2012-2013第一学期高三期末考试理科数学试题及答案

2012 学年度第一学期高三年级期末教学质量检测

理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在 答题卷上。 2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷

选择题（共 40 分）
（ ） D．第四象限 （ ） D． { x | 0 ? x ? 1}

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．在复平面内，复数 z ? i (1 ? 2 i ) 对应的点位于 A．第一象限 A． { x | 0 ? x ? 1} 的是（ ）
2

B．第二象限
2

C．第三象限 C． { x | 1 ? x ? 2}

2．集合 A={x|y= 2 x ? x }， B ? { x | y ? lg(1 ? x )} ，则 A ? B 等于 B． { x | 1 ? x ? 2}

3．下列函数 f ( x ) 中，满足“对任意 x1 ， x 2 ? （0，?? ） ，当 x1 < x 2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x 2 ) A． f ( x ) = ( x ? 1) C． f ( x ) ? ln( x ? 1) ， ）
1 x

B． f ( x ) = e x

D． f ( x ) =

4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ A．
1 3

B．

2 3

C．1

D．2

3 5 5．已知锐角 α、β 满足 cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ， 5 13 则 cosβ＝( 33 A． 65 ) 33 B．－ 65 54 C． 75 54 D．－ 75 第4题

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6．设 x，y 满足约束条件 ? 8 x ? y ? 4 ? 0 ，若目标函数 z ? abx ? y ( a ? 0, b ? 0) 的最大 ? x ? 0, y ? 0 ?

值为 8，则 a+b 的最小值为（ A．2 B．4

） C．6 D．8
第 1 页（共 4 页）

高三年级理科数学试卷

7．抛物线 y ? 8 x 的焦点到双曲线
2

x

2

?

y

2

? 1 的渐近线的距离为（

）

12

4
3 3 3 6

A． 1

B． 3 ）

C．

D．

８．以下正确命题的个数为（ ①命题“存在 x 0 ? R , 2
1
x0

? 0 ”的否定是：“不存在 x 0 ? R , 2

x0

? 0 ”；

②函数 f ( x ) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内
x

1

1 1

4

4 3
? 45 ? , c ? 2 2 , b ?
2

③在 ? ABC 中，已知角 B

4 3 3

，则角 C=600.
?1 6 0 .

④已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2， ? ) ， (? ≤ 4) ? 0.84 ， P (? ≤) 则 P 0 A．1 B．2 C．3 D．4

.

第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，9 至 13 题为必做题，14 至 15 题为选做题，每小题 5 分， 满分 30 分。 ） 9．不等式 | 2 x ? 1 | ? | x ? 3 |? 1 的解集是______. 10．若 a ?

?

1

0

? 2 a? 4 3 x dx ,则 ? x ? ? 展开式中 x 的系数为 x? ?
2

5

(用数字作答).

11．公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 4 是 a 3与 a 7 的等比中项， S 8 ? 32 ，则
S 10 =______

12．垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 且与曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 1 相切的直线方程是 。

13．执行如图的程序框图，则输出的 ? 是______

第 13 题
高三年级理科数学试卷 第 2 页（共 4 页）

★（请考生在以下两个小题中任选一题作答，两题全答的以第 14 小题计分） 14． （坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，圆 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 上的动点到直线

? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的距离的最大值是

。

15． （几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆 O 的直径，直线 CE
? 和圆 O 相切于点 C， 若 AD ? CE 于 D， AD=1， ABC ? 30 ， ?

第 15 题 则圆 O 的面积是_________。 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． （本小题满分 12 分） 已知向量 a ? ( 3 sin x , 2 cos x ? 1), b ? (2 cos x , 1) ，且函数 f ( x ) ? a ? b 。
2

?

?

? ?

