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2014届高三数学辅导精讲精练62


2014 届高三数学辅导精讲精练 62
x2 y2 1.若椭圆16+b2=1 过点(-2, 3),则其焦距为 A.2 5 C.4 5 答案 解析 D 4 3 ∵椭圆过(-2, 3), 则有16+b2=1, 2=4, 2=16-4=12, b c c=2 3, B.2 3 D.4 3 ( )

2c=4 3.故选 D. x2 y2 2. 已知椭圆 + =1, 长轴在 y 轴上, 若焦距为 4, m 等于( 则 10-m m-2 A.4 C.7 答案 解析 D 椭圆焦点在 y 轴上,∴a2=m-2,b2=10-m. B.5 D.8 )

又 c=2,∴m-2-(10-m)=c2=4. ∴m=8. x2 y2 10 3.已知椭圆 5 +m=1 的离心率 e= 5 ,则 m 的值为 A.3 C. 15 答案 B 25 B.3 或 3 5 15 D. 15或 3 ( )

解析

?5>m, 若焦点在 x 轴上,则有? 5-m ? 5 =

10 5 .

∴m=3.

?m>5, 若焦点在 y 轴上,则有? m-5 ? m =

10 5 .

25 ∴m= 3 . x2 y2 3 4.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为5.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为 A.10 C.16 答案 D B.12 D.20 ( )

解析

如图,由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a,又

c 3 3 e=a=5,即 c=5a, 16 ∴a2-c2=25a2=b2=16. ∴a=5,△ABF2 的周长为 20. x2 y2 5.椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c.若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为 1 A.2 3 C. 2 答案 解析 A c 1 由 d1+d2=2a=4c,∴e=a=2. 2 B. 2 3 D.4 ( )

x2 6.已知椭圆 4 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且 → → MF1· 2=0,则点 M 到 y 轴的距离为 MF 2 3 A. 3 3 C. 3 2 6 B. 3 D. 3 ( )

答案 解析

B 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0).

→ → 设 M(x,y),则MF1· 2=(- 3-x,-y)· 3-x,-y)=0,整理得 x2+y2 MF ( =3.① x2 又因为点 M 在椭圆上,故 4 +y2=1, x2 即 y2=1- 4 .② 3 2 6 将②代入①,得4x2=2,解得 x=± 3 . 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 3 . x2 y2 1 7.设 e 是椭圆 4 + k =1 的离心率,且 e∈(2,1),则实数 k 的取值范围是 ( A.(0,3) 16 C.(0,3)∪( 3 ,+∞) 答案 解析 C 1 k-4 16 当 k>4 时,c= k-4,由条件知4< k <1,解得 k> 3 ; 16 B.(3, 3 ) D.(0,2) )

当 0<k<4 时,c= 4-k, 1 4-k 由条件知4< 4 <1,解得 0<k<3,综上知选 C. x2 y2 8.(2013· 温州五校)已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的 → → 1 一点,若PF1· 2=0,tan∠PF1F2=2,则此椭圆的离心率为 PF 1 A.2 1 C.3 答案 D 2 B.3 5 D. 3 ( )

解析

→ → 1 由PF1· 2=0,得△PF2F2 为直角三角形,由 tan∠PF1F2=2,设|PF2| PF

5 =s,则|PF1|=2s,又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c= a2-b2),即 4c2=5s2,c= 2 s,而 3s c 5 |PF2|+|PF1|=2a=3s,∴a= 2 .∴离心率 e=a= 3 ,故选 D. x2 y2 9.已知椭圆 4 + 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,点 P 为该椭圆上一动 → → → → 点,则当PF2· 1取最小值时|PA1+PF2|的取值为 PA A.0 C.4 答案 解析 B 由已知得 a=2,b= 3,c=1,所以 B.3 D.5 ( )

F2(1,0),A1(-2,0),设 P(x,y), → → 则PF2· 1=(1-x,-y)· PA (-2-x,-y) =(1-x)(-2-x)+y2. 3 又点 P(x,y)在椭圆上,所以 y2=3-4x2,代入上式, → → 1 1 得PF2· 1=4x2+x+1=4(x+2)2. PA 又 x∈[-2,2], → → 所以 x=-2 时,PF2· 1取得最小值. PA → → 所以 P(-2,0),求得|PF2+PA1|=3. 10.设 F1,F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆,已知圆 F2 经过椭圆的 中心,且与椭圆相交于点 M,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率为 ( A. 3-1 2 C. 2 答案 A B.2- 3 3 D. 2 )

