ? x12 ? y12 ? 16 .所以 x12 ? y12 的取值范围为 ? 4, 16? .
? y ? kx ? 1, ? (Ⅲ )由题意 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 ?1 ? ? ?16 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ?12 ? 0 .

可知 ? ? 0 . 设 E ( x2 , y2 ) , F ( x3 , y3 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) ,

5

则 xM ?

y ?2 1 x2 ? x3 ?4k 1 ?? . , yM ? kxM ? 1 ? .所以 k BM ? M ? 2 2 xM k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 . 即 又因为 k ? 0 , 所以 k 2 ?

?4k k ? ? 2k ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

2 1 .所以 k ? ? . ……13 分 4 8 (20)解: ) a4 ? a2 ? a1 ? 1 ; (Ⅰ a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ )假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 则 a2n?T ? a2n ? an , 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . (Ⅲ )若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N 0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n ? N0 ,有 an?T ? an . 与(Ⅱ )同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 当 4n ? 1 ? N0 时,有 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4(n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 当 n ? N0 时,有 a2n?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an ?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数. ……………………………………………………13 分 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4(n?t )?1 ? 0 .

若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an ?t

6


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