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必修4


1.考纲要求 考纲要求: 考纲要求
理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π ] 的性质 (如单调性、最大值和最小值与轴的交点等). ? ? 理解正切函数在区间? π2 , π2 的单调性. ? ? ? ? 了解三角函数的周期性.

2.教学重点 教学重点: 教学重点
三角函数性质的应用

函数
1

y = sin x
y
1

y = cos x
y

y = tan x
y
π
2

图象
?1

0

π



x

?1

0

π



x

? 3π 2



2

0

3π 2

x

单调性

π 3π [ + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ z) 上递减 [π +2kπ, 2 +2kπ](k∈z)上递增 π 2 2
[? + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ z) 上递增 [2kπ , 2 kπ + π ]( k ∈ z )上递减 2 2 π x = 2 k π + , k ∈ z时,ymax = 1 x = 2kπ , k ∈ z 时, max = 1 y
x = 2 kπ ?

π

π

(? + kπ , + kπ )(k ∈ z) 上递增 2 2

π

π

最值 奇偶性

π

2

2

, k ∈ z 时, min = ?1 x =2kπ +π, k ∈z 时,ymin = ?1 y

无最值 奇函数
对称中心: 对称中心: (

奇函数
对称中心: 对称中心:

偶函数
对称中心: 对称中心:(kπ +

(kπ , 0)(k ∈ z )
π
2 ,k ∈ Z

π
2

, 0)(k ∈ z )

对称性
对称轴:x = k π +

kπ , 0)(k ∈ z ) 2

对称轴: x = kπ, k ∈Z

无对称轴

题型一: 题型一:求三角函数的值域和最值 π
3

(1)求函数y = sin x + 3 cos x, x ≤ 的值域. 2 π 答案:y = 2 sin( x + ) ,值域为[ ?1,2] .

(2)求函数y = cos x + sin x, x ≤
2
2

π

1 2 5 答案:y = 1 ? sin x + sin x = ?(sin x ? ) + , 2 4
?1 ? 2 5 ? 值域为 ? ,?. 4? ? 2

4

的值域.

注:最终化为一个角的三角函数式或其复合式.

题型一: 题型一:求三角函数的值域和最值

范例解析

例1 求y=sin2 x+2sinxcosx+3cos2 x 的值域 .   2 解:y = 1+ 2cos x + 2sinxcosx = 1+ (1+ cos2x) + sin2x   π = 2 + cos2x + sin2x = 2 + 2sin(2x + ) 4     x + π ) ≤ 1. Q x ∈ R ∴?1 ≤ sin(2 4   ∴函数的值域为?2 ? 2, 2 + 2? . ? ?

互动探究

(1)求y=7-4sinxcosx+4cos2 x ? 4cos4 x的最值  

.

(2)求y = sin x + cos x +sin xcos x的值域 .

互动探究

(1)求y=7-4sinxcosx+4cos2 x ? 4cos4 x的最值 .   法一: 解:y = 7 ? 2sin2x + 2(1 + cos2x) ? (1 + cos2x)2
= 8 ? 2 sin 2 x ? cos 2 2 x
= 8 ? 2 sin 2 x ? 1 ? sin 2 2 x ) (

= sin 2 x ? 1) 2 + 6 (

Qx∈R

∴?1 ≤ sin 2x ≤ 1
π
, (k ∈ z )时, ymax = 10

4 π ∴当sin 2 x = 1, 即x = kπ + , (k ∈ z )时, 4

∴当 sin 2 x = ?1, 即x = kπ ?

ymin = 6

互动探究

(1)求y=7-4sinxcosx+4cos2 x ? 4cos4 x的最值   法二: 解:y = 7 ? 2sin2x + 4cos 2 x(1 ? cos2 x)
= 7 ? 2 sin 2 x + 4 cos 2 x sin 2 x = 7 ? 2 sin 2 x + sin 2 2 x

.

= sin 2 x ? 1) 2 + 6 (

Qx∈R

∴?1 ≤ sin 2x ≤ 1
π
, (k ∈ z )时, ymax = 10

4 π ∴当sin 2 x = 1, 即x = kπ + , (k ∈ z )时, 4

∴当 sin 2 x = ?1, 即x = kπ ?

ymin = 6

互动探究

(2)求y = sin x + cos x +sin xcos x的值域 .
解:令t = sin x + cos x, 则t = 2 sin( x + ) ∈ ?? 2,2 ? . ? 4 ?

π

t ?1 1 2 1 1 ∴y = t + = t +t ? = (t +1)2 ?1. 2 2 2 2
2

1 ? ? ∴函数的值域为 ??1, + 2? . 2 ? ?

