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2014届高三数学辅导精讲精练61


2014 届高三数学辅导精讲精练 61
1.直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没有公共点的充要条件是 A.k∈(- 2, 2) B.k∈(- 3, 3) C.k∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞) D.k∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞) 答案 解析 B 由直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没有公共点可知,圆心(0,0)到直线 y |2| >1,由此

解得- 3<k< 3.因此,直线 y k2+1 ( )

=kx+2 的距离大于圆的半径,即

=kx+2 与圆 x2+y2=1 没有公共点的充要条件是 k∈(- 3, 3),选 B. 2.直线 xsinθ+ycosθ=2+sinθ 与圆(x-1)2+y2=4 的位置关系是 ( A.相离 C.相交 答案 解析 B 圆心到直线的距离 d= |sinθ-2-sinθ| =2. sin2θ+cos2θ B.相切 D.以上都有可能 )

所以直线与圆相切. 3.已知圆 O:x2+y2-2x+my-4=0,上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对 称,则圆 O 的半径为 A.9 C.6 答案 解析 B m m2 由 x2+y2-2x+my-4=0 得(x-1)2+(y+ 2 )2=1+ 4 +4,圆心坐标 B.3 D.2 ( )

m 为(1,- 2 ),又由已知条件可知圆心在直线 2x+y=0 上,将圆心坐标代入直线 m2 方程可求得 m=4.设圆 O 的半径为 r,则 r2=1+ 4 +4=9,解得 r=3. 4.平移直线 x-y+1=0 使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1 相切,则平移的最短

距离为 A. 2-1 C. 2 B.2- 2 D. 2-1 与 2+1

(

)

答案 解析

A 如图,圆心(2,1)到直线 l0:x-y+1=0 的距离 d= |2-1+1| = 2,圆 2

的半径为 1,故直线 l0 与 l1 的距离为 2-1. ∴平移的最短距离为 2-1,故选 A. 5. (2013· 潍坊质量检测)直线(1+3m)x+(3-2m)y+8m-12=0(m∈R)与圆 x2 +y2-2x-6y+1=0 的交点的个数为 A.1 C.0 或 2 答案 解析 B 圆(x-1)2+(y-3)2=9 的圆心坐标为(1,3),半径为 3.由(1+3m)x+(3 B.2 D.1 或 2 ( )

-2m)y+8m-12=0, 可得 3mx-2my+8m+x+3y-12=0, 化简得(3x-2y+8)m +x+ 3y-12=0. ∵对于 m∈R 上式恒成立, ?3x-2y+8=0, ?x=0, ∴? 解得? ?x+3y-12=0, ?y=4. ∴直线恒过点(0,4). 又该点到圆心的距离为 12+?3-4?2= 1+1= 2<3, ∴直线与圆相交,有两个交点.故选 B. 6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相 切,则该圆的标准方程是 ( )

7 A.(x-3)2+(y-3)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 答案 解析 B

B.(x-2)2+(y-1)2=1 3 D.(x-2)2+(y-1)2=1

设圆心 C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得 b=1. |4a-3| 5 =1,

又圆心 C 到直线 4x-3y=0 的距离 d= 1 解得 a=2 或 a=-2(舍).

所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 7.(2013· 东城区)直线 ax+by+a+b=0 与圆 x2+y2=2 的位置关系为( A.相交 C.相离 答案 解析 D 圆 x2+y2=2 的圆心 O(0,0)到直线 ax+by+a+b=0 的距离为 d= B.相切 D.相交或相切 )

|a+b| ,圆的半径为 r= 2. a2+b2 又∵( 2· a2+b2)2-(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0, ∴ 2· a2+b2≥|a+b|,∴ ∴相交或相切,故选 D. 8.(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y -1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 答案 解析 D 根据直线与圆相切建立 m 与 n 的关系, 再由基本不等式求解 m+n 的 |m+n| ?m+n?2 =1,化简得 mn=m+n+1≤ 4 , ?m+1?2+?n+1?2 ( ) |a+b| ≤ 2,即 d≤r. a2+b2

取值范围.由题意可得

解得 m+n≤2-2 2或 m+n≥2+2 2,故选 D. 9.如果圆(x+3)2+(y-1)2=1 关于直线 l:mx+4y-1=0 对称,那么直线 l 的斜率为 A.4 1 C.4 答案 解析 D 依题意,得直线 mx+4y-1=0 经过圆心(-3,1),所以-3m+4-1= B.-4 1 D.-4 ( )

