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二次函数经典解题技巧分析最后梳理 2


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第二讲 二次函数综合问题
二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数, 可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机 联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以

编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系, 是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出 现,也就不足为奇了. 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的 代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形 的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些 综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二次函数 的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式 y ? ax2 ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解题的关键在于:通过三个

独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知 f( ,满足 1 ?f( 且2 ,求 f ( ?2) 的取值范围. x )? a x? b x ? 1 )? 2 ?f() 1? 4
2

分析:本题中,所给条件并不足以确定参数 a , b 的值,但应该注意到:所要求的结论不是 f ?? 2? 的确 定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以把 1 ?f( 和 2 ? f (1) ? 4 当成两个独立 ? 1 )? 2 条件,先用 f ?? 1? 和 f ?1? 来表示 a , b . 解:由 f ?1? ? a ? b , f ?? 1? ? a ? b 可解得:

a?

1 ( f (1) ? f (?1)), 2
2

b?

1 ( f (1) ? f (?1)) 2

(*)

将以上二式代入 f( ,并整理得 x )? a x? b x

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? ? f ?x ? ? f ?1?? ? f ( ? 1 ) ? 2 ? ? 2 ? ?, ? ? ? ?
∴ f ?2? ? f ?1? ? 3 f ?? 1? . 又∵ 2 , 1 ? f (?1) ? 2 , ?f() 1? 4 ∴ 5 ? f ?2? ? 10 . 例 2

?? ? ? ? a x ?? b xc a ? 0 设 fx ,若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试证明:对于任意
2

? 1 ?? x1 ,有 f ? x ? ?

5 . 4

分析:同上题,可以用 f ?0?, f ?1?, f ?? 1? 来表示 a, b, c .
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解:∵ f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c , ∴ a?

1 1 ( f ?1? ? f ?? 1? ? 2 f ?0?), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f ?0? , 2 2

∴ f ? x ? ? f ?1?? ?

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ? ? ? ? f ? 1 ? ? 2 ? ? ? f ?0 ? 1 ? x . 2 ? ? ? ?

?

?

∴ 当 ? 1 ? x ? 0 时,

f ? x ? ? f ?1? ?

x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2

x2 ? x x2 ? x ? ? ? 1? x2 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ?? ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? (1 ? x ) ? ? ? ? 2 ? ?x ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4 当 0 ? x ? ?1时,
f ? x ? ? f ?1? ? x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2

?

x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2

? x2 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ?? ? (1 ? x 2 ) ? 2 ? ??? ? ? 2 ? ? ? ?
? ?x2 ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4
综上,问题获证. 1.2 利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式 y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?. 例3

?? ? ?, 方 程 f ? x ? ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x2 满 足 设 二 次 函 数 fx ? a x ?? b xc a ? 0
2

1 ?? 1 ,x 0? x1 ? x2 ? . 当 x? ?0 1?时,证明x?f. a
分析:在已知方程 f ? x ? ? x ? 0 两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数 f ?x ? ? x 的 表达式,从而得到函数 f ( x) 的表达式. 证明:由题意可知

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) .
1 , a
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? 0 ? x ? x1 ? x 2 ?

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∴ ∴

a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 ,
当 x?0 ,x 1 时, f ( x ) ? x .

? ?

又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )(ax ? ax2 ? 1) ,

x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0,


f ( x) ? x1 ,

综上可知,所给问题获证. 例 4 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制 解 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,
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1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? ? ? ?? 1 ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

y

-1

o

1

2

x

5 1 ?m?? 6 2

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(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ?? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

b ? 4ac ? b 2 ? 1.3 紧扣二次函数的顶点式 y ? a? x ? , 对称轴、最值、判别式显合力 ? ? 2a ? 4a ?
例5 已知函数 f ( x ) ? 2 ?
z

2

a 。 2x

(1)将 y ? f ( x) 的图象向右平移两个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h( x) 的解析式;

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1 f ( x) ? h( x) ,已知 F ( x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 ,求实数 a 的取值范围。 a a x?2 ? x?2 ; 解:(1) g ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 2 2
(3)设 F ( x ) ? (2) 设 y ? h?x ? 的图像上一点 P?x, y ? ,点 P?x, y ? 关于 y ? 1 的对称点为 Q?x,2 ? y ? ,由点 Q 在

y ? g ?x ?的图像上,所以
2 x?2 ?
于是 即

a 2 x?2

? 2? y, , 2 x?2 a ? x?2 ; 2 a

y ? 2 ? 2 x?2 ? h? x ? ? 2 ? 2 x ? 2

(3) F ( x) ?
x

1 (4a ? 1) ?1 1? f ( x ) ? h( x ) ? ? ? ? 2 x ? ?2. a 2x ?a 4?

