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【解析】天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题


天津一中 2012-2013 学年高三年级第二月考 数学试卷(文)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.如果复数 A. 2 【答案】D 【解析】

2 ? ai 的实部和虚部互为相反数,那么实数 a 等于 1 ? 2i 2 B.2 C.? 3

D.

2 3

2 ? ai (

2 ? ai )(1 ? 2i ) 2 ? 2a ? ( a ? 4)i 2 ? 2a a ? 4 ? ? ? ? i ,因为实部和虚部为相反数,则有 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i) 5 5 5

2 ? 2a a ? 4 2 ? =0 ,解得 a ? ,选 D. 5 5 3 2. 设 m, n 是两条不同的直线, ?、?、? 是三个不同的平面.给出下列四个命题:
①若 m ⊥ ? , n // ? ,则 m ? n ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; 其中正确命题的序号是 A. ①和② B. ②和③ 【答案】D 【解析】根据线面垂直的性质可知①正确。②中两个平面 ?,? 不一定平行,所以错误。③平行于同一个 平面的直线可能会相交或异面,所以错误。④正确。 3. 在正三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 的中点,有下列三个论断: ① AC ? PB ;② AC //平面 PDE ;③ AB ? 平面 PDE ,其中正确论断的个数为 ( A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 ) ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? .

C.③和④

D.①和④

【答案】C 【解析】 P 做 PO ? ABC 于 O , PO ? AC , 过 则 又正三角形中 BE ? AC , 所以 AC ? PBE ,AC ? PB 所以①正确,②错误。因为 AB 与 AC 相交,所以③不正确,所以正确的论断有 1 个,选 C. 4. 数列{ a n }中, a1 ? 1, 且a n ?1 ? 2a n ? 1 ,则{ a n }的通项为 ( )

1

A. 2n ? 1 【答案】A

B. 2 n

C. 2 n +1

D. 2 n ?1

【解析】由 an ?1 ? 2an ? 1 得 an ?1 ? 1 ? 2an ? 2 ? 2(an ? 1) ,所以数列 {an ? 1} 是以 q ? 2 为公比,首项为

a1 ? 1 ? 2 的等比数列,所以 an ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1 ,选 A.
5.在 ?ABC 中,若

cos A b 4 ? ? ,则 ?ABC 是 cos B a 3
B.等腰三角形 D.钝角三角

A.等腰或直角三角形 C.直角三角形 【答案】C 【解析】由

cos A b 4 cos A sin B , 即 sin A cos A ? sin B cos B , 所 以 ? ? 和正弦定理可得 ? cos B a 3 cos B sin A ? ? b 4 sin 2 A ? sin 2 B ,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B ,即 A ? B 或 A ? B ? ,即 C ? 。又 ? ,所以 2 2 a 3

a ? b ,即 A ? B ,所以 ?ABC 是直角三角形,选 C.
6.为得到函数 y ? cos(2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
【答案】A 【 解 析 】 因

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6



? 5? ? 5? ? y ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ? ) ? cos[2( x ? ) ? ] ,所以只需将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 3 6 2 12 2 5π ? 个长度单位,即可得到 y ? cos(2 x ? ) 的图象,选 A. 12 3
7.数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N *) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? A.0 【答案】B 【解析】 8. 定 义 在 (0, ?? ) 上 的 可 导 函 数 f ( x) 满 足 : xf ?( x) ? f ( x) 且 f (1) ? 0 , 则 ( ) B. (0,1) ? (1, ??) C. (1, ??) D. ? B.3 C.8 D.11

y ? sin 2x ? cos( ? x ? cos(2 2 ) x? 2 2

?

?

)



f ( x) ?0 的解集为 x

A. (0,1) 【答案】C 【解析】 因为 [

f ( x) xf '( x) ? f ( x) f ( x) xf '( x) ? f ( x) , 所以当 x ? 0 时,[ ]' ? ]' ? ? 0 ,即函数在 (0, ??) 2 x x x x2
2

上单调递减,又 选 C.

f (1) ? 0 ,所以

f (1) f ( x) ? 0 ,所以不等式 ? 0 解为 x ? 1 ,即不等式的解集为 (1, ??) , 1 x

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是______.

【答案】2 【解析】由三视图可知该几何体是底面为直接梯形的四棱锥。四棱锥的高是 2,底面梯形的面积为

10.设 ?an ? 为公比 q ? 1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则 a2006 ? a2007 ? ______. 【答案】18 【解析】由题意知 a2004 ? a2005 ? 2 , a2004 a2005 ?

