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2014届高三数学二轮专题复习课后强化作业:3-1等差、等比数列的通项、性质与前n项和(Word有详解答案)


基本素能训练 一、选择题 1.(2013· 新课标Ⅰ理,7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1= 3,则 m=( A.3 C.5 [答案] C [解析] Sm-Sm-1=am=2,Sm+1-Sm=am+1=3, ∴d=am+1-am=3-2=1, m?m-1? Sm=a1m+ · 1=0,① 2 am=a1+(m-1)· 1=2, ∴a1

=3-m.② m2 m ②代入①得 3m-m2+ - =0, 2 2 ∴m=0(舍去)或 m=5,故选 C. S4 S6 2.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1, =4,则 的值为( S2 S4 9 A. 4 5 C. 3 3 B. 2 D.4 ) ) B.4 D.6

[答案] A [解析] S4-S2 S4 由等差数列的性质可知 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,由 =4 得 = S2 S2

3,则 S6-S4=5S2, S6 9 所以 S4=4S2,S6=9S2, = . S4 4 S6 3.(2012· 昆明第一中学检测)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 4a3-a6=0,则 = S3 ( ) A.-5 C.3 B.-3 D.5

[答案] D

[解析] ∵4a3-a6=0,∴4a1q2=a1q5,∵a1≠0,q≠0, a1?1-q6? 1-q 1-q6 S6 ∴q3=4,∴ = =1+q3=5. 3 = S3 a1?1-q ? 1-q3 1-q 4.(2013· 新课标Ⅱ理,3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

[答案] C [解析] ∵S3=a2+10a1,∴a1+a2+a3=a2+10a1,a3=9a1=a1q2,∴q2=9,又∵a5= 9,∴9=a3·2=9a3,∴a3=1, q 1 又 a3=9a1,故 a1= . 9 5.(2013· 安徽文,7)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9= ( ) A.-6 C.-2 [答案] A
?S3=4a3 ?3a1+3d=4a1+8d ?a1=10, ? ? ? [解析] ? ?? ?? ? ? ? ?a7=-2 ?a1+6d=-2 ?d=-2.

B.-4 D.2

∴a9=a1+8d=-6. 6.(2013· 东城区模拟)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2-a2+2a12=0,数列{bn} 7 是等比数列,且 b7=a7,则 b3b11 等于( A.16 C.4 B.8 D.2 )

[答案] A [解析] 由已知,得 2(a2+a12)=a2,4a7=a2,a7=4,所以 b7=4,b3b11=b2=16. 7 7 7 7.(2013· 沈阳质检)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=15,S5=55,则过点 P(3, a3 ),Q(4,a4)的直线的斜率为( A.4 C.-4 [答案] A 1 B. 4 D.-14 )

5?a1+a5? [解析] 由条件知 S5= =55,故 a1+a5=22,根据等差数列的性质知 a1+a5= 2 2a3=22,故 a3=11,因为 a4=15,则过 点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为 kPQ= 4 = =4,故选 A. 1 8.(2013· 镇江模拟)已知公差不等于 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 S3=- 21,a7 是 a1 与 a 5 的等比中项,那么在数列{nan}中,数值最小的项是( A.第 4 项 C.第 2 项 [答案] B [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则由 S3=a1+a2+a3=3a2=-21,得 a2=-7,又 由 a7 是 a1 与 a5 的等比中项,得 a2=a1·5,即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d),将 a2=-7 代入, a 7 3 结合 d≠0,解得 d=2,则 nan=n[a2+(n-2)d]=2n2-11n,对称轴方程 n=2 ,又 n∈N*, 4 结合二次函数的图象知,当 n=3 时,nan 取最小值,即在数列{nan}中数值最小的项是第 3 项. 二、填空题 9.(文)(2012· 吉林一中模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S5=55,则 过点 P(n,an),Q(n+2,an+2)的直线的斜率是________. [答案] 4 n-1 Sn S5 S2 3d [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则 =a1+ d,故 - = =6,解得 d=4. n 2 5 2 2 an+2-an 故直线 PQ 的斜率为 =d=4. 2 (理)(2013· 广东六校联考)设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 xn,则 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012 的值为________. [答案] -1 [解析] 因为 y′=(n+1)xn,所以在点(1,1)处的切线的斜率 k=n+1, 0-1 n 所以 =n+1,所以 xn= , xn-1 n+1 所以 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012 =log2013(x1·2· x2012) x ?· 1 2 2012 =log2013( ·· ?· ) 2 3 2013 =log2013 1 =-1. 2013


a4-a3 4-3

)

B.第 3 项 D.第 1 项

10.(文)(2 013· 北京理,10)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= ________,前 n 项和 Sn=________. [答案] 2,Sn=2n 1-2 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴q=2,再根据 a2+a4=a1q+a1q3=20 得 a1=2,所以 an=2n,利用求和公式可以得到 Sn=2n 1-2. (理)(2012· 沈阳市二模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,则数列{an}的通项公式为________.
?3 ? [答案] an=? n-1 ? 3 ?2·
+ +

