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浙江省衢州市2015届高三理科数学11月月考试试卷(含答案)


2015 年 11 月衢州市高三教学质量检测



学(理)
命题者:郑建忠、郑辛夷、周爱娟 审题者:李寿军

考生须知: 1.全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后,将答题卷上交. 2.试卷共 4 页,三大题,共 20 小题.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.请将答案做在答题卷的相应位置上,写在试卷上无效. 参考公式: 球的表面积公式 锥体的体积公式 1 S=4πR2 V= Sh 球的体积公式 3 4 3 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体 V= πR 的高 3 其中 R 表示球的半径

试卷Ⅰ
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 ... 项 是符合题目要求的. ) . 1.设集合 P ? x x ? 1 , Q ? x x ? 0 , 则下列结论正确的是(▲) A. P ? Q B. P ? Q ? R C. P ? Q D. Q ? P

?

?

?

?

2.下列函数中,在其定义域上既是奇函数又是增函数的是(▲) A. y ? loga x B. y ? x ? x
3

C. y ? 3

x

D. y ? ?

1 x

3.已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则“ a ? ?2 ”是“ l1 ? l2 ”的 (▲) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.若 l , m, n 是不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题正确的是(▲) 、 A. ? / / ? , l ? ? , n ? ? ? l / / n ? ? ? ? ? B.? l ? n, m ? n ? l / / m C. l ? ? , l / / ? ? ? ? ? D. ? ? ? , l ? ? ? l ? ?

高三教学质量检测数学(理)试卷

(第 1 页 共 10 页)

?x ? 3y ? 5 ? 0 ? 5.已知实数 x, y 满足: ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? x ? 2y 的最小值为 ?4 ,则实数 a ? (▲) ?x ? a ? 0 ?
A. 1 B. 2 6.为了得到函数 y ? cos(2 x ?

?
6

C. 4

D. 8

) 的图像,可以将函数 y ? sin 2 x 的图像(▲)

? 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 3
A.向右平移

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6
B.向右平移

7.设点 P ( x, y ) 是曲线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的动点,且满足

x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 2 2 ,则 a ? 2b 的取值范围为(▲)
A.

? 2, ?? ?

B. ?1, 2?

C. ?1, ?? ?

D.

? 0, 2?

8. 在等腰梯形 ABCD 中, AB / / CD,且 AB ? 2, AD ? 1, CD ? 2 x 其中 x ? (0,1) ,以

A, B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心
率为 e2 ,若对任意 x ? (0,1) 不等式 t ? e1 ? e2 恒成立,则 t 的最大值为(▲) A. 3 B. 5 C. 2 D.

2

第 II 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 题至第 12 题,每题 6 分,第 13 题至第 15 题,每题 4 分 共 36 分.把正确答案填在答题卡中的横线上. ) 9.已知双曲线:

x 2 y2 ? ? 1 ,则它的焦距为__▲_;渐近线方程为__▲ _;焦点到渐近线 9 16

的距离为__▲ _. 10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 5 ? 2a4 , a10 ? ?3 ,则 a1 ? __▲ _;

S8 ? __▲ _.
11.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的正视图
高三教学质量检测数学(理)试卷 (第 2 页 共 10 页)

和侧视图 (如下图所示) , 则 AD 与平面 PBC 所成角的大小为__▲ _; 三棱锥 D ? ABC 的体积为 __▲ _.
P D

2 2
4

2

2 2
A B C

2 4 侧视图

4 正视图

12.在 ?ABC 中,若 AB ? 1, AC ? 3, AB ? AC ? BC ,则其形状为__▲ _(①锐角三角

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ? BA?BC 形 ②钝角三角形 ③直角三角形,在横线上填上序号) ; ??? ? ? __▲ _. BC
13.已知 x, y 满足方程 x2 ? y ?1 ? 0 , 当 x ? 3 时, 则m ? 为 __▲ _. 14.过抛物线 y ? 2 x 的焦点作一条倾斜角为锐角 ? ,长度不超过 4 的弦,且弦所在的直线与
2