(1 ? 2) ? 2 1 ? 3 ,所以四棱锥的体积为 ? 3 ? 2 ? 2 。 2 3

a 3 1 3 ,所以 a2004 ? , a2005 ? ,所以 q ? 2005 ? 3 ,所以 4 2 2 a2004

a2006 ? a2007 ? (a2004 ? a2005 )q 2 ? 2 ? 32 ? 18 。
11. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ______. 【答案】45 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 也 成 等 差 数 列 , 即 S3 ? ( S9 ? S6 ) ? 2( S6 ? S3 ) , 所 以

S9 ? S6 ? 2S6 ? 3S3 ? 2 ? 36 ? 3 ? 9 ? 45 .
12. O 是平面上一点, A, B, C 是平面上不共线三点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) ,? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ?

1 时, 则 2

??? ??? ??? ? ? ? PA?( PB ? PC ) 的值为______.
【答案】0

??? ??? 1 ??? ???? ? ? ? ??? ??? 1 ??? ???? ? ? ? ??? 1 ??? ???? ? ? 1 时,OP ? OA ? ( AB ? AC ) , OP ? OA ? ( AB ? AC ) , 即 所以 AP ? ( AB ? AC ) , 2 2 2 2 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 即 P 是 BC 的中点。所以 PB ? PC ? 0 ,所以 PA? PB ? PC ) ? 0 (
【解析】 ? ? 当 13. 求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值______. , ?4 2? ?
3

【答案】

3 2

【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

?

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 。 2 2 2 6 2

因为

?
4

?x?

?
2

,所以

?

? ? 5? ? ? , 所 以 当 2x ? ? 时,函数取得最大值为 ? 2 x ? ?, ? 2 x ? ? 2 3 6 6 6 2

1?

1 3 ? 。 2 2

14. 如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l ,

AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是
【答案】

.

3 4

【解析】过 A 做 AO ? ? , AC ? BC 连结 OB, OC ,则 ?ACO 为二面角的平面角,即 ?ACO ? 60? , AB 与 平 面 ? 所 成 的 角 为 ?ABO , 因 为 ?ABC =30 , 设 AC ? 1 , 则 AB ? 2,AO ?
?

3 ,所以 2

3 AO 3 sin ?ABO ? ? 2 ? 。 AB 2 4
三、解答题: (15,16,17,18 每题 13 分,19,20 每题 14 分)
3 15.在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 2 cos( A ? B) ? cos 2C ? ? , c ? 39 ,且 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求△ ABC 的面积. a?b ?9.

16.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? A1C1 , D , 分别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同于点 C ) ,且 E CC (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; AD ? DE , 为 B1C1 的中点.求证: F
4

(2)直线 A1 F // 平面 ADE .

17.设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a 2 ? a1 ) ? b1 .
2

(Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {c n } 前 n 项和 Tn. bn

18. 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

A

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离.
B D O E C

19.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 和通项 an 满足 S n ?

1 (1 ? an ) . 2 1 ;( Ⅲ ) 设 函 数 f ( x) ? log 1 x , 2 3

( Ⅰ ) 求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 ; ( Ⅱ ) 求 证 : S n ?

bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ,求 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . b1 b2 b3 bn

20.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (I)求 f (x) 、 g (x) 的表达式; (II)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解;
5

(Ⅲ)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ?

1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

参考答案: 一、选择题: DDCACABC 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 2 11. 45

10. 18

12. 0

13.

3 2

14.

3 4

三、解答题: (15,16,17,18 每题 13 分,19,20 每题 14 分)
3 15.解: (Ⅰ)由已知得 ?2 cos C ? 2 cos 2 C ? 1 ? ? , 2

…………………………… 3 分 ………… 6 分 ①, …10 分

所以 4cos 2 C ? 4cos C ? 1 ? 0 ,解得 cos C ?

1 ,所以 C ? 60? . 2

(Ⅱ)由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,即 39 ? a 2 ? b 2 ? ab 又 a ? b ? 9 ,所以 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 81 ②,由①②得 ab ? 14 ,
1 1 3 7 3 所以△ ABC 的面积 S ? ab sin C ? ? 14 ? . ? 2 2 2 2

………………13 分

16.解:∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC , 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD , 又∵ AD ? DE , 1,DE ? 平面 BCC1 B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平面 BCC1 B1 , 又∵ AD ? 平面 CC

ADE ,∴平面 ADE ? (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 ,
又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F , 又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 , B 由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD , 又∵ AD ? 平面 ADE , A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE . 17. 【分析及解】 (Ⅰ)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
6

故{an}的通项公式为 a n ? 4n ? 2, 即{a n }是a 1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设 {bn } 的公比为 q, 则 b2 ? a2 ? a1 ? ? b1qd ? b1 , d ? 4,? q ? 故 bn ? b1q n ?1 ? 2 ?