1 0,所以 m=1,故直线 l 的斜率为-4. 10.设直线 x+ky-1=0 被圆 O:x2+y2=2 所截弦的中点的轨迹为 M,则 曲线 M 与直线 x-y-1=0 的位置关系是 A.相离 C.相交 答案 解析 C ∵直线 x+ky-1=0 过定点 N(1,0), 且点 N(1,0)在圆 x2+y2=2 的内部, B.相切 D.不确定 ( )

1 ∴直线被圆所截弦的中点的轨迹 M 是以 ON 为直径的圆,圆心为 P( ,0),半径 2 1 1 2 1 为2.∵点 P(2,0)到直线 x-y-1=0 的距离为 4 <2,∴曲线 M 与直线 x-y-1 =0 相交,故选 C. 11.(2013· 安徽六校联考)两个圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与 C2:x2 +y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则 a+b 的最小值为 A.-6 C.-3 2 答案 解析 C 两个圆恰有三条公切线,则两圆外切.两圆的标准方程为圆 C1:(x B.-3 D.3 ( )

+a)2+y2=4;圆 C2:x2+(y-b)2=1, 所以|C1C2|= a2+b2=2+1=3,即 a2+b2=9. ?a+b?2 由 a2+b2≥ 2 及当且仅当“a=b”时等号成立, 所以(a+b)2≤2(a2+b2),即|a+b|≤3 2.

所以-3 2≤a+b≤3 2.故 a+b 的最小值为-3 2. 12.已知圆 C:(x-1)2+y2=1 与直线 l:x-2y+1=0 相交于 A,B 两点, 则|AB|=________. 答案 解析 2 5 5 圆心 C 到直线 l 的距离 d= |1+1| 2 5 = 5 ,所以|AB|=2 r2-d2 = 5

2

4 2 5 1-5= 5 . 13.(2012· 江西)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,

若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. 答案 解析 ( 2, 2) ∵点 P 在直线 x+y-2 2=0 上,∴可设点 P(x0,-x0+2 2),且其

中一个切点为 M.∵两条切线的夹角为 60° ,∴∠OPM=30° .故在 Rt△OPM 中, 有 OP=2OM=2.由两点间的距离公式得,OP= x2+?-x0+2 2?2=2,解得 x0 0 = 2.故点 P 的坐标是( 2, 2). 14. (2013· 山西临汾高三质检)已知点 A(-3,0), B(3,0), 动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个 公共点 M,求|QM|的最小值. 解析 (1)设点 P 的坐标为(x,y),

则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2, 化简可得(x-5)2+y2=16 即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

则直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2= |CQ|2-16,

当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= 此时|QM|的最小值为 32-16=4.

|5+3| =4 2, 2

15. 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x-2)2+(y-3)2=1 相交于 M、N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; → → (2)求证:AM· 为定值; AN → → (3)若 O 为坐标原点,且OM· =12,求 k 的值. ON 解析 (1)方法一 ∵直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k,

∴直线 l 的方程为 y=kx+1. 将其代入圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1, 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. ①

由题意:Δ=[-4(1+k)]2-4×(1+k2)×7>0, 得 4- 7 4+ 7 3 <k< 3 . 同方法一得直线方程为 y=kx+1,

方法二

即 kx-y+1=0. 又圆心到直线距离 d= |2k-3+1| |2k-2| = 2 , k2+1 k +1

∴d=

|2k-2| 4- 7 4+ 7 <1,解得 3 <k< 3 . 2 k +1

(2)设过 A 点的圆的切线为 AT,T 为切点, 则|AT|2=|AM|· |AN|. |AT|2=(0-2)2+(1-3)2-1=7. → → ∴|AM|· |=7. |AN 根据向量的运算: → → → → AM· =|AM|· |· AN |AN cos0° 为定值. =7

?x1+x2=4+4k, ? 1+k2 (3)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由①得? 7 ?x1x2=1+k2. ?
→ → ∴OM· =x1x2+y1y2 ON =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = 4k?1+k? +8=12. 1+k2

∴k=1(代入(1)检验符合题意). 16.已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y=x 上,又直线 l: y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若OP· =-2,求实数 k 的值; OQ (3)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,求四边形 PMQN 面积的最大值. 答案 解析 (1)x2+y2=4 (2)k=0 (3)7