3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 的最小值 ? x ?1 y?2

圆x ? y ?
2 2

3 有公共点,则角 ? 的最大值与最小值之和是__▲ _. 16
2

15.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? f (a ? x) ? t ? 0 有 4 个不同的实数 根,且所有实数根之和为 2 ,则实数 t 的取值范围为__▲ _. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x)=4 3sin x cos x-4sin 2 x ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c , a ? 2 ,若对任意的 x ? R 不等式

?ABC 面积的最大值. f ( x)? f ( A ) 恒成立,求

高三教学质量检测数学(理)试卷

(第 3 页 共 10 页)

17.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PA ? 平 面 ABCD ,点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 AB ? AC ? 1 , AD ? 2 . (Ⅰ)证明: MN // 平面 PCD ; (Ⅱ)设直线 AC 与平面 PBC 所成角为 ? ,当 ? 在 (0, 变化时,求二面角 P ? BC ? A 的取值范围.

?
6

P

)内
N A B M C D

18.(本题满分 15 分)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P (1, ) ,离心率为 . 2 2 2 a b

(Ⅱ)设 F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ,

S ,求当 S 取最大值时直线 l 的方程,并求出最大值. 记 ?F 1MN 的内切圆的面积为
19. (本题满分 15 分) 设各项均为正数的等比数列 ?an ? 的公比为 q ,? an ? 表示不超过实数 an 的 最大整数(如 ?1.2? ? 1 ) ,设 bn ? ? an ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)若 a1 ? 4, q ?

1 ,求 Sn 及 Tn ; 2
1

? 2 ? 2013 ? q ? 1. (Ⅱ)若对于任意不超过 2015 的正整数 n ,都有 Tn ? 2n ? 1 ,证明: ? ? ?3?
20.(本题满分 14 分)设 x1 , x2 为函数 f ( x) ? ax ? (b ?1) x ? 1(a, b ? R,a ? 0) 两个不同零点.
2

(Ⅰ)若 x1 ? 1 ,且对任意 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,求 f ( x) ; (Ⅱ)若 b ? 2a ? 3 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? 2x ? a +2 是否存在负实根?若存在,求出该负 根的取值范围,若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若 a ? 2 , x2 ? x1 ? 2 , 且当 x ? ( x1 , x2 ) 时, g ( x) ? ? f ( x) ? 2( x2 ? x) 的最大值为

h(a) ,求 h(a) 的最小值.

高三教学质量检测数学(理)试卷

(第 4 页 共 10 页)

数学(理)参考答案
一、选择题: CBAC BDAB 二、填空题: 9. 10,

y??
1 ; 2

4 x, 4 ; 3
13. 8 ;

10. 15, 64 ; 14.

11.

?
2



16 ; 3

12.③,

7? ; 12

15. ?1 ,?.

? 3? ? 2?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本题满分 15 分)
高三教学质量检测数学(理)试卷 (第 5 页 共 10 页)

解: (Ⅰ) f ( x)=4 3sin x cos x-4sin 2 x ? 1

=2 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin 2 x ? 2 3 sin 2 x ? 2cos 2 x ?1
? 4sin(2 x ? ) ? 1 6
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?
2

解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

k ?Z

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

? ?

k ?Z 6 ? ?

(Ⅱ) 由题意得当 x ? A 时, f ( x) 取得最大值, 则 2A ? 解得 A ?

?
6

?

?
2

? 2k? k ? Z 及 A ? (0, ? )

?
6
2

1 1 S ?ABC ? bc sin A ? bc 2 4
2 2 2

由余弦定理得 4 ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 3bc ? 2bc ? 3bc 即 bc ?

4 ? 4(2 ? 3) 2? 3
1 ?4(2 ? 3) ? 2 ? 3 4

所以当 b ? c 时, ? S ?ABC ?max ?

17.(本题满分 15 分) (Ⅰ)证明:取 PD 中点 Q ,连接 NQ, CQ , 因为点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,所以

P

NQ / / AD / / CM , NQ ?