4?a 4a ? 1 t? ? 2. 4a t 4?a 4a ? 1 t? ? 2 ? 2 ? 7 对 t ? 0 恒成立. 即 问题转化为: 4a t 4?a 2 t ? 7t ? ?4a ? 1? ? 0 对 t ? 0 恒成立. (*) 4a 4?a 4?a 4?a 2 ? 0 .(否则,若 ? 0 ,则关于 t 的二次函数 u (t ) ? t ? 7t ? ?4a ? 1? 开口向下, 故必有 4a 4a 4a 4?a ? 0 时,显然不能保证( * )成立 . ),此时,由于二次函数 当 t 充分大时,必有 u?t ? ? 0 ;而当 4a
设 t ? 2 ,则 F ( x) ?

u (t ) ?

4?a 2 7 t ? 7t ? ?4a ? 1? 的 对 称 轴 t ? ? 0 , 所 以 , 问 题 等 价 于 ?t ? 0 , 即 4?a 4a 8a

?4 ? a ?0 ? ? 4a , ? ?7 ? 4 ? 4 ? a ? ?4a ? 1? ? 0 ? 4a ?
解之得:

1 ? a ? 2. 2 4?a 4?a 4a ? 1 ? 0,4a ? 1 ? 0 , 故 F ( x) ? t? ?2 在 t ? 4a 4a t

此时,

4a(4a ? 1) 取得最小值 4?a

m?2

4?a ? ?4a ? 1? ? 2 满足条件. 4a

2. 数形结合 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

?a ? 0?的图像为抛物线,具有许多优美的性质,如对称性、单调性、

凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题,可以化难为易.,形象直观.
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2.1 称性. 例 6

二次函数的图像关于直线 x ? ?

b b 对称, 特别关系 x1 ? x 2 ? ? 也反映了二次函数的一种对 2a a

?? ? ?, 方 程 f ? x ? ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x2 满 足 设 二 次 函 数 fx ? a x ?? b xc a ? 0
2

x1 1 . 0? x1 ? x2 ? . 且函数 f ? x? 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明: x 0 ? a 2
解:由题意 f ?x? ? x ? ax2 ? (b ? 1) x ? c . 由方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 满足 0? x 1 ?x 2 ?

b ?1 1 b ?1 b ?1 ? x2 ? , 且 ? x1 ? x 2 ? , ? 2a a ? 2a ? 2a b ?1 b ?1 1 b ?1 ? x1 ? x 2 ? ? ? ∴ , ? 2a ? 2a a ? 2a 0 ? x1 ?


1 , 可得 a

?

b ? x1 ,故 a

x0 ?

x1 . 2

2.2 二次函数 f ( x) 的图像具有连续性,且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数 m, n 使得

m ? n 且 f (m) f (n) ? 0 ? 在区间 ?m, n? 上,必存在 f ( x) ? 0 的唯一的实数根.
例 7 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和

x2 .
(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 分析:条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4 实际上给出了 f ( x) ? x 的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上 述图像特征去等价转化. 解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax2 ? (b ? 1) x ? 1 ,则 g ( x) ? 0 的二根为 x1 和 x2 . (1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得

? g (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ,即 ? ,即 ? ? g (4) ? 0 ?16a ? 4b ? 3 ? 0

b 3 ? 3 ? 3? ? ? 0, ? ? 2a 4a ? ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a ?
b ? 1 ,所以, x0 ? ?1 ; 2a b ?1 2 4 2 ) ? , 可得 (2)由 ( x1 ? x 2 ) ? ( a a
两式相加得

2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 .

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又 x1 x 2 ?