(1)设圆心 C(a,a),半径为 r.因为圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),

所以|AC|=|BC|=r,易得 a=0,r=2. 所以圆 C 的方程是 x2+y2=4. → → → → → → (2)因为OP· =2×2×cos〈OP,OQ〉=-2,且OP与OQ的夹角为∠POQ, OQ 1 所以 cos∠POQ=-2,∠POQ=120° . 所以圆心到直线 l:kx-y+1=0 的距离 d=1. 又 d= 1 ,所以 k=0. k +1
2

(3)设圆心 O 到直线 l,l1 的距离分别为 d,d1,四边形 PMQN 的面积为 S. 因为直线 l,l1 都经过点(0,1),且 l⊥l1, 根据勾股定理,有 d2+d2=1. 1 又易知|PQ|=2× 4-d2,|MN|=2× 4-d2, 1

1 所以 S=2· |MN|,即 |PQ|· 1 S=2×2× 4-d2×2× 4-d2 1
2 =2 16-4?d1+d2?+d2·2=2 12+d2·2 1d 1d

≤2

d2+d2 2 1 12+? 2 ? =2

1 12+4=7,

当且仅当 d1=d 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.

1.(2013· 南昌一模)函数 f(x)=(x-2 010)(x+2 011)的图像与 x 轴、y 轴有三 个交点,有一个圆恰好通过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点是( A.(0,1) C.(0, 答案 解析 A 由题意得,函数 f(x)的图像与两条坐标轴的交点分别是 A(-2 011,0)、 2 011 2 010) B.(0, 1 D.(0,2) 2 010 2 009) )

B(2 010,0)、C(0,-2 010×2 011),设经过点 A,B,C 的圆与 y 轴的另一个交点 坐标是 D(0,y0),其中 y0>0,结合图形易知原点 O 位于经过点 A,B,C 的圆的 内部,因此由相交弦定理得|OA|· |OB|=|OC|· |OD|,2 011×2 010=2 011×2 010y0, 所以 y0=1,即经过点 A,B,C 的圆与 y 轴的另一个交点坐标是 D(0,1),选 A.

2.(2013· 山西四校联考)若函数 f(x)=|x|+ a-x2- 2(a>0)没有零点,则实 数 a 的取值范围为________. 答案 解析 (0,1)∪(2,+∞)

在平面直角坐标系中画出函数 y= a-x2(a>0)的图像(其图像是以原点为圆

心、 a为半径的圆,且不在 x 轴下方的部分)与 y= 2-|x|的图像(如图所示).观 察图形可知,要使这两个函数的图像没有公共点,则原点到直线 y= 2-x 的距 离大于 a或 a> 2.又原点到直线 y= 2-x 的距离等于 1,所以有 0< a<1 或 a> 2,由此解得 0<a<1 或 a>2.所以,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(2,+∞). 4 1 3.已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径为 1,直线 l:y=3x-2被圆 M 截得 的弦长为 3,且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程; (2)设 A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆 M 是△ABC 的内切圆,求△ ABC 的面积 S 的最大值和最小值. 解析 (1)设圆心 M(a,0),由已知得点 M 到直线 l:8x-6y-3=0 的距离为

|8a-3| 1 3 1 12-? 2 ?2=2,∴ 2 = . 8 +62 2 又点 M 在直线 l 的下方,∴8a-3>0. ∴8a-3=5,a=1,故圆 M 的方程为(x-1)2+y2=1. (2)设直线 AC 的斜率为 k1,直线 BC 的斜率为 k2,则直线 AC 的方程为 y= k1x+t,直线 BC 的方程为 y=k2x+t+6. ?y=k1x+t, 6 由方程组? 解得 C 点的横坐标为 . k1-k2 ?y=k2x+t+6, 1 6 18 ∵|AB|=t+6-t=6,∴S=2×| |×6= . k1-k2 |k1-k2| |k1+t| 1-t2 ∵圆 M 与 AC 相切,∴1= 2,∴k1= 2t ; 1+k1 1-?t+6?2 同理,k2= . 2?t+6? 3?t2+6t+1? ∴k1-k2= . t2+6t 6?t2+6t? 1 ∴S= 2 =6(1- 2 ). t +6t+1 t +6t+1 ∵-5≤t≤-2,∴-2≤t+3≤1. ∴-8≤t2+6t+1≤-4.

1 15 1 27 ∴Smax=6×(1+4)= 2 ,Smin=6×(1+8)= 4 .


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