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高三数学数列求和的基本方法和技巧


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n

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为 等 比 数

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列 )

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n n n

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n n

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一、倒序相加法 此法来源于等差数列求和公式的推导方法。 例 1. 已知 解: 。 求 ① 把等式①的右边顺序倒过来写,即①可以写成以下式子: ② 把①②两式相加得 二、错位相消法 此法来源于等比数列求和公式的推导方法。 例 2. 求数列 解:设 的前 n 项和。 当 当 时, 时, ①

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①式两边同时乘以公比 a,得



①②两式相减得

三、拆项分组法 把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数列),然后利用相应公式进行分别 求和。

例 3. 求数列 解 : 设 数 列 的 前 n

的前 n 项和。 项 和 为 , 则

当 当

时, 时, 的情况进行讨论。

说明:在运用等比数列的前 n 项和公式时,应对 q=1 与

四、裂项相消法 用 裂 项 相 消 法 求 和 , 需 要 掌 握 一 些 常 见 的 裂 项 技 巧 。 如

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例 4. 求数列

的前 n 项和。

解:

五、奇偶数讨论法 如果一个数列为正负交错型数列, 那么从奇数项和偶数项分别总结出 解。 例 5. 已知数列 解: ① 当 求该数列的前 n 项和 。 与 n 的关系进行求

对 n 分奇数、偶数讨论求和。 时 ,









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六、通项公式法 利用 且运算简洁。 例 6. 已知数列 解: 求该数列的前 n 项和 。 ,问题便转化成了求数列 的通项问题。这种方法不仅思路清晰,而



∴数列

是一个常数列,首项为

七、综合法 这种方法灵活性比较大,平时注意培养对式子的敏锐观察力,尽量把给定数列转化为等差 或等比数列来处理。 例 7. 已知 分析:注意观察到: 求

其他可依次类推。关键是注意讨论最后的 n 是奇数还是偶数。 解:①当 n 为奇数时,由以上的分析可知:

②当 n 为偶数时,可知:

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由①②可得 说明:对于以上的各种方法,大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方 法。当然,数列求和的方法还有很多,大家平时还应多注意总结。

高三数学数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有 重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部 分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和 的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 2 2
(q ? 1) (q ? 1)


?na1 ? 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ?
3、 S n ?
n

? k ? 2n(n ? 1) ;4、 S n ? ? k 2 ? 6n(n ? 1)(2n ? 1) ;5、 S n ? ? k 3 ? [ 2n(n ? 1)] 2
k ?1

1

n

1

n

1

k ?1

k ?1

【例 1】已知 log 3 x ? 『解』由 log3 x ?

?1 ?,x n, ? 的前 n 项和. ,求 x,x 2,x 3, log 2 3

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log 2 3 2

由等比数列求和公式得

1 1 (1 ? n ) n x ( 1 ? x ) 2 2 =1- 1 (利用常用公式) = Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? x n = 1? x 1 2n 1? 2
【例 2】设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N,求 f (n) ? 『解』由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

1 1 n(n ? 1) , S n?1 ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2

∴ 当

Sn 1 1 1 n = 2 = = ? (n ? 32) S n ?1 64 50 8 2 n ? 34n ? 64 n ? 34 ? ( n? ) ? 50 n n 8 1 n? ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 n

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二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前 n 项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列. 【例 3】求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ……………………① 『解』 由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通项之积 设 xS n ? 1 ? x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? (2n ? 1) x n …………………… ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x)S n ? 1 ? 2 x ? ∴ (设制错位) (错位相减)

1 ? x n?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

2 4 6 2n , , ?, n , ?前 n 项的和. 2 2 2 23 2 2n 1 『解』由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S ? ? ? ? ? ? n?1 ……………………………② 2 n 2 2 23 2 4 2 1 2n 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? )S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n?1 ? 2 ? n?1 ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n?1 2
【例 4】求数列 , 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序), 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? a n ) .
0 1 2 n 【例 5】求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2 n 0 1 2 n 【证明】设 S n ? Cn …………………………① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn n n?1 1 0 把①式右边倒转过来得 S n ? (2n ? 1)Cn (反序) ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

0 1 n?1 n m n?m 又由 Cn 可得 S n ? (2n ? 1)Cn ……… ② ? Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

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0 1 n?1 n ①+②得 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2 n

(反序相加)



S n ? (n ? 1) ? 2 n

【例 6】求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 『解』设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? ……………… ① 将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? ………….②
又因为 sin x ? cos(90? ? x), sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ①+②得 2S ? (sin 2 1? ? cos 2 1?) ? (sin 2 2? ? cos 2 2?) ? ? ? (sin 2 89? ? cos 2 89?) =89 ∴ S=44.5 四、分部求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【例 7】求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 『解』设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? (

1 1 1 ? 4, 2 ? 7, ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

1 a

1 1 ? 7) ? ? ? ? ? ( n?1 ? 3n ? 2) ,将其每一项拆开再重新组合得 2 a a

S n ? (1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? n?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a2 a
(3n ? 1)n (3n ? 1)n = 2 2

当 a=1 时, S n ? n ?

