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2015上海市初三数学竞赛(大同杯原新知杯)


2015 上海市初三数学竞赛(大同中学杯) (原新知杯) 一、填空题(每题 10 分,共 80 分)
1.已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 1, 延长 AB 到点 C ,使得 BC ? 1 , CD 是圆 O 的切线, D 为切点,则 ?ABD 的 面积为_____________.

2.有编号分别为 1,2,3,4,5,6,7 的 7 个大小相同的小球, 从中任取 3 个小球, 则取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率 是____________.

3.实数 x、 y 满足 x 2 ? 3 y ? 4, y 2 ? 3x ? 4, x ? y, 则

x y ? 的值为__________. y x

4.若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍,则这三个素数为___________________. 5.如图,圆 O1 和圆 O2 外切于点 P ,从圆 O1 上点 A 作圆 O2 的切线 AB , B 是切点,联接 AP 并延长,与圆 O2 交于 点 C ,已知圆 O1 、圆 O2 的半径分别为 2、1,则

AC ? __________ . AB

?MON 的两边分别是射线 y ? x( x ? 0) 与 x 轴正半轴。 6.如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A?6,5? 、B(10,2)
是 ?MON 内的两个定点,点 P、Q 分别是 ?MON 两边上的动点,则四边形 ABQP 周长的最小值是___________.

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7.不定方程 x 2 ? y 2 ? xy ? 2x ? 2 y 的整数解 ? x, y ? 共有_____________组。

2 2 2 8.设 a 是给定的正实数, n 是给定的大于 1 的整数,实数 x1 , x2 ,?, xn 满足 x1 ? x2 ??? xn ? a ,则

?x1 ? x2 ?2 ? ?x1 ? x3 ?2 ??? ?x1 ? xn ?2 ? ?x2 ? x3 ?2 ??? ?x2 ? xn ?2 ??? ?xn?1 ? x2 ?2 的最大值为________.
二、解答题(第 9、10 题每题 15 分,第 11、12 题每题 20 分,共 70 分) 9.如图,在 ?ABC 中, BC ? a, CA ? b, ?ACB ? 60?,?ABD 是正三角形, P 是其中心,求 CP 的长度。

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10.在 1 , 2,3, ?, 2015这 2015 个正整数中选出 k 个数,使得其中任意两个不同的数的和都不是 50 的倍数,求 k 的最 大值。

11.已知 ?ABC 的三边长均为正整数,周长为 35,G 和 I 分别为 ?ABC 的重心和内心,且 ?GIC ? 90?, 求 AB 的长 度。

12.设 a、 b 是正整数, a ? b 不是 4 的倍数,求证: ?a ? 3b??5a ? 7b? 不是完全平方数。
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