解析

π 由题意知∠F1MF2=2, 2|=c, 1M|=2a-c, c2+(2a-c)2=4c2, |MF |F 则

e2+2e-2=0,解得 e= 3-1.

x2 2 11.已知点 M( 3,0),椭圆 4 +y =1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、B,则 △ABM 的周长为______________. 答案 解析 8 x2 2 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭圆 +y =1 4

的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2=8. x2 y2 12.已知点 A(4,0)和 B(2,2),M 是椭圆25+ 9 =1 上一动点,则|MA|+|MB| 的最大值为________. 答案 解析 10+2 10

显然 A 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为 A1(-4,0),连 BA1 并延长交椭圆于 M1,则 M1 是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆 上的任意点 M 有: |MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当 M1 与 M 重合时取等号), ∴|MA| +|MB|的最大值为 2a+|A1B|=2×5+ 62+22=10+2 10. x2 y2 13.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:x2+y2=b2 的一条切线, π 记椭圆 C 的离心率为 e.若直线 l 的倾斜角为3,且恰好经过椭圆的右顶点,则 e

的大小为______. 答案 解析 1 2

如图所示,设直线 l 与圆 O 相切于 C 点,椭圆的右顶点为 D,则由题意, π 知△OCD 为直角三角形,且 OC=b,OD=a,∠ODC= ,∴CD= OD2-OC2 3 c π 1 = a2-b2=c(c 为椭圆的半焦距),∴椭圆的离心率 e=a=cos3=2. y2 14.F1,F2 是椭圆 E:x +b2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E
2

相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为________. 答案 解析 2 3 由椭圆的定义可知

|AF1|+|AF2|=2a=1,|BF1|+|BF2|=1,相加得 |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2. ∴|AF2|+|BF2|=2-(|AF1|+|BF1|)=2-|AB|. ∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, ∴2|AB|=|AF2|+|BF2|. 2 于是 2|AB|=2-|AB|,∴|AB|=3.

x2 y2 15.如右图,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点, A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率;

→ → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程. 解析 即 b=c. c 2 所以 a= 2c,e=a= 2 . (2)由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), → → 3 b 由AF2=2F2B,解得 x=2,y=-2. 9 b2 4 4 x2 y2 代入a2+b2=1,得a2+b2=1. 9 1 即4a2+4=1,解得 a2=3. x2 y2 所以椭圆方程为 3 + 2 =1. 16.(2013· 沧州七校联考)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0), 且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3. (1)求椭圆 C 的方程; → (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP|最小时, 点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. 答案 x2 y2 (1)16+12=1 (2)1≤m≤4 (1)若∠F1AB=90° 则△AOF2 为等腰直角三角形. , 所以有|OA|=|OF2|,

解析

?c=2, ?a 2 (1)由题意知?b= , 3 ?a2=b2+4, ?

2 ?a =16, 解之得? 2 ?b =12.

x2 y2 ∴椭圆方程为16+12=1. x2 y2 0 0 (2)设 P(x0,y0),且16+12=1, → ∴|MP|2=(x0-m)2+y2 0 x2 0 2 2 =x0-2mx0+m +12(1- ) 16

1 2 =4x0-2mx0+m2+12 1 =4(x0-4m)2-3m2+12. → ∴|MP|2 为关于 x0 的二次函数,开口向上,对称轴为 4m. → 由题意知,当 x0=4 时,|MP|2 最小,∴4m≥4,∴m≥1. 又点 M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4. x2 y2 17.(2013· 潍坊质检)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 y2 x2+ 2 =1 有相同的离心率,斜率为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不 同的两点 A、B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. 解析 (1)∵椭圆 C 的焦距为 4,∴c=2.

y2 2 又∵椭圆 x2+ 2 =1 的离心率为 2 , c 2 2 ∴椭圆 C 的离心率 e=a=a= 2 ,∴a=2 2,b=2. x2 y2 ∴椭圆 C 的标准方程为 8 + 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx+1, ? 由?x2 y2 ? 8 + 4 =1 ? 消去 y,得(1+2k2)x2+4kx-6=0.