（1）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调减区间。 （2）求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值以及相应的 x 值；

17． （本小题满分 12 分） 中华人民共和国 《道路交通安全法》 中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次： “酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q（简称血酒含量， 单位是毫克/100 毫升） ，当 20≤Q≤80 时，为酒后驾车；当 Q＞80 时，为醉酒驾车。 某市公安局交通管理部门于 2012 年 4 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次 拦查行动，共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这 60 名驾驶员抽血检测 后所得结果画出的频率分布直方图（其中 Q ≥140 的人数计入 120 ≤ Q＜140 人数之内） 。 （1）求此次拦查中醉酒驾车的人数； 频率 （2）从违法驾车的 60 人中按酒后 组距 驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人 做样本进行研究，再从抽取的 8 人中任 取 3 人，求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和期望。 0．0050 0．0042 0．0032 20 40 60 80 100
第 17 题图 高三年级理科数学试卷 第 3 页（共 4 页）

120

140

Q

18． （本小题14分） 如图所示，平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成，已知AB//DC ， BD=2AD=4，AB=2DC= 2 5 ，现将△PAD沿AD折起，使点P的射影 O 恰好落在直线AD上. （1）求证：BD⊥平面PAD； （2）求平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值。 P D C D C P

19． （本小题 14 分）

A

B

B 已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1 , F2 ，且

A

4 | F1 F2 | =2 5 ,点 ( 5 , ) 在该椭圆上。 3

（1）求椭圆 C 的方程； （ 2 ） 设 椭 圆 C 上 的 一 点 P 在 第 一 象 限 ， 且 满 足 PF1 ? PF2 , 圆 O 的 方 程 为
x ? y ? 4 ．求点 P 坐标，并判断直线 P F2 与圆 O 的位置关系；
2 2

（3） 设点 A 为椭圆的左顶点， 是否存在不同于点 A 的定点 B ,对于圆 O 上任意一点 M , 都有
| MB | | MA |

为常数， 若存在， 求所有满足条件的点 B 的坐标； 若不存在， 说明理由．

20． （本小题 1４分） 已知数列 { a n } 满足: a 1 ?
n

1 2

, 2 a n ? a n ?1 ? ( )
2

1

n ?1

（ n 为正整数）.

（1）令 b n ? 2 a n ，求证：数列 {b n } 是等差数列，并求数列 { a n } 的通项公式； （2）令 c n ?
n ?1 n a n , T n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ，求数列{ C n }的前 n 项和 T n 5n 2n ? 1
a x

（3） 比较 T n 与

的大小，并证明之.

21． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ? x ? ? x ?
( a ? R ) , g ? x ? ? ln x

（1）求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间； （2）若关于 x 的方程
a 的值。
高三年级理科数学试卷 第 4 页（共 4 页）

g ?x? x

? x ? [ f ? x ? ? 2 e ] (e 为自然对数的底数)只有一个实数根，求

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理科数学参考答案
一、选择题 二、填空题 BDDC ABAB 10．10 . 11．60. 12． 3 x ? y ? 2 ? 0 9． ( ?? , ? 5 ) ? (1, ?? ) . 14． 4 2 ? 2 . 15．4 ?

13．－2 .

三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分 12 分） 已知向量 a ? ( 3 sin x , 2 cos x ? 1), b ? (2 cos x , 1) ，且函数 f ( x ) ? a ? b 。
2

?

?

? ?

（1）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调减区间。 （2）求函数 f ( x ) 在区间 [0,
? ?

?
2

] 上的最大值和最小值以及相应的 x 值；

2 解： （1）∵ f ( x ) ? a ? b = 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1 --1 分

= 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin( 2 x ? ∴最小正周期为 ? ∴
?
6 ? k? ? x ? 2 k? ?

?
6

)

∴ f ( x ) ? 2 sin(2 x ?
? 2k? ? 2 x ?

?
6

)

-----4 分
(k ? Z )

-----5 分，
2 3

由

?
2

?
6 ?
6

?

3 2

? ? 2k?
2 3

? , ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 [

? k? ,

? ? k ? ] ( k ? Z ) --8 分
?t? 7 6

（2） ∵ 0 ? x ? ∴? 当 t= 当 t=
1 2 ? sin t ? 1

?
2

,∴

?
6

? 2x ?

?
6

?

7 6

? 令t ? 2x ?

?
6

,

?
6

?
------10 分

?

, ,

即 2x ?

?
6

?

?

,则x ?

?
6

时, ∴ f ( x ) 的最大值为 2.

------11 分 ----12 分

2 7? 6

即 2x ?

?
6

?

2 7? 6

,则x ?

?
2

时,

∴ f ( x ) 的最小值为-1.