1 ? 0 ,所以 x1 , x 2 同号. a

∴ x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 等价于 ?

?0 ? x1 ? 2 ? x 2 ? ? ? x 2 ? ?2 ? x1 ? 0 或? , 2 2 2 a ? 1 ? ( b ? 1 ) ? 1 2 a ? 1 ? ( b ? 1 ) ? 1 ? ? ? ?



? g ( 2) ? 0 ? g ( ?2 ) ? 0 ? ? ? ? 或 ? g ( 0) ? 0 ? g ( 0) ? 0 ? ? 2 2 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1
b? 1 7 或b ? . 4 4

解之得

2.3 因为二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c

?a ? 0?在区间 (?? ,?

b b ] 和区间 [ ? ,?? ) 上分别单调, 2a 2a

所以函数 f ? x ? 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;函数 f ( x) 在闭区间上的最大 值必在区间端点或顶点处取得. 例 8 已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c , 当? 时, 有 ? 1 ? f ( x) ? 1, 求证: 当 ??? 1 ?? x1 2x 2
2

时,有 ? 7 ? f ( x ) ? 7 . 分析:研究 f ( x) 的性质,最好能够得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参 数 a, b, c . 确定三个参数,只需三个独立条件,本题可以考虑 f (1) , f (?1) , f (0) ,这样做的好处有两 个:一是 a, b, c 的表达较为简洁,二是由于 ? 1和0 正好是所给条件的区间端点和中点,这样做能够较好地 利用条件来达到控制二次函数范围的目的. 要考虑 f ?x ? 在区间 ?? 7,7? 上函数值的取值范围,只需考虑其最大值,也即考虑 f ?x ? 在区间端点和 顶点处的函数值. 解:由题意知: f (?1) ? a ? b ? c, f (0) ? c, f (1) ? a ? b ? c , ∴ a?

1 ( f (1) ? f (?1) ? 2 f (0)), 2

b?

1 ( f (1) ? f (?1)), 2

c ? f (0) ,

2 ∴ f ( x ) ? ax ? bx ? c ? f (1)? ?

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? f ( ? 1 ) ? f ( 0) 1 ? x 2 . ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

?

?

由? 时,有 ? 1 ? f ( x ) ? 1 ,可得 1 ?? x1 ∴

f (1) ? 1,

f ?? 1? ? 1 , f ?0? ? 1 .

f (2) ? 3 f ?1? ? f ?? 1? ? 3 f ?0? ? 3 f ?1? ? f (?1) ? 3 f (0) ? 7 , f (?2) ? f ?1? ? 3 f ?? 1? ? 3 f ?0? ? f ?1? ? 3 f (?1) ? 3 f (0) ? 7 .

(1)若 ?

b ? ?? 2,2? ,则 f ?x ? 在 ?? 2,2?上单调,故当 x ? ?? 2,2? 时, 2a

f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) )
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此时问题获证.

(2)若 ?

b ? ?? 2,2? ,则当 x ? ?? 2,2? 时, 2a

? b ? f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) , f ? ? ? ) ? 2a ?
b2 b b b f (1) ? f (?1) 1?1 ? b ? ?c? ? ? f ?0 ? ? ? ? 1? 2? ? 2?7, 又 f ?? ? ? c? 4a 2a 2 2a 4 4 ? 2a ?
∴ 此时问题获证. 综上可知:当 ??? 时,有 ? 7 ? f ( x ) ? 7 . 2x 2

巩固练习 1 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( A (-∞,2 ] B [ -2,2 ] C (-2,2 ] D (-∞,-2)
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)

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2 设二次函数 f(x)=x -x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为( ) A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 2 2 3 已知二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是_________ 4 二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_________ 参考答案
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2

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?a ? 2 ? 0 1 解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立 ∴a=2,当 a-2≠0 时,则 a 满足 ? ,解得 ?? ? 0
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-2<a<2,所以 a 的范围是-2<a≤2 答案 C
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2 解析 ∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x=
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1 ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴m∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m- 2

1)>0

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答案 A
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3 解析 只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p<
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3 1 3 或- <p<1 ∴p∈(-3, ) 2 2 2
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答案 (-3,
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3 ) 2
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4 解析 由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0 答案 -2<x<0
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