1 AD ? CM 2
又 MN ? ? 平面

N A B M C D

四边形 CQNM 为平行四边形,则 MN / / CQ

PCD , CQ ? 平面 PCD

所以 MN // 平面 PCD (Ⅱ)解法 1:连接 PM ,因为 AB ? AC ? 1 ,点 M 分别为 BC 的中点,则 AM ? BC 又 PA ? 平面 ABCD ,则 PM ? BC 所以 ? PMA 即为二面角 P ? BC ? A 的平面角 PAM 又 AM ? PM ? M ,所以 BC ? 平面 ,则平面 PBC ? 平面 PAM
高三教学质量检测数学(理)试卷 (第 6 页 共 10 页)

过点 A 在平面 PAM 内作 AH ? PM 于 H ,则 AH ? 平面 PBC . 连接 CH ,于是 ?ACH 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角,即 ?ACH = ? .

2 sin ?AMH ; 2 2 在 Rt△ AHC 中, CH ? sin ? ,∴ sin ?AMH ? sin ? . 2 π ∵0 ? ? ? , 6 1 2 ∴ 0 ? sin ? ? , 0 ? sin ?AMH ? . 2 2 π π 又 0 < ? < ,∴ 0 ? ? ? . 2 4 ? π? 即二面角 P ? BC ? A 取值范围为 ? 0, ? . ? 4? 解法 2:连接 PM ,因为 AB ? AC ? 1 ,点 M 分别为 BC 的中点,则 AM ? BC M ? B C 又 PA ? 平面 ABCD , 则P 所以 ? PMA 即为二面角 P ? BC ? A 的平面角, 设为 ? 以 AB,AC,AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
在 Rt△ AHM 中, AH ?

? ? 2 ?1 1 ? A(0, 0,, 0) B(1, 0,, 0) C (0, 1,, 0) M ? , , 0 ?,P ? 0, 0, tan ? ? ? ?, 2 ?2 2 ? ? ?

? 于是, PM ? ? , ,

???? ?

?1 1 ?2 2 ?

? ? 1 1 ? ??? ? ? ???? 2 tan ? ? , AM ? ? , , , 0 BC ? (?11 , , 0) . ? ? 2 ?2 2 ? ?

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) , 则由 n · BC ? 0,n · PM ? 0 .

??? ?

???? ?

?? x ? y ? 0, ? 得 ?1 1 2 z tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2 ??? ? 2 , , ) ,又 CA ? (0, 可取 n ? (11 ?1 , 0) , tan ? ??? ? n · CA 1 2 ? sin ? , 于是 sin ? ? ??? ? ? 2 2 n· CA 1 · 2? tan 2 ? π ∵0 ? ? ? , 6 1 2 ∴ 0 ? sin ? ? , 0 ? sin ?AMH ? . 2 2 π π 又 0 < ? < ,∴ 0 ? ? ? . 2 4
高三教学质量检测数学(理)试卷 (第 7 页 共 10 页)

即二面角 P ? BC ? A 取值范围为 ? 0, ? . 18.(本题满分 15 分)

? ?

π? 4?

9 1 c 1 解: (Ⅰ)由题意得 2 ? 4 ? 1, ? , a 2 ? b2 ? c 2 2 a b a 2
椭圆 C 的标准方程为

解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , ?F2 MN 的内切圆半径为 r ,则

S?F2 MN ?

1 1 ( MN ? F2 M ? F2 N )?r ? ? 8r ? 4r 2 2

所以要使 S 取最大值,只需 S?F2MN 最大

S ?F2 MN ?

1 F1 F2 y1 ? y2 ? y1 ? y2 2

设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1

x2 y 2 ? ? 1 可得 (3t 2 ? 4) y2 ? 6ty ? 9 ? 0 (*) 将 x ? ty ? 1 代入 4 3
? ? ? 0 恒成立,方程(*)恒有解, y1 ? y2 ?
2 S?F1MN ? (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 ?

?6t ? 9 , y1 y2 ? 2 2 3t ? 4 3t ? 4
记 m ? t 2 ? 1 (m ? 1)

12 t 2 ? 1 3 ? 4t 2

S?F1MN ?