-4k -6 ∴x1+x2= . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 由(1)知椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0), → → ∵右焦点 F 在圆的内部,∴AF· <0. BF ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0, 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0. ∴(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5

-6 -4k 8k-1 =(1+k2)· +(k-2)· +5= <0, 1+2k2 1+2k2 1+2k2 1 ∴k<8. 1 经检验,当 k<8时,直线 l 与椭圆 C 相交. 1 ∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为(-∞,8).

x2 y2 1.已知 F1、F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P(- 2,1) → → 在椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足PM+F2M=0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上任一动点 N(x0, 0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1, 1), 3x1 y y 求 -4y1 的取值范围. 解析 (1)由已知,点 P(- 2,1)在椭圆上,

2 1 ∴有a2+b2=1.① → → 又∵PM+F2M=0,M 在 y 轴上, ∴M 为 PF2 的中点. ∴- 2+c=0,c= 2. ∴a2-b2=2,② 解得①②,得 b2=2(b2=-1 舍去), ∴a2=4. x2 y2 故所求椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1. (2)∵点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1),

?y0-y1×2=-1, ?x0-x1 ∴? ?y0+y1=2×x0+x1. ? 2 2

?x1=4y0-3x0, ? 5 解得? 3y +4x ?y1= 0 5 0. ?
∴3x1-4y1=-5x0. x2 y2 ∵点 N(x0,y0)在椭圆 C: 4 + 2 =1 上, ∴-2≤x0≤2. ∴-10≤-5x0≤10, 即 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10]. x2 y2 2.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0,b),原点 O 到直线 2 FA 的距离为 2 b. (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上,求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标. 解析 + (1)由点 F(-ae,0), A(0, 点 b)及 b= 1-e2a 得直线 FA 的方程为 x -ae

y 2 2 =1,即 1-e x-ey+ 1-e a ae 1-e2=0, 2 ∵原点 O 到直线 FA 的距离为 2 b=a ae 1-e2 ∴ =a 1-e2+e2 1-e2 2 2 ,解得 e= 2 . 1-e2 2 ,

2 (2)∵F(- 2 a,0)关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,且直线 l:2x+y=0 经过 2 圆 O:x2+y2=4 的圆心 O(0,0),∴F(- 2 a,0)也在圆 O 上. 2 从而(- 2 a)2+02=4,得 a2=8,∴b2=(1-e2)a2=4. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1.

∵F(-2,0)与 P(x0,y0)关于直线 l 对称,

?x0y0 =1, ? +2 2 ∴? x -2 ?2·0 2 +y0=0. ? 2
6 8 解得 x0=5,y0=5. 6 8 ∴点 P 的坐标为(5,5).

x2 y2 3.如图,从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的 左焦点 F1,且它的长轴端点 A 与短轴端点 B 的连线 AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2 是右焦点,F1 是左焦点,求∠F1QF2 的取值范 围; (3)设 Q 是椭圆上任一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P, 若△F1PQ 的面积为 20 3,求此时椭圆的方程. 解析 (1)∵MF1⊥x 轴,∴xM=-c.

b2 b2 代入椭圆方程,得 yM= a ,∴kOM=-ac. b 又∵kAB=-a且 OM∥AB, b2 b 2 ∴-ac=-a.故 b=c,从而 e= 2 . (2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ. ∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c,
2 r1+r2-4c2 ?r1+r2?2-2r1r2-4c2 4b2 a2 a2 2 ∴cosθ= 2r r = =2r r -1=r r -1≥ -1 2r1r2 r1+r2 2 1 2 1 2 1 2 ? 2 ?

=0.(当且仅当 r1=r2 时,等号成立)

π ∵0≤cosθ≤1,故 θ∈[0,2]. x2 y2 (3)∵b=c,a= 2c,∴设椭圆方程为2c2+c2=1. 2 ∵PQ⊥AB,kAB=- 2 ,kPQ= 2, ∴直线 PQ 的方程为 y= 2(x-c). 联立可得 5x2-8cx+2c2=0. ∴|PQ|=
2 8c 2 4×2c 6 2c [? 5 ? - 5 ]?1+2?= 5 .

2 6 又点 F1 到 PQ 的距离 d= 3 c, 1 1 2 6 6 2 4 3 ∴S△F1PQ=2d|PQ|=2× 3 c× 5 c= 5 c2. 4 3 由 5 c2=20 3,得 c2=25,故 2c2=50. x2 y2 ∴所求椭圆方程为50+25=1.


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