17． （本小题满分 12 分） 中华人民共和国 《道路交通安全法》 中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次： “酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q（简称血酒含量，
高三年级理科数学答案 第 1 页（共 7 页）

单位是毫克/100 毫升） ，当 20≤Q≤80 时，为酒后驾车；当 Q＞80 时，为醉酒驾车。 某市公安局交通管理部门于 2012 年 4 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次 拦查行动，共依法查出了 60 名饮酒后违法驾 驶机动车者，如图为这 60 名驾驶员抽血检测 后 所得 结果 画出 的频 率分 布直 方图 （其 中 Q≥140 的人数计入 120≤Q＜140 人数之内） 。 （1）求此次拦查中醉酒驾车的人数； （2）从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和 醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行 研究，再从抽取的 8 人中任取 3 人，求 3 人中 含有醉酒驾车人数 X 的分布列和期望。 解：
频率 组距

0．0050 0．0042 0．0032 2 0 4 0 6 0 8 0 100 120 140 Q

第 17 题图

（1） (0.0032+0.0043+0.0050)× 20=0.25，0.25× 60=15,所以此次拦查中醉酒驾车的人数 为 15 人． --------4 分 （2） 易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人；所以 x 的所有可能取值 为 0,1,2；P(x=0)= X 的分布列为
X
P

C6 C

3

3 8

=

5 14

,P(X=1)=

C6 C2 C
3 8

2

1

=

15 28

,P(x=2)=

C 6C 2 C
3 8

1

2

=

3 28

0
5 14

1
15 28

2
3 28

--------------------------------------------------------------------------10 分 5 15 3 3 -------------------12 分 E(X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 14 28 28 4 18． （本小题14分） 如图所示，平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成，已知AB//DC ， BD=2AD=4，AB=2DC= 2 5 ，现将△PAD沿AD折起，使点P的射影 O 恰好落在直线AD上. （1）求证：BD⊥平面PAD； （2）求平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值。 P P D C D C A A B
第 2 页（共 7 页）

z P D O B y

C

A

B

x

高三年级理科数学答案

（ 1 ） 证 明 ： 由 题 意 知 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD ， 又 BD=2AD=4 ， AB= 2 5 可 得 AB2=AD2+BD2，则BD⊥AD，又AD为平面PAD与平面ABCD的交线，则BD⊥平面PAD； -----6分 （2）如图建立空间直角坐标，易知 A（1，0，0） ，B（-1，4，0） ， P（0，0， 3 ） PB ? ( ? 1, 4 , ? 3 ) ， BA ? ( 2 , ? 4 , 0 ) ， ， 平面 PDA 的法向量为 m =（0，1，0） ，设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , -----8 分 -----9 分

? n ? PB ? 0 ?? x ? 4 y ? 3 z ? 0 m ?n 57 2 3 ? ) 则 cos ? m , n ? ? ? 由? ，得 ? ，取 n ? ( 2 ,1, -13 分 3 2x ? 4 y ? 0 | m | ? | n | 19 ? n ? BA ? 0 ? ?

所以平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值为

57 19

.

-------14 分

19． （本小题 1４分） 已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1 , F2 ，且
4 | F1 F2 | =2 5 ,点 ( 5 , ) 在该椭圆上。 3

（1）求椭圆 C 的方程； （ 2 ） 设 椭 圆 C 上 的 一 点 P 在 第 一 象 限 ， 且 满 足 PF1 ? PF2 , 圆 O 的 方 程 为
x ? y ? 4 ．求点 P 坐标，并判断直线 P F2 与圆 O 的位置关系；
2 2

（3） 设点 A 为椭圆的左顶点， 是否存在不同于点 A 的定点 B ,对于圆 O 上任意一点 M , 都有
| MB | | MA | x a
2 2

为常数， 若存在， 求所有满足条件的点 B 的坐标； 若不存在， 说明理由．

解： （1）设椭圆的方程为

?

y b

2 2

? 1, ( a ? b ? 0) ，由题意可得：

椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 ( ? 5 , 0) ，F2 ( 5 , 0) 由点 ( 5 , ) 在该椭圆上，? 2 a ?
3 4
4 2 2 (2 5 ) ? ( ) ? 3 ( 5?

------------1 分
4 2 2 5) ? ( ) ? 6 . 3

? a ? 3, 又 c ?