?n=1? ?n≥2?
- -

[解析]

由条件知,Sn=3n ,∴n≥2 时,an =Sn-Sn- 1=3n-3n 1=2×3n 1,当 n=1

时,a1=S1=3 不满足,
? ?n=1? ?3 ∴an=? . n-1 ? ?n≥2? ?2×3

能力提高训练 一、选择题 1.(2012· 西安中学模拟)若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= +?+ 1 等于( anan+1 ) 2 1 B. (1- n) 3 4 2 1 D. (1- n) 3 2 1 1 + a1a2 a2a3

1 A.1- n 4 1 C.1- n 2 [答案] B

[解析] 因为 an=1×2n 1=2n 1,所以 an·n+1=2n 1·n=2×4n 1, a 2 1 1 1 - 1 所以 = ×( )n 1,所以{ }也是等比数列, anan+1 2 4 anan+1 1 1×?1- n? 4 1 1 1 1 2 1 所以 Tn= + +?+ = × = (1- n),故选 B. a1a2 a2a3 1 3 4 anan+1 2 1- 4 1 2.(2013· 山西四校联考)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数 2 a8+a9 列,则 =( a6+a7 A.1+ 2 C.3+2 2 [答案] C ) B.1- 2 D.3-2 2









[解析] 由条件知 a3=a1+2a2, ∴a1q2=a1+2a1q, ∵a1≠0,∴q2-2q-1=0, ∵q>0,∴q=1+ 2, ∴ a8+a9 2 =q =3+2 2. a6+a7

3.(2012· 山西四校联考)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此 数列前 20 项的和等于( A.290 C.580 [答案] B [解析] 由 a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87 得, a1+a20=30, 20×?a1+a20? ∴S20= =300. 2 bn+1 4.已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=1,an+1-an= =2,n∈N+,则数列{ban}的前 bn 10 项的和为( 4 A. (49-1) 3 1 C. (49-1) 3 [答案] D [解析] 由 a1=1,an+1-an =2 得,an=2n-1, 由 bn+1 - =2,b1=1 得 bn=2n 1, bn
-1)

)

B.300 D.600

) 4 B. (410-1) 3 1 D. (410-1) 3

∴ban=2an-1=22(n

=4n 1,



1×?410-1? 1 10 ∴数列{ban}前 10 项和为 = (4 -1). 3 4-1 5.(文)(2012· 山东淄博摸底)如表定义函数 f(x): x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2 )

对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,?,则 a2008 的值是( A.1 C.3 [答案] B B.2 D.4

[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律.由特殊到一般易知 a1=4,a2=

f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,?,据此可归纳 数列{an}为以 4 为周期的数列,从而 a2008=a4=2. 1 1 2 1 2 3 1 2 k (理)(2012· 湖南长郡中学一模)给出数列 , , , , , ,?, , ,?, ,?, 1 2 1 3 2 1 k k-1 1 在这个数列中,第 50 个值等于 1 的项的序号是( .. A.4900 C.5000 [答案] B [解析] 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的 和为 4,第 3 个 1 是分子、分母的和为 6,?,第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、 分母的和为 2 的有 1 项,分子、分母的和为 3 的有 2 项,分子、分母的和为 4 的有 3 项,?, 1 2 3 分子、分母的和为 99 的有 98 项,分子、分母的和为 100 的项依次是: , , ,?, 99 98 97 50 51 99 , ,?, ,第 50 个 1 是其中第 50 项,在数列中的序号为 1+2+3+?+98+50= 50 49 1 98?1+98? +50=4901. 2 [点评] 本题考查归纳能力,由已知项找到规律,“ 1”所在项的特点以及项数与分子、 B.4901 D.5001 )

分母的和之间的关系,再利用等差数列求和公式即可. 6.(2013· 南昌市二模)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d,已知(a8+1)3+2013(a8 +1)=1,(a2006+1)3+2013(a2006+1)=-1,则下列结论正确的是( A.d<0,S2013=2013 C.d<0,S2013=-2013 [答案] C [解析] 记 f(x)=x3+2013x,则函数 f(x)是在 R 上的奇函数与增函数;依题意有 f(a8+1) =-f(a2006 +1)=1>f(0)=0,即 f(a8 +1)=f[-(a2006 +1)]=1,a8 +1=-(a2006 +1),a8 + 1>0>a2006 + 1 , 即 a8>a2006 , d = 2013?a8+a2006? =-2013,故选 C. 2 二、填空题 7.在数列{an}中,若 a2 -a 2-1 =p(n≥2,n∈N*)(p 为常数),则称{an}为“等方差数 n n 列”.下列是对“等方差数列”的判断: ①若数列{an}是等方差数列,则数列{a2}是等差数列; n ②数列{(-1)n}是等方差数列; ③若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列必为常数列; a2006-a8 2013?a1+a2013? <0 ; a8 + a2006 = - 2 , S2013 = = 2 2006-8 B.d>0,S2013=2013 D.d>0,S2013=-2013 )