12m 12 ? 2 3m ? 1 3m ? 1 m

在 ?1, ?? ? 上递减

当 m ?1 即t ? 0时,(S?F1MN )max ? 3 ,此时 l : x ? 1 19.(本题满分 15 分)

S max ?

9? 16

1 解: (Ⅰ) a1 ? 4, q ? 2

1 n ?1 1 n ?3 所以 an ? 4( ) ? ( ) 2 2

1 4(1 ? ( )n ) 2 ? 8(1 ? ( 1 )n ) 则 Sn ? 1 2 1? 2

因为 a1 ? 4, a2 ? 2, a3 ? 1 ,且 n ? 3时0 ? an ? 1

高三教学质量检测数学(理)试卷

(第 8 页 共 10 页)

?4 ?2 ? 所以 bn ? ? ?1 ? ?0

n=1 n=2 n=3 n?3

?4 ? 6 即Tn ? ? ? 7 ?

n=1 n=2 n?3

(Ⅱ)因为 Tn ? 2n ? 1 (1 ? n ? 2015)

b1 ? 3

bn ? Tn ? Tn?1 ? 2 (2 ? n ? 2015)

?bn ? ?an ? 所以3 ? a1 ? 4, 2 ? an ? 3 (2 ? n ? 2015)
又q ? a2 a1 ,所以0 ? q ? 1
(1)

q 2013 ?

a2015 a2

? 2 ? a2015 ? 3, 2 ? a2 ? 3, ?
2 1 3 1 ( ) 2013 ? q ? ( ) 2013 3 2
1 2 2013 ( ) ? q ?1 3

1 1 1 ? ? 3 a2 2
(2)

?

2 3 ? q 2013 ? , 3 2

由(1) (2)两式可得

20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 得函数 f ( x ) 关于 x ? 2 对称,则 ? 又 a ? b ?1?1 ? 0 解得 a ?

b ?1 ?2 2a

1 1 ,b ? ? 3 3

(Ⅱ)由 a ? 0 知只需考虑 x ?

a 时的情况 2

1 2 4 x ? x ?1 3 3 a 当 x ? 时 f ( x) ? 2x ? a +2 可化为 2 f ( x) ?

ax 2 ?(2a ? 4) x ? 1 ? a ? 2x+2 即ax2 ? (2a ? 2) x ? a ?1 ? 0
? ? ? (2a ? 2) 2 ? 4a(a ? 1) ? 8a 2 ? 4a ? 4 ? 0 且 ?a ? 1 ?0 a

所以关于 x 的方程 f ( x) ? 2x ? a +2 存在唯一负实根 x0

? ? ?(2a ? 2) ? (2a ? 2) 2 ? 4a(a ? 1) 1 1 1 x0 = ? ? ?(1 ? ) ? 2 ? ? 2 ? 2a a a a ? ?
令t ?

1 1 ? a 2

则t ? ?

1 2
(第 9 页 共 10 页)

高三教学质量检测数学(理)试卷

? ? 7 ? ? ? 1 ?1 7? 1 4 ? 在 ? ? , ?? ? x0 = ? ? ? t ? t 2 ? ? ? ? ? ? ? 上单调递增 2 2 4 2 7 ? ? ? ? 2 ? ? t? t ? ? ? 4? ?
0 则 x0 ? ?1 ? 2,

?

?
2

g ( x) ? ?a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 2( x2 ? x)
(Ⅲ)

2? ? ? x2 ? x1 ? a ? 2 ? a ( x2 ? x)( x ? x1 ? ) ? a ? ? a 2 ? ? ? ?

等号成立条件为 x ?
2

x2 ? x1 ? 2

2 a ? (x , x ) 1 2

所以

2? ? ? 2? a ? 1 2 1 h( a ) ? a ? ? ? a (1 ? ) ? a ? ? 2 a a ? 2 ? ? ?

因为 a ? 2

h(a ) min ? h(2) ?

9 2

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