5 得 b ? 9 ? 5 ? 4 ，--3 分, 故椭圆的方程为
2

x

2

?

y

2

?1.

----4 分

9
高三年级理科数学答案 第 3 页（共 7 页）

4

（2）设点 P 的坐标为 ( x , y )( x ? 0, y ? 0) ,则
???? ???? ? 由 PF1 ? PF2 得 F1 P ? F2 P ? 0 ，∴( x ?
5 )( x ?

x

2

?

y

2

? 1 -----------①

9

4
5 ) ? y ? 0 ，即 x ? y ? 5 -② -5 分
2

2

2

? 3 5 ?x ? 3 5 4 5 ? 5 , ) --7 分 由①②联立结合 x ? 0, y ? 0 解得：? ，即点 P 的坐标为 ( 5 5 4 5 ? y? ? 5 ?

∴直线 P F2 的方程为 2 x ? y ? 2 5 ? 0 ∵圆 x 2 ? y 2 ? 4 的圆心 O 到直线 P F2 的距离 d ?
2 5 5 ? 2 ∴直线 P F2 与⊙O 相切

---------9 分 （3） 的坐标为 ( x , y ) ， x 2 ? y 2 ? 4 ， 则 假设存在点 B ( m , n ) ， 对于 ? O 上任意一点 M , 都有
| MB | | MA |
( x ? m ) ? ( y ? n)
2 2

为常数，则 | M B |2 ? ( x ? m ) 2 ? ( y ? n ) 2 , | M A |2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2

∴

( x ? 3) ? y
2

2

? ? (常数)恒成立

------11 分

又 x2+y2=4,

可得: (6 ? ? 2 m ) x ? 2 ny ? 13 ? ? m ? n ? 4 ? 0 恒成立
2 2

4 ? ? ? ? 9 ? 3? ? m ? 0 ?? ? 1 ? 4 ? ? ? ∴ ?2n ? 0 ∴ ? m ? ? 或 ? m ? ? 3 （不合舍去） 3 ?n ? 0 ? ? 2 2 ? ?13 ? ? m ? n ? 4 ? 0 ? n ? 0 ? ?

--------13 分

∴存在满足条件的点 B，它的坐标为 ( ?

4 3

, 0) ．

------------------------14 分

高三年级理科数学答案

第 4 页（共 7 页）

20.（本小题 14 分） 已知数列 { a n } 满足: a 1 ?
n

1 2

, 2 a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 （ n 为正整数）.
2

1

（1）令 b n ? 2 a n ，求证：数列 {b n } 是等差数列，并求数列 { a n } 的通项公式； （2）令 c n ?
n ?1 n a n , T n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ，求数列{ C n }的前 n 项和 T n 5n 2n ? 1

（3） 比较 T n 与

的大小，并证明之.
1
n ?1

【解】（1）由 2 a n ? a n ?1 ? ( ) ：
2

,

得: 2 a n ? 2
n

n ?1

a n ?1 ? 1 ,

因 bn ? 2 a n
n

? b n ? b n ?1 ? 1 ，即当 n ? 2 时， b n ? b n ?1 ? 1 ,

--- 2 分

又 a1 ?

1 2

, b1 ? 2 a 1 ? 1 ，所以数列 ?b n ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. ---3 分 ----5 分

1 n an ? n ? ( ) 2 n ?1 1 n （2）由（Ⅰ）得，, cn ? a n ? ? n ? 1? ( ) , n 2 1 1 2 1 3 1 n Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? ? ? n ? 1 ? ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 Tn ? 2 ? ( ) ? 3? ( ) ? 4 ( ? ? n ? )? ? 2 2 2 2

∴ b n ? b1 ? ( n ? 1) d ? n ,

??

1n ? 1 1 ( ) 2

-----6 分

两式错位相减得到：
1 2 1 3 1 n 1 n ?1 3 n ? 3 n?3 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? ? n ? 1 ? ( ) ? ? n ? 1 ，? T n ? 3 ? n 2 2 2 2 2 2 2 2

1

--------8 分 (3) T n ?
5n 2n ? 1 ? 3? n?3 2
n

?

5n 2n ? 1

?

