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闵行区2012高三数学二模文科


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上. 1. 若集合 ,且 ,则集合 可能是( A. B. C. D. ) )

2. 复数 在复平面上对应的点的坐标是( A. B. C. D.

3. 已知 是两条不同直线, 是三个不同平面,

下列命题中正确的是( A. C. B. D.



4. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 ) , 则该棱锥的体积是( A. C. B. D. 正视图 侧视图 )

5.设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为( A. B. C. D. )



6.已知数列 为等比数列, , ,则 的值为( A. B. C. D.

7. 已知函数 在 上是增函数, ,若 ,则 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 8.设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 在点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 曲线的渐近线方程为( A. B. C. D. )

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知 ,且 为第二象限角,则 的值为 .

10.已知向量 .若 为实数, ∥ ,则 的值为 .

11.椭圆 的焦点为 ,点 在椭圆上,若 , 的小大为 .

12.若曲线 的某一切线与直线 平行,则切点坐标 为 ,切线方 程为 .

13. 若 ,则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的 是 ①; ④; ⑤ 14. 已知函数 在区间 内任取两个实数 ,且 , 不等式 恒成立,则实数 的取值范围为 . . (写出所有正确命题的编号). ②; ③ ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. (本小题满分 分) 已知:在 中, 、 、 分别为角 、 、 所对的边,且角 为锐角,

(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)当 , 时,求 及 的长. 16. (本小题满分 分) 已知:函数 的部分图象如图所示. (Ⅰ)求 函 数 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ 中,角 的 对 边 分 别 是 ,若 的 取 值 范 围. 17. (本小题满分 分) 已知:如图,在四棱锥 中,四边形 为正方形, ,且 , 为 中点. (Ⅰ)证明: // 平面 ; (Ⅱ)证明:平面 平面 ; (Ⅲ)求二面角 的正弦值.

18. (本小题满分 13 分) 已知:数列 的前 项和为 ,且满足 , . (Ⅰ)求: , 的值; (Ⅱ)求:数列 的通项公式; (Ⅲ)若数列 的前 项和为 ,且满足 ,求数列 的 前 项和 . 19. (本小题满分 14 分) 已知:函数 ,其中 . (Ⅰ)若 是 的极值点,求 的值; (Ⅱ)求 的单调区间; (Ⅲ)若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围. 20. (本小题满分 分) 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点. ①若线段 中点的 横坐标为 ,求斜率 的值;②若点 ,求证: 为定值.

东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考答案 高三数学(理科) 参考答案 (以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分) 一.选择题 1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. D

二.填空题 9. 10. 11.

12. (1,2) 13.①③⑤ 14. , 15. (本小题满分 分) 解: (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ,及 所以 sinC= . ………………………… 4 分

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 ,得 c=4 ………7 分 由 cos2C=2cos2C-1= ,及 得 cosC= ………………………9 分

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2- b-12=0 解得 b=2 …………………… 12 分 ……………………13 分

16. (本小题满分 分) 解: (Ⅰ)由图像知 , 的最小正周期 ,故 …… 2 分 将点 代入 的解析式得 ,又 故 所以 ……………… (Ⅱ)由 得 所以 ……………………8 分 因为 所以 ………………9 分 5分

……………………11 分 ……………………13 分 17. (本小题满分 分) 解: (Ⅰ)

证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO. O 为 BD 中点,E 为 PD 中点, ∴EO//PB. EO 平面 AEC,PB 平面 AEC, ∴ PB//平面 AEC. (Ⅱ) 证明: PA⊥平面 ABCD. 平面 ABCD, ∴. ……………………4 分

……………………1 分

………… …………2 分 ……………………3 分

又 在正方形 ABCD 中 且 , ……………………5 分

∴CD 平面 PAD. 又 平面 PCD, ∴平面 平面 .

……………………6 分

……………………7 分

(Ⅲ)如图,以 A 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空 间直角坐标系. ………8 分

由 PA=AB=2 可知 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) . ……………9 分

PA 平面 ABCD,∴ 是平面 ABCD 的法向量, =(0, 0, 2) . 设平面 AEC 的法向量为 , , 则 即 ∴ ∴ 令 ,则 . ∴, ………………11 分 …………………12 分 …………………13 分

二面角 的正弦值为

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 令 ,解得 ;令 ,解得 (Ⅱ) 所以 , ) ( 两式相减得 所以 , ) ( 又因为 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列 ……………6 分 所以 ,即通项公式 ( ) ……………7 分 (Ⅲ) ,所以 所以 ……9 分 令 ① ……………4 分 ……………5 分 ……………2 分

② ①-②得

……………11 分 ……………12 分 所以 ……13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: . 依题意,令 ,解得 . 经检验, 时,符合题意. (Ⅱ)解:① 当 时, . 故 的单调增区间是 ;单调减区间是 . …………………5 分 ② 当 时,令 ,得 ,或 . 当 时, 与 的情况如下: ……4 分

↘ ↗ ↘ 所以, 的单调增区间是 ;单调减区间是 和 . 当 时, 的单调减区间是 . 当 时, , 与 的情况如下:

↘ ↗ ↘ 所以, 的单调增区间是 ;单调减区间是 和 . ③ 当 时, 的单调增区间是 ;单调减区间是 . 综上,当 时, 的增区间是 ,减区间是 ; 当 时, 的增区间是 ,减区间是 和 ; 当 时, 的减区间是 ; 当 时, 的增区间是 ;减区间是 和 . ……11 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 时, 在 上单调递增,由 ,知不合题意.

当 时, 在 的最大值是 , 由 ,知不合题意. 当 时, 在 单调递减, 可得 在 上的最大值是 ,符合题意. 所以, 在 上的最大值是 时, 的取值范围是 . …………14 分 20. (本题满分 分) 解: (Ⅰ)因为 满足 , ,…………2 分 。解得 ,则椭圆方程为 ……………4 分 (Ⅱ) (1)将 代入 中得 ……………………………………………………6 分

………………………………………… …………………7 分 因为 中点的横坐标为 ,所以 ,解得 …………9 分 (2)由(1)知 , 所以 ……………11 分

………………………………………12 分


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