1 . 4

1 2 ,即 {bn } 的通项公式为 bn ? n ?1 . n ?1 4 4

(II)? c ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , n 2 bn n ?1 4

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 42 ? ? ? (2n ? 1)4 n ?1 , 4Tn ? 1? 4 ? 3 ? 42 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n
两式相减得

3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n 1 ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ?Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9 18. (I)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,? CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,
M A

? AO ? CO ? AC ,
2 2 2

O B

D C

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
? BD ? OC ? O,

E

? AO ? 平面 BCD

…………4 分 (II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?
? cos ?OEM ? 2 , 4

…………8 分

(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.
7

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S ?ACD ? . AO.S ?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ?

2,

1 2 7 ? S ?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2 2

而 AO ? 1, S ?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

?h ?

AO.S ?CDE ? S ?ACD

1?

3 2 ? 21 . 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为
19.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时

21 . 7

…………12 分

an ?


1 1 1 1 (1 ? an ) ? (1 ? an ?1 ) ? ? an ? an ?1 , 2an ? ?an ? an ?1 2 2 2 2

an 1 ? ,-------------------------------------------------3 分 an ?1 3

1 1 (1 ? a1 ) 得 a1 ? 2 3 1 1 1 1 1 ∴数列 {an } 是首项 a1 ? 、公比为 的等比数列,∴ an ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n ------5 分 3 3 3 3 3 1 1 1 (Ⅱ)证法 1: 由 S n ? (1 ? an ) 得 S n ? [1 ? ( ) n ] --------------------------7 分 2 2 3 1 1 1 1 1 ?1 ? ( ) n ? 1 ,∴ [1 ? ( ) n ] ? ∴ S n ? ----9 分 3 2 3 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 n 3 ? 1 [1 ? ( 1 ) n ] -----7 分 〔证法 2:由(Ⅰ)知 an ? ( ) ,∴ S n ? 3 1 2 3 3 1? 3 1 1 1 1 ?1 ? ( ) n ? 1 ,∴ [1 ? ( ) n ] ? ----------------------8 分 3 2 3 2 1 即 Sn ? ------------------------------------9 分 2 (Ⅲ) ? f ( x) ? log 1 x
由 S1 ? a1 ?
3

? bn ? log 1 a1 ? log 1 a2 ? ? ? log 1 an = log 1 (a1a2 ? an )
3 3 3 3

----10 分

= log 1 ( )1? 2??? n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?
3

1 3

n(1 ? n) 2

--------12 分



1 2 1 1 ? ? 2( ? ) bn n(1 ? n) n n ?1
8

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 2n 1 1 1 ---14 分 )] = ? ? ? ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 b1 b2 bn
a , 依题意 f ?( x) ? 0 , x ? (1,2] ,即 a ? 2x 2 , x ? (1,2] . x
…………………………1 分

20.解: (I) f ?( x) ? 2 x ? ∵上式恒成立,∴ a ? 2 又 g ?( x) ? 1 ?



a 2 x

,依题意 g ?( x) ? 0, x ? (0, 1) ,即 a ? 2 x , x ? (0, 1) . ② …………………………2 分 …………………………3 分 …………………………4 分

∵上式恒成立,∴ a ? 2. 由①②得 a ? 2 .

∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x .

(II)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 , 即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 , 则h ?( x) ? 2 x ?

2 1 ?1? , x x
………5 分

令 h ?( x) ? 0 ,并由 x ? 0, 得 ( x ? 1)(2 x x ? 2 x ? x ? 2) ? 0, 解知 x ? 1. 令 h ?( x) ? 0, 由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1. 列表分析:

…………………………6 分

x
h?(x)

(0,1) -

1 0 0

(1,+?) + 递增 …………………………7 分

h(x) 递减 知 h(x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0,

当 x ? 0且x ? 1 时, h(x) >0,∴ h( x) ? 0 在(0,+?)上只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解. (III)设 ? ( x) ? x 2 ? 2 ln x ? 2bx ? ……………………8 分

1 2 2 则? ' ( x) ? 2 x ? ? 2b ? 3 ? 0 , ……9 分 2 x x x
…………11 分

?? ( x) 在 (0,1] 为减函数?? ( x) min ? ? (1) ? 1 ? 2b ? 1 ? 0 又 b ? ?1
所以: ? 1 ? b ? 1 为所求范围. … ……………12 分

9


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