④若数列{an}是等方差数列,则数列{akn}(k 为常数,k∈N*)也是等方差数列. 其中正确命题的序号为________. [答案] ①②③④ [解析] 由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知①②③④均正确. 8.(2012· 西城期末考试)已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3 -a1 =6,则 a1 = 1 1 1 ________; 2+ 2+?+ 2=________. a1 a2 an [答案] 2 [解析] ∵? 1 1 (1- n) 3 4
2 ? ?a1q -a1=6,

?q=2, ?

∴a1=2,

1 1 ?1- n? 4 1 1 1 1 1 1 4 1 1 ∴an=2n,∴ 2+ 2+?+ 2= + 2+?+ n= = (1 - n). a1 a2 an 4 4 4 1 3 4 1- 4 三、解答题 9.(文)(2013· 浙江理,18)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. [解析] (1)由题意得 a1· 3=(2a2+2)2,a1=10, 5a 即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0, 由(1)得 d=-1,an=-n+11.则 1 21 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn=- n2+ n. 2 2 1 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11= n2- n+110. 2 2 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|

?-2n + 2 n, n≤11, =? 1 21 ?2n - 2 n+110, n≥12.
1
2 2

21

2x+3 1 (理)(2013· 天津十二区县联考)已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f( ), 3x an n∈N*. (1)求 数列{an}的通项公式;

(2)令 bn=

1 an-1an

(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+?+bn,若 Sn<

m-2004 对一切 n∈N*成 2

立,求最小的正整数 m. 1 2+3an 2 [解析] (1)∵an+1=f( )= =an+ , an 3 3 2 ∴{an}是以 为公 差,首项 a1=1 的等差数列, 3 2 1 ∴an= n+ . 3 3 (2)当 n≥2 时, 1 1 bn= = an-1an 2 1 2 1 ? n- ?? n+ ? 3 3 3 3 9 1 1 = ( - ), 2 2n-1 2n+1 当 n=1 时,上式同样成立. ∴Sn=b1+b2+?+bn 9 1 1 1 1 1 = (1- + - +?+ - ) 2 3 3 5 2n-1 2n+1 9 1 = (1- ), 2 2n+1 m-2004 m-2004 9 1 ∵Sn< ,即 (1- )< 对一切 n∈N*成立, 2 2 2 2n+1 9 1 9 1 9 又 (1- )随 n 递增,且 (1- )< , 2 2 2n+1 2n+1 2 9 m-2004 ∴ ≤ ,∴m≥2013,∴m 最小=2013. 2 2 10.(文)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)求数列{ n-1}的前 n 项和. 2 [解析]
? ?a1=1, ? ? ?d=-1. ?a1+d=0, ? (1)设等差数列{an}的公差为 d.由已知条件可得 ? ,解得 ? ?2a1+12d=-10,

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? an ? a2 an (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +?+ n-1,故 S1=1, 2 2 ? ?

Sn a1 a2 an = + +?+ n. 2 2 4 2 所以,当 n>1 时, a2-a1 an-an-1 an Sn =a1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 2-n 1 1 1 =1-( + +?+ n-1)- n 2 4 2 2 2-n n 1 =1-(1- n-1)- n = n. 2 2 2 n 所以 Sn= n-1. 2
? an ? n 综上,数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ? ?

(理)(2012· 福建厦门质检)已知等差数列{an}的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n(n∈ N*). (1)求 p 的值及 an; 2 9 (2)若 bn= ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn> 成立的最小正整数 n 的 10 ?2n-1?an 值. [解析] 本题主要考查等差数列的概念及有关计算,数列求和的方法,简单分式不等

式的解法,化归转化思想及运算求解能力等. (1)解法 1:∵{an}是等差数列, n?n-1? n?n-1? ∴Sn=na1+ d=na1+ ×2 2 2 =n2+(a1-1)n. 又由已知 Sn=pn2+2n, ∴p=1,a1-1=2,∴a1=3, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1. 解法 2:由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即 a1+a2=4p+4,∴a2=3p+2. 又等差数列的公差为 2,∴a2-a1=2, ∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1. 解法 3 :当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2, ∴a2=3p+2,由已知 a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1, ∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1, ∴p=1,an=2n+1.

2 1 1 (2)由(1)知 bn= = - , ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n =( - )+( - )+( - )+?+( - )=1- = . 1 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 9 2n 9 又∵Tn> ,∴ > ,∴20n>18n+9, 10 2n+1 10 9 即 n> ,又 n∈N*. 2 9 ∴使 Tn= 成立的最小正整数 n 的值为 5. 10


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