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高中数学平面几何拓展-数学竞赛知识


高中数学平面几何拓展
第一大定理:共角定理(鸟头定理) 即在两个三角形中,它们有一个角相等(互补) ,则它们就是共角三角形。它们的面积之比,就是对应角(相 等角、互补角)两夹边的乘积之比。 内容:若两三角形有一组对应角相等或互补,

则它们的面积比等于对应两边乘积的比。 即:若△ABC 和△ADE 中, ∠BAC=∠DAE ,则 S△ABC÷ S△A

DE= 第二大定理:等积变换定理。 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形(底)高相等,面积之比等于高(底)之比。 3、在一组平行线之间的等积变形。

如图所示,S△ACD=S△BCD;反之,如果 S△ACD=S△BCD,则可知直线 AB 平行于 CD。 第三大定理:梯形蝴蝶定理。

任意四边形中,同样也有蝴蝶定理。

上述的梯形蝴蝶定理,就是因为 AD‖EC 得来的 第四大定理:相似三角形定理。 1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似; 2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三 角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质:1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长 的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、 沙漏模型这两大类, 注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线!

图形: 第五大定理:燕尾定理。

性质:1.S△ABG:S△ACG=S△BGE:S△CGE=BE:CE 2.S△BGA:S△BGC=S△GAF:S△GCF=AF:CF 3.S△AGC:S△BGC=S△AGD:S△BGD=AD:BD 这就是燕尾模型。

其他几何定理:

塞瓦定理
塞瓦定理是指在△ABC 内任取一点 O,延长 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

梅涅劳斯定理
当直线交 三边所在直线 于点 时,

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还可以用来解决三点共线、三线 共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用。梅涅劳斯定 理的对偶定理是塞瓦定理。[2] 它的逆定理也成立:若有三点 F、D、E 分别在的边 AB、BC、CA 或其延长线上,且满足 AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则 F、D、E 三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

托勒密定理
定理内容
指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积

推论
1.任意凸四边形 ABCD,必有 AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸 四边形内接于一圆

清宫定理

设 P、Q 为△ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点,P 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、 V、W ,且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于 D、E、F,则 D、E、F 在同一直线上

射影定理
射影定理,又称“欧几里得定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项, 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

概述图中,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,BD 是斜边 AC 上的高,则有射影定理如下: BD? =AD· DC AB? =AC· AD BC? =CD· AC 面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的

余弦。 (即 COSθ=S 射影/S 原) 。 ” 它们所在平面所成的二面角为 )

(平面多边形及其射影的面积分别是



,

欧拉定理
几何定理
内容
1)设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,外心与内心的距离为 d,则 d^2=R^2-2Rr. 2)三角形 ABC 的垂心 H,九点圆圆心 V,重心 G,外心 O 共线 ,称为 欧拉线

拓扑公式
V+F-E=2,V 是多面体 P 的顶点个数,F 是多面体 P 的面数,E 是多面体 P 的棱的条数 利用欧拉定理可解决一些实际问题 如:为什么正多面体只有 5 种? 足球与 C60 的关系?否有棱数为 7 的正多面体?等

复变函数
定理内容

eix ? cosx ? isinx
e 是自然对数的底,i 是虚数单位。 它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常 重要的地位。 将公式里的 x 换成-x,得到:

e?ix ? cosx ? isinx ,然后采用两式相加减的方法得到:
ix ?ix ? ? e ? e ? ? sin x ? 2i

? eix ? e?ix ? ? ? , cos ? . 2

这两个也叫做欧拉公式。

上帝创造的公式


eix ? cos x ? i sin x 中的 x 取作 π 就得到:

ei? ? 1 ? 0 .
这个等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到 了一起:两个超越数:自然对数的底 e,圆周率 π,两个单位:虚数单位 i 和自然数的单位 1,以及数学里 常见的 0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。

蝴蝶定理

蝴蝶定理(Butterfly Theorem):设 M 为圆内弦 PQ 的中点,过 M 作弦 AB 和 CD。设 AD 和 BC 各 相交 PQ 于点 X 和 Y,则 M 是 XY 的中点。 去掉中点的条件,结论变为一个一般关于有向线段的比例式,称为“坎迪定理”, 不为中点时满 足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP 在圆锥曲线中 通过射影几何,我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛 物线,甚至退化到两条相交直线的情况)。 圆锥曲线 C 上弦 PQ 的中点为 M,过点 M 任作两弦 AB,CD,弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X,Y,则 M 为 XY 之中点。

1,椭圆的长轴 A1、A2 与 x 轴平行,短轴 B1B2 在 y 轴上,中心为 M(o,r) (b>r>0) 。 (Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率; (Ⅱ)直线 y=k1x 交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0) ;直线 y=k2x 交椭圆于两点G(x3, y3) ,H(x4,y4) (y4>0) 。 求证:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4) (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C,D,G,H,设 CH 交 X 轴于点 P,GD 交 X 轴于点 Q。 求证: | OP | = | OQ |。 (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 X 轴的情形) (Ⅰ)解:椭圆方程为 x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为 x 代入椭圆方程,得 b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,? (Ⅱ)证明:将直线 CD 的方程 y=k 整理,得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理,得 x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1· x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12), 所以 x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 将直线 GH 的方程 y=k2x 代入椭圆方程,同理可得 x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 由①,②得 k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。 (Ⅲ)证明:设点 P(p,o) ,点 Q(q,o) 。 由 C,P,H 共线,得 (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得 P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由 D,Q,G 共线,同理可得

q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) 由 k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得: x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4) 即:(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|,即,|OP|=|OQ|。

圆幂定理
圆幂定理是平面几何中的一个定理,是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理:从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B、C、D,则有 PA· PB=PC· PD

共边定理
设直线 AB 与 PQ 交于 M,则 S△PAB/S△QAB=PM/QM

西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 (此线常称为西姆松线) 。西 姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。

九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。 通常称这个圆为九点圆(nine-point circle) ,或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2. 九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切(费尔巴哈定理); 4. 九点圆是一个垂心组(即一个三角形三个顶点和它的垂心,共四个点,每个点都是其它三点组成的 三角形的垂心,共 4 个三角形)共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。 5. 九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线,且 HG=2OG,OG=2VG,OH=2OV。


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