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高三数学(文)练习8补充


高三数学(文)练习 8 补充
一、选择题

1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 ). B.7 C.8 D.9

解析 由 a4+a6=a1+a9=-11+a9=-6,得 a9=5,从而 d=2,所以 Sn=-11n +n(n-1)=n2-1

2n=(n-6)2-36,因此当 Sn 取得最小值时,n=6. 答案 A 2.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z, 则下列等式中恒成立的是( A.X+Z=2Y C.Y2=XY ). B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

解析 (特例法)取等比数列 1,2,4,令 n=1 得 X=1,Y=3,Z=7 代入验算,选 D. 答案 D 1 3.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·n-2-5,则实数 t 的值为( 5 A.4 B.5 4 C.5 1 D.5 ).

1 1 4 ?4 ? 解析 ∵a1=S1=5t-5, 2=S2-S1=5t, 3=S3-S2=4t, a a ∴由{an}是等比数列知?5t? ? ?
2

?1 1? =?5t-5?· 4t,显然 t≠0,所以 t=5. ? ?

答案 B 4.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为( A.12 3 解析 ). B.15 3 C.12 D.15

不 妨设 角 A =120° c <b ,则 a=b + 4 , c =b - 4 ,于是 cos 120° , =

b2+?b-4?2-?b+4?2 1 1 =-2,解得 b=10,所以 S=2bcsin 120° =15 3. 2b?b-4? 答案 B

→ → → 5.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是( A.矩形 C.梯形 解析 ). B.平行四边形 D.以上都不对

→ → → → → → → → 由已知AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC.∴AD∥BC,又AB

→ 与CD不平行, ∴四边形 ABCD 是梯形. 答案 C → → 6.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· =( AC 3 A.-2 2 B.-3 2 C.3 3 D.2 ).

→ → → → → → → 1 1 3 2 2 解析 由于AB· =|AB||AC|cos∠BAC=2(|AB| +|AC| -|BC|2)=2×(9+4-10)=2. AC 答案 D 7.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( 1 A.4 1 B.2 C.1 D.2 ).

解析 ∵a+λb=(1+λ,2),c=(3,4)且(a+λb)∥c, 1+λ 2 1 ∴ 3 =4,∴λ=2. 答案 B → → → 8.△ABC 的三个内角成等差数列,且(AB+AC)· =0,则△ABC 一定是 BC ( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 B.非等腰直角三角形 D.钝角三角形 ).

解析 △ABC 中 BC 边的中线又是 BC 边的高,故△ABC 为等腰三角形,又 A,B,

π C 成等差数列,故 B=3. 答案 C 9.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个,现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ). B.7 秒钟 C.8 秒钟 D.9 秒钟

A.6 秒钟

解析 设至少需 n 秒钟,则 1+21+22+…+2n-1≥100, ∴2n-1≥100,∴n≥7. 答案 B 10.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成等 比数列,那么 x+y+z 的值为( 2 1 ). 4 2 x y z A.1 B.2 C.3 D.4

1 解析 由题知表格中第三列中的数成首项为 4,公比为 的等比数列,故有 x=1.根据每行成等 2 5 1 ?1?3 5 差数列得第四列前两个数字依次为 5, ,故第四列的公比为 ,所以 y=5×? ? = ,同理 z= 2 2 ?2? 8

?1?4 3 6×? ? = ,故 x+y+z=2. ?2? 8
二、填空题

→ → → → 11.在△ABC 所在的平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的 面积之比是________. 解析 → → → → → → → → → → → → 因为PA+PB+PC=AB,所以PC=AB-PB-PA=AB+BP+AP=2 AP,所

以点 P 在边 CA 上,且是靠近点 A 一侧的三等分点,所以△PBC 和△ABC 的面积之

2 比为3. 2 答案 3 → → 12.在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA· =________. AB 解析 设∠CAB=θ,AB=BC=a, 由余弦定理得:a2=16+a2-8acos θ,∴acos θ=2. → → ∴CA· =4×a×cos(π-θ)=-4acos θ=-8. CB 答案 -8 13.已知向量 m=(cos ωx+sin ωx, 3cos ωx),n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx),其中 ω>0.设函数 f(x)=m· n,且函数 f(x)的最小正周期为 π,则 ω 的值为________. 解析 ∵m=(cos ωx+sin ωx, n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx), ∴f(x)=m· n=cos2ωx-sin2ωx+2 3cos ωxsin ωx π? ? =cos 2ωx+ 3sin 2ωx=2sin?2ωx+6?. ? ? π? ? ∴f(x)=2sin?2ωx+6?. ? ? 2π ∵函数 f(x)的最小正周期为 π,∴T=2ω=π,ω=1. 答案 1 π 14.已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为3.以 a,b 为邻边作平行 四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________. π 解析 ∵|a+b|2-|a-b|2=4a· b=4|a||b|cos3=4>0, ∴|a+b|>|a-b|,又|a-b|2=a2+b2-2a· b=3,∴|a-b|= 3. 答案 3 3cos ωx),

15.给出下列命题:

→ → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → → ⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为________. → → 解析 ①中,∵向量AB与BA为相反向量, ∴它们的长度相等,此命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量,则满足 a 与 b 平行,但 a 与 b 的方向不一定相同或相反, ∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相同, ∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误. → → ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点不一定在一条直线上,∴该命题错误. 答案 3 → → → → → 16.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ ABC 的形状为________. → → → → → → → → → 解析 (等价转化法)OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → OB-OC=CB=AB-AC, → → → → ∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形.
答案 直角三角形 三、解答题

17.已知向量 a=(sin θ, (1)若 a⊥b,求 θ 的值;

? π π? 3),b=(1,cos θ),θ∈?-2,2?. ? ?

(2)求|a+b|的最大值. 解 (1)∵a⊥b,∴a· b=sin θ+ 3cos θ=0. π ? π π? 即 tan θ=- 3,又 θ∈?-2,2?,故 θ=-3. ? ? ? π? (2)|a+b|2=(sin θ+1)2+( 3+cos θ)2=5+4sin?θ+3?, ? ? π 故当 θ=6时,|a+b|2 的最大值为 9,故|a+b|的最大值为 3. → → → → → 1 1 18.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC=3AB,DA=-3BA,求点 C,D 的坐标和CD的 坐标. 解 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). → → → → 1 1 因为AC=3AB,DA=-3BA,所以有 ?x1+1=1, ?-1-x2=1, ? 和? ?y1-2=2, ?2-y2=2. ?x1=0, ?x2=-2, 解得? 和? ?y1=4, ?y2=0. → 所以点 C,D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0),从而CD=(-2,-4).


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