题型二: 题型二:三角函数的单调性
π
3

范例解析

例2  求y = sin( ? 2x)的单调递减区间. (1)
π? ? 解:函数可化为:y = - sin ? 2x ? ? , 3? ? π π π 由题意可得2kπ - ≤ 2x ? ≤ 2kπ + , k ∈ z.
5π   kπ - ≤ x ≤ kπ + ∴ , k ∈ z. 12 12

π

2

3

2

∴函数的单调递减区间为 π 5π   kπ - ,kπ + [ ] (k ∈ z). 12 12

题型二: 题型二:三角函数的单调性

范例解析

例2 (2)比较tan1,tan2,tan3的大小.
解 : Q tan2=tan ( 2- π ) , tan 3 = tan ( 3 ? π ) ? π π ? y = tan x 在 ? ? , ? 上 是 增 函 数 , ? 2 2? 且-

π

2 2 ∴tan ( 2-π ) < tan ( 3 ? π ) < tan1

<2- π < 3 ? π < 1 <

π

.

π ?

2

0

π
2

π

3π 2

x

即tan 2 < tan3 < tan1.

题型二: 题型二:三角函数的单调性
π

更上一层楼

若 、 ∈ , ) tanα < cot β,则 有 ) 必 ( α β( π 且 2 3π 3π ( ) < β  B α > β  C) + β <   α + β > A α ( ) ( α (D) 2 2

范例解析

例3 已知y=sinωx在(?

, )内是减函数,则( ) 22 (A) < ω ≤ 1 (B)-1 ≤ ω < 0 (C)ω ≥ 1 (D)ω ≤ ?1 0

π π

y
?

π
2

0

π
2

x

题型二: 题型二:三角函数的单调性
π π

变式引申

变式练习:函数f(x)=2sinω x在[ ? , ]上是增函数 34
4 在此区间上最大值为 3,则ω的值为_____ 的值为_____ 3

y


0

π

x

走进高考,身临其境 题型三: 题型三:三角函数的奇偶性 例4 已知函数f (x) = 3sin(ωx +?) ? cos(ωx +?)(0 < ? < π,ω > 0)为偶函数,且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为 2 ? π ( 1) 求 f ( )的 值 ;
(2)将函数y = f ( x )的图象向右平移
8

π

(2008山东卷 山东卷17) 山东卷

π

6 各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数y = g ( x )的

个单位后,再将得到的图象上

图象, 求g ( x )的单调递减区间. 解 : (1) f ( x) = 3 sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? )

= 2[

3 1 π sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? )] = 2 sin(ω x + ? ? ) ? 2 2 6

Q f ( x)为偶函数.

∴ 对x ∈ R, f (? x) = f ( x)恒成立.

∴ sin(?ω x + ? ? ) = sin(ω x + ? ? ), 6 6

π

π

例4

图象的两相邻对称轴间的距离为 2 ? ( 1) 求 f ( )的 值 ; 8 解 : (1) f ( x) = 3 sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? )
= 2[

已知函数f (x) = 3sin(ωx +?) ? cos(ωx +?)(0 < ? < π ,ω > 0)为偶函数,且函数 π π

π 3 1 sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? )] = 2sin(ω x + ? ? ) ? 2 2 6

Q f ( x)为偶函数.

∴ sin(?ω x + ? ? ) = sin(ω x + ? ? ), 6 π 6 π π π 即?sinωxcos(? ? ) +cosωxsin(? ? ) = sinωxcos(? ? ) +cosωxsin(? ? ). 6 6 6 6 π
6 π ∴ cos(? ? ) = 0 ? Qω > 0, 且x ∈ R. 6 π π π 又 Q 0 < ? < π , ∴? ? = ? ∴ f ( x) = 2sin(ω x + ) = 2 cos ω x ? 6 2 2 π π 2π π 又由题意得 = 2 , ∴ω = 2, f ( x) = 2cos 2 x. ∴ f ( ) = 2 cos = 2 ? 8 4 ω 2 整 理 得 sin ω x co s(? ? ) = 0.

π

∴ 对x ∈ R, f (? x) = f ( x)恒成立.

π

走进高考,身临其境 题型三: 题型三:三角函数的奇偶性 例4 已知函数f (x) = 3sin(ωx +?) ? cos(ωx +?)(0 < ? < π,ω > 0)为偶函数,且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为 2 ? π ( 1) 求 f ( )的 值 ;
(2)将函数y = f ( x )的图象向右平移
8

π

(2008山东卷 山东卷17) 山东卷

π

6 各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数y = g ( x )的

个单位后,再将得到的图象上

图象, 求g ( x )的单调递减区间. 解 : (2)

让 我 们 一 起 思 考

题型二: 题型二:三角函数的单调性
变式练习:   2.(2007江苏)函数f(x)=sinx- 3 cos x x ∈[?π ,0]的单调增区间是______. 的单调增区间是______.

我 行 我 能 我 要 成 功 我 能 成 功

练习:

1 ? sin x 已知f ( x) = log 1 . 1 + sin x 2

(1)求f(x)的定义域和值域 (2)判断它的奇偶性、周期性; (3)判断f(x)的单调性.


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