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第七讲 导数


第七讲
知识要点: 1.导数的概念: ( 1 )导数的定义:已知函数 y ? f ( x) ,如果

导数

lim

?x ? 0

?y ? ?x

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 存在,

则称函数 ?x

y ? f ( x) 在点 x0 处可导,其极限称为函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数。
记作: f ( x0 ) ?
'

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?x?0 ?x

(2) 导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f / ( x0 ) 的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点

P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,相应地,切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 )
(3) 导数的物理意义:变化率。 (4)可导与连续的关系:若 f ( x) 在 x0 处可导则 f ( x) 在 x0 处必连续,反之不一定成立。 2.常用的导数公式: (1) (c) ' ? 0 (2) ( x n ) ' ? nxn?1 (n ? Q) (3) (e x ) ' ? e x , (a x ) ' ? a x ln a (4) (ln x) ?
' '

1 1 , (log a x) ' ? log a e x x
' '

(5) (sin x) ? cos x, (cos) ? ? cos x, (tan x) ? 3.导数的运算法则 函数 u( x), v( x) 均可导

1 cos 2 x

(1) (u ? v) ' ? u ' ? v ' (2) (uv) ' ? u ' v ? uv' (3) ( ) ?
'

u v

u ' v ? uv' (v ? 0) v2

4.复合函数的导数:

y ? f (u ) ' ' ' 复合而成的函数为 y ? f (? ( x)) ,则 y x ? yu ux u ? ? ( x)
5.一些结论:
' (1) f ( x) 为可导偶函数,则 f ( x) 为奇函数; ' (2) f ( x) 为可导奇函数,则 f ( x) 为偶函数; ' (3) f ( x) 为可导的周期函数,则 f ( x) 也为周期函数,并且周期相同。

基本题例
2 1.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?

A.1

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1 。

2.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 3.若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
A.30°
2

4.曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1 , 3) 处的切线的倾斜角为 5.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( 6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. ? ??,2? B. (0,3) C. (1,4) )A. e

B.45° C.60° D.120° C.

B. e

ln 2 2

D. ln 2

D. ? 2, ???

7. 观察 ( x2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x 2 , (cos x) ' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足

f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x)为f ( x) 的导函数,则 g (? x)
(A) f ( x ) (B) ? f ( x) (C) g ( x) (D) ? g ( x) (B)2 (C) -1 (D)-2

8.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 a 的值为 (A)1
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高.考.资.

9.若函数 y=f(x)导函数在区间[a,b]是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(A)

10.如果函数 y ? f ( x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f '( x) 的图像可能是(



练习七 一.选择题

导数

1.曲线 y ? x 3 ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 2

2.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则
(A) a ? 1, b ? 1 (B) a ? ?1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 (D) a ? ?1, b ? ?1

3.若函数 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 满足 f '(1) ? 2 ,则 f '(?1) ? A. ?1 4.曲线 y ? B. ?2 C.2 D.0

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

5.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 (A)1 6.已知点 P 在曲线 y ? A
x

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(B)2

(C) -1

(D)-2

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[0, ) 4

?

B

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1 ? ? ? 3? 3? [ , ) ] D [ ,? ) C ( , 4 2 2 4 4

二.填空题
7.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

。 .

8.直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= 2
2

9. 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 10.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为
.s.5.u.c.o.m

x3 ? 10 x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点

.

三.解答题
11.设函数 f ( x) ? ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 x (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求 此定值。 练习十三 导数及其运算参考答案

1.A 2.A 3. B 4.B 5.B 6.D 7. 3x ? y ? 1 ? 0; 8. Ln2 ? 1; 9. (??,0) 10. 11.解: (1) f ( x) ? x ?

(?2,15)

w.;;;;;;;;;;;;;

3 ; (2)定值为 6 x


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