?n ? 3 ??2 n ? 2 n ? 1? ………（*） n 2 ?2 n ? 1?
n

---9 分

于 是 ， 确 定 Tn 与
2 3

5n 2n ? 1
3

的 大 小 关 系 等 价 于 比 较 2 与 2n ? 1 的 大 小 , 由
4
n

2 ? 2 ? 2 ? 1,　 ? 2 ? 2 ? 1,　 , 2 ? 2 ? 3 ? 1 . 2 ? 2 ? 4 ? 1, ? 可猜想当 n ? 3 时， 2 ? 2 n ? 1 ， 2 2

证明如下：
高三年级理科数学答案 第 5 页（共 7 页）

-------10 分

证法 1： （1）当 n ? 3 时，由上验算显示成立。 （2）假设当 n ? k 时不等式成立，即 2 k ? 2 k ? 1 则当 n ? k ? 1 时， 2
k ?1 k

----12 分

? 2 ? 2 ? 2 ? 2 k ? 1? ? 4 k ? 2 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ? ? 2 k ? 1? ? 2 ? k ? 1? ? 1

所以， n ? k ? 1 时猜想也成立,综合 （2） 当 （1） 可知， 对一切 n ? 3 的正整数， 都有 2 n ? 2 n ? 1 综上所述，当 n ? 1, 2 时， T n ? 证法 2：
2 ? ?1 ? 1? ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n
n n 0 1 2 n ?1

5n 2n ? 1

；当 n ? 3 时， T n ?

5n 2n ? 1

------14 分

? Cn ? Cn ? Cn ? Cn
n
0 1

n ?1

? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1
n

综上所述，当 n ? 1, 2 时， T n ?

5n 2n ? 1

；当 n ? 3 时， T n ?

5n 2n ? 1

.

21． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ? x ? ? x ?
a x ( a ? R ) , g ? x ? ? ln x

（1）求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间； （2）若关于 x 的方程
a 的值。
g ?x? x ? x ? [ f ? x ? ? 2 e ] (e 为自然对数的底数)只有一个实数根，求

解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

a x

? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? .

∴F

'

?x? ? 1?

a x
2

?

1 x

?

x ?x?a
2

x

2

.
'

---------------2 分

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?

1 4

时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F
2

? x? ? 0 . ∴ F ? x? 在
-------------4 分

? 0, ?? ? 上单调递增.
② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?
?1 ? 1 ? 4a 2

1 4

时, 令 F

'

? x ? ? 0, 得 x 2
.

? x ? a ? 0,

解得 x1 ?

? 0, x 2 ?

?1 ?

1 ? 4a 2

高三年级理科数学答案

第 6 页（共 7 页）

(ⅰ) 若 ?

1 4

? a ? 0 , 则 x2 ?
'

?1 ?

1 ? 4a 2

? 0.

∵ x ? ? 0, ?? ? , ∴ F

? x? ? 0 ,

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.

----------6 分

? ?1 ? 1 ? 4a (ⅱ) 若 a ? 0 , 则 x ? ? 0, ? 2 ?

? ? ?1 ? 1 ? 4a ? ' , ?? ? 时 , ? 时, F ? x? ? 0 ; x ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

F

'

? x ? ? 0 ,∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?
?

?

?1 ?

? ?1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 4a ? , ?? ? 上单 ? 上单调递减, 在 ? ? ? ? 2 2 ? ? ?

调递增. ,

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ;
? ? ?

----8 分

当 a ? 0 时, F ? x ? 的递减区间为 ? 0, (2) 解: 令 h ? x ? ?
ln x x

? ?1 ? 1 ? 4a ? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . -----9 分 ? , 递增区间为 ? ? ? ? 2 2 ? ? ?
2

, 则h ?x? ?
'

1 ? ln x x

.令 h
'

'

?x? ? 0 , 得 x ? e . ?x? ? 0 .
---10 分 -----11 分

当 0 ? x ? e 时, h

'

?x? ? 0 ; 当 x

? e 时, h

∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e , ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ? 而函数 m ? x ? ? x ? 2 ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e ,
2 2 2

1 e

.

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e ? ? a ? e .
2

-----12 分

∴ 当a ? e ?
2

1 e

, 即a ? e ?
2

1 e

时, 方程

g ?x? x
2

? f

? x ? ? 2 e 只有一个根. -----14 分

高三年级理科数学答案

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