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2012年全国高中数学联赛(江苏)赛区初赛试卷


版权所有:21 世纪教育网 2012 一、填空题(70 分)

高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

1、当 x ? [ ?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___. 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____. 3、从集合 ?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为_____

3 _______. 10

4、 已知 a 是实数, 方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) , 则 | a ? bi | 的值为_____ 2 2 ___. 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直线 12 4

l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为___
6、已知 a 是正实数, k 7、在四面体 _____ 5

1 ____. 2
CD ? 4

? alg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.
D? B 5 , BC ? 3
, 该四面体的体积为

ABCD ? AD ? 中 , A B? A C

3 _______.

8、已知等差数列

?an? 和 等 比 数 列 ?bn? 满 足 : a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7,a3 ? b3 ?15, a4 ? b4 ? 35,则

an ? bn ? ___ 3n?1 ? 2n ___.( n ? N * )

, 71 ,75 9 、将 27,37, 47, 48,55 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排列有
___144_____种. 10、 三角形的周长为 31 , 三边 a, b, c 均为整数, 且a ? b ? c, 则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数为__24___. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C

? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12、已知 a, b 为实数, a ? 2 ,函数 (1)求实数 a, b ; (2)求函数

e a f ( x) ?| ln x ? | ?b( x ? 0) .若 f (1) ? e ? 1, f (2) ? ? ln 2 ? 1 . 2 x

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B , AB ? 1, OB ? 1 .线 段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

14、 设是 a, b, c, d 正整数,a, b 是方程 x 的直角三角形.

2

存在边长是整数且面积为 ab ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:


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