1 1?n a n ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n . 当 a ? 1 时, S n ? 1 2 a ?1 2 1? a 1?
【例 8】求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 『解』设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴ Sn ?
n

? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k ) ,将其每一项拆开再重新组合得
k ?1

n

n

k ?1

Sn= 2

?
k ?1

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

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= 2(13 ? 23 ? ? ? n 3 ) ? 3(12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)

n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 2 ( n ? 2) ? ? = 2 2 2 2 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
= (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) ; (3) an ? (5) an ? (6) a n ? (2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n? cos n? cos(n ? 1)?
( 2 n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) a n ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

2(n ? 1) ? n 1 n?2 1 1 1 1 ? n ? ? ? ? , 则S n ? 1 ? n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n n ? 2 n?1 (n ? 1)2 n (n ? 1)2 n

1 1 1 , ,?, , ? 的前 n 项和. 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 1 ? n ?1 ? n 『解』设 a n ? n ? n ?1 1 1 1 ? ??? 则 Sn ? 1? 2 2? 3 n ? n ?1
【例 9】求数列 = ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ? 1 【例 10】在数列{an}中, a n ? 项的和. 『解』 ∵ a n ?

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n ? ??? a n ? a n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

1 2 n n ? ??? ? n ?1 n ?1 n ?1 2



bn ?

2 1 1 ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2

∴ 数列{bn}的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 1 8n S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] = 8(1 ? )= n ?1 n ?1 2 2 3 3 4 n n ?1
【例 11】求证: 『解』设 S ? ∵

1 1 1 cos 1? ? ? ?? ? cos 0? cos ? cos 1? cos 2? cos 88? cos 89? sin 2 1?

1 1 1 ? ? ?? cos 0? cos ? cos 1? cos 2? cos 88? cos 89?

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n? cos n? cos(n ? 1)?

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∴ S= =

1 [(tan 1? ? tan 0?) ? (tan 2? ? tan 1?) ? ? ? (tan 89? ? tan 88?)] sin1? 1 1 cos 1? (tan 89? ? tan 0?) = ? cot 1? = sin1? sin1? sin 2 1?
∴ 原等式成立

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和 时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 【例 12】求 cos1?+cos2?+cos3?+…+cos178?+cos179?的值. 『解』设 S=cos1?+cos2?+cos3?+…+cos178?+cos179? ∵ cos n? ? ? cos(180? ? n?) ∴ S=(cos1?+cos179?)+(cos2?+cos178?)+…+(cos89?+cos91?)+cos90?=0 【例 13】数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002. 『解』设 S2002= a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得 a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2,

a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2, …… a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ? 4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ) ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 =5. 【例 14】已知{an}是正项等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a 2 ? ? ? log3 a10 的值. 『解』设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq 和 对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga (MN ) 得

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )

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= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭 示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 【例 15】求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 111 ? 1 之和. ?? ?
n个1

? 1? 『解』由于 111 ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ? 9 ? (10 k ? 1) ? ? ? ? 9 ? 9 k个1

1 1 1 1 ∴ 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 111 ? 1= (101 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1) ?? ? 9 9 9 9 n个1
n 1 10(10 ? 1) n 1 1 1 ? ? = (10 n?1 ? 10 ? 9n) ? 1 ? ? ? 1 ) = (101 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? (1 = ?? 9 10 ? 1 9 9 9 ??? 81 n个1

【例 16】已知数列{an}: a n ?

8 , 求? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值. (n ? 1)( n ? 3) n ?1

?

『解』∵ (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 8(n ? 1)[ = 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)
1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4
?

= 4?(
?



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

1 1 1 1 1 1 1 13 ? ) ? 8? ( ? ) = 4?( ? ) ? 8? = n?2 n?4 n?3 n?4 3 4 4 3